27.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2）教學目標【知識與能力】1.能根據(jù)反比例函數(shù)y= 的圖像理解和掌握反比例函數(shù)的性質(zhì).2.能運用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.【過程與方法】1.通過觀察反比例函數(shù)的圖像探究反比例函數(shù)的性質(zhì),感受反比例函數(shù)表達式與圖像之間的聯(lián)系,體會數(shù)形結(jié)合思想的魅力.2.引導(dǎo)學生類比一次函數(shù)的研究方法,探究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì),培養(yǎng)學生的類比思想和遷移能力.3.通過引導(dǎo)學生正確地對函數(shù)圖像進行觀察、分析和抽象概括,培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力,增強學生探究問題的本領(lǐng).【情感態(tài)度價值觀】1.在動手操作的過程中,體會學習數(shù)學的樂趣,養(yǎng)成勤于動手、勤于思考、勇于探索的習慣.2.在探究活動中,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和勇于探索的精神,通過應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題,增強學生的自信,培養(yǎng)學生的學習興趣.3.經(jīng)歷觀察、思考、分析、交流等學習過程,提高學生數(shù)學學習能力及合作精神,逐步提高學生分析問題、解決問題的能力.教學重難點【教學重點】探究反比例函數(shù)的性質(zhì),能靈活運用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題.【教學難點】 靈活運用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題.課前準備多媒體課件教學過程一、新課導(dǎo)入：導(dǎo)入一:復(fù)習提問:1.反比例函數(shù)的圖像是什么形狀的?它有什么特征?(兩條曲線;反比例函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點,兩條曲線關(guān)于原點對稱等)2.反比例函數(shù)y=6x的圖像位于哪幾個象限?反比例函數(shù)y=-6x的圖像呢?(第一、三象限;第二、四象限)3.你能說出一次函數(shù)的所有性質(zhì)是什么嗎?(一次函數(shù)的增減性、所經(jīng)過象限等)【師生活動】學生思考回答,教師點評補充.過渡語上節(jié)課我們通過畫反比例函數(shù)圖像了解了反比例函數(shù)的一些性質(zhì),類比一次函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)是否還有其他性質(zhì)呢?這就是我們這節(jié)課共同探究的內(nèi)容.導(dǎo)入二:【課件展示】長方體的體積為50 cm3,它的底面積S(單位:cm2)與高h(單位:cm)之間滿足的函數(shù)關(guān)系是什么?當它的高h增加時,它的底面積S將怎樣變化?【師生活動】學生思考回答,并觀察到該反比例函數(shù)中S隨h的增大而減小,教師引出課題.設(shè)計意圖復(fù)習上節(jié)課反比例函數(shù)圖像的形狀及簡單特征,對本節(jié)課的學習起到承上啟下的作用,降低了學生學習本節(jié)課的難度.以生活實際問題導(dǎo)入新課,讓學生體會生活中處處有數(shù)學,激發(fā)學生的學習興趣,同時通過觀察思考問題中底面積S與高h之間的關(guān)系,很自然地由實際問題抽象出本課時學習重點之一的反比例函數(shù)圖像的增減性.二、新知構(gòu)建：過渡語這節(jié)課我們繼續(xù)研究反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì),應(yīng)用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)能解決哪些問題?讓我們一起去探究吧!共同探究反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)活動一:【課件展示】觀察上節(jié)課我們畫出的反比例函數(shù)y=6x與y=-6x的圖像及表達式,探究下列問題:表達式圖像的位置y隨x的變化情況y=6x圖像在第、象限內(nèi) 在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而 y=-6x圖像在第、象限內(nèi) 在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而 【師生活動】學生觀察兩個函數(shù)圖像,獨立思考完成填空,小組內(nèi)交流答案,教師巡視時幫助有困難的學生,對學生的回答進行點評歸納.活動二:動手操作:畫出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像.【思考】指出反比例函數(shù)y=2x和y=-2x的圖像所在象限,并說明y的值隨x的值的變化而變化的情況.【師生活動】學生獨立完成畫函數(shù)圖像的過程及思考,小組內(nèi)交流答案,教師對學生的回答作出點評.設(shè)計意圖通過學生動手操作、觀察思考、分析交流等數(shù)學活動,借助函數(shù)圖像直觀地歸納出反比例函數(shù)圖像的位置及y隨x的變化規(guī)律,教師還可以引導(dǎo)學生通過觀察對應(yīng)表或分析函數(shù)表達式進行認識,讓學生體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的應(yīng)用,同時培養(yǎng)學生觀察、分析、思考的能力.過渡語我們通過觀察特殊反比例函數(shù)y=6x與y=-6x及y=2x與y=-2x的圖像,得到了它們的性質(zhì),對于一般反比例函數(shù)y=kx,它有哪些性質(zhì)呢?思路一觀察所畫的函數(shù)圖像,學生在教師的引導(dǎo)下思考回答:(1)反比例函數(shù)圖像的形狀是什么?(雙曲線)(2)反比例函數(shù)圖像無限延伸后與x軸、y軸有公共點嗎?反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點O對稱嗎?(函數(shù)圖像與x軸、y軸沒有交點,關(guān)于原點O對稱)(3)函數(shù)圖像在哪個象限內(nèi)?函數(shù)表達式中誰決定函數(shù)圖像的位置?(當k>0時,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當k<0時,雙曲線的兩支分別位于第二、四象限)(4)觀察函數(shù)圖像,在每個象限內(nèi)隨著x的增大,y如何變化?函數(shù)表達式中誰決定函數(shù)圖像的增減性?(當k>0時,在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當k<0時,在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大)【師生活動】學生在教師設(shè)計的問題下邊思考邊回答,教師提示學生可以通過表格和圖像兩個方面思考解決問題,對回答有困難的問題,教師要給學生足夠的時間思考、交流.共同歸納總結(jié):【課件展示】一般地,反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質(zhì):1.當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小;2.當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大;3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點;4.雙曲線的兩支關(guān)于坐標原點成中心對稱.設(shè)計意圖通過教師設(shè)計的問題,引導(dǎo)學生由淺入深地思考,使學生在探究函數(shù)的性質(zhì)的過程中有明確的方向和目的,降低學生學習新知識的難度,培養(yǎng)學生觀察、分析及歸納總結(jié)的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合思想及由特殊到一般的數(shù)學方法.思路二類比以前研究的一次函數(shù)的方法,根據(jù)所列表格、函數(shù)表達式、所畫函數(shù)圖像,你能得到哪些結(jié)論?看看哪個小組得到的正確結(jié)論最多?【師生活動】觀察所畫的四個函數(shù)圖像后獨立思考,再小組合作交流,然后學生展示,教師在巡視過程中及時幫助有困難的學生,發(fā)現(xiàn)學生思考片面時,可以及時提醒學生從圖像形狀、增減性、對稱性等多個角度觀察思考,學生展示后,教師點評,師生共同歸納函數(shù)的性質(zhì).共同總結(jié):一般地,反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖像是雙曲線,它具有以下性質(zhì):1.當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小;2.當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大;3.雙曲線的兩支向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點;4.雙曲線的兩支關(guān)于坐標原點成中心對稱.設(shè)計意圖通過小組合作交流,歸納反比例函數(shù)的性質(zhì),學生之間的合作交流,培養(yǎng)了學生的合作精神,同時提高分析問題的能力.類比以前學過的函數(shù)的方法和性質(zhì)歸納總結(jié),讓學生體會數(shù)學中重要的學習方法類比,同時進一步體會數(shù)形結(jié)合思想是學習數(shù)學最常用的思想方法之一.例題講解(教材135頁例2)反比例函數(shù)y=kx的圖像如圖所示.(1)判斷k為正數(shù)還是負數(shù).(2)如果A(-3,y1)和B(-1,y2)為這個函數(shù)圖像上的兩點,那么y1與y2的大小關(guān)系是怎樣的?【師生活動】學生獨立思考后完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,對有疑問的學生,組長和老師積極幫助,教師鼓勵學生多角度思考比較函數(shù)值的大小,鼓勵學生一題多解,對學生的回答點評后課件展示答案,規(guī)范學生的解答過程.【課件展示】解:(1)因為反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一、三象限,所以k>0.(2)由k>0可知,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小.-3<-1,y1>y2.設(shè)計意圖通過觀察函數(shù)圖像的位置及增減性,判斷比例系數(shù)k的正負及比較圖像上點的縱坐標的大小,培養(yǎng)學生的讀圖能力和分析問題的能力,再次體會數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用,同時培養(yǎng)獨立思考、解決問題的能力.如圖所示,點A在反比例函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上,ABx軸于B,ACy軸于C,你能求出矩形OBAC的面積嗎?教師引導(dǎo)回答問題:(1)矩形的兩條鄰邊長與點A的坐標之間有什么關(guān)系?(2)點A在反比例函數(shù)圖像上,它的橫、縱坐標與比例系數(shù)之間是否有等量關(guān)系?(3)你能求出矩形OBAC的面積嗎?(4)求出的矩形面積與比例系數(shù)之間有什么關(guān)系?【師生活動】學生獨立思考后,小組交流,教師幫助有困難的學生,并對學生的展示作出評價.解:設(shè)點A的坐標為(x,y),則xy=3.S矩形OBAC=xy=3.拓展思考:(1)若點A在反比例函數(shù)y=3x(x<0)的圖像上,矩形的面積又是多少?它與比例系數(shù)之間有什么關(guān)系?(2)如圖所示,若點A是反比例函數(shù)y=kx(k0)圖像上任意一點呢?(3)若連接OA,則AOB與AOC的面積又有怎樣的關(guān)系?【師生活動】學生獨立思考后小組合作交流,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的回答進行點評,師生共同歸納結(jié)論.結(jié)論:反比例函數(shù)y=kx(k0)中比例系數(shù)k的幾何意義:S矩形OBAC=|x|y|=|k|,SABO=SACO=12|k|.設(shè)計意圖通過探究比例系數(shù)k的幾何意義,進一步運用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題,培養(yǎng)學生觀察、分析圖像,從圖像中獲取信息的能力.通過挖掘反比例函數(shù)表達式與面積之間的數(shù)量關(guān)系,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,同時對不同象限內(nèi)點的討論,讓學生感受數(shù)學學習的嚴謹性,體會由特殊到一般的數(shù)學方法.知識拓展1.反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號決定的,反過來,由雙曲線的位置或函數(shù)的增減性可以判斷k的符號.2.當k>0時,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限;當k<0時,雙曲線的兩支分別位于第二、四象限.3.反比例函數(shù)的增減性必須強調(diào)“在每一個象限內(nèi)”.當k>0時,在每一個象限內(nèi),y隨著x的增大而減小,但不能籠統(tǒng)地說:當k>0時,y隨著x的增大而減小.同樣,當k<0時,在每一個象限內(nèi),y隨著x的增大而增大,也不能籠統(tǒng)地說:當k<0時,y隨著x的增大而增大.4.過雙曲線y=kx(k0)上的任意一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線,這一點與垂足、原點所構(gòu)成的矩形的面積為S矩形=|k|,所構(gòu)成的三角形的面積為S=12|k|.三、課堂小結(jié)：1.反比例函數(shù)y=kx的圖像和性質(zhì):當k>0時,它的圖像位于第一、三象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小;當k<0時,它的圖像位于第二、四象限,在每個象限內(nèi),y的值隨x的值增大而增大.2.反比例函數(shù)y=kx(k0)中比例系數(shù)k的幾何意義.- 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