3數(shù)學(xué)分析續(xù)論模擬試題及答案一、單項選擇題(6、5)(1) 設(shè)bn為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列1nI這時有njA.lima=liman；B.11不定收斂；C.bn不一定有界；nnnnnTajtaJD.當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)先假設(shè)了恚為有界數(shù)列時，才有A成立.n(2) 設(shè)f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有A.當(dāng)I為開區(qū)間時f(I)必為開區(qū)間；B.當(dāng)f(I)為閉區(qū)間時I必為閉區(qū)間;C.當(dāng)f(I)為開區(qū)間時I必為開區(qū)間；D.以上A、B、C都不一定成立.(3) 設(shè)f(x)在某去心鄰域U(x°)內(nèi)可導(dǎo).這時有A若limf'(x)=A存在，則f'(x0)=A；B若f在x0連續(xù)，則A成立；xTx0C.若f(x0)=A存在，則lim廣(x)=A；D.以上A、B、C都不一定成立.xTx0(4) 設(shè)f(x)在a,b上可積，則有A.f(x)在a,b上必定連續(xù)；B.f(x)在a,b上至多只有有限個間斷點;Cf(x)的間斷點不能處處稠密；Df(x)在a,b上的連續(xù)點必定處處稠密(5)設(shè)£un為一正項級數(shù).這時有n=1A若limu=0,則nnTa£un收斂n=1B若£unnn=1收斂，則lim亠1<1；unTanc.若£un收斂,n=1則limnun<1；D.以上A、B、C都不一定成立.nTa、計算題(10'x4)(1) 試求下列極限:limnTg"1+3+(2n1)n丿limxT+8(fx2A2Jetdt(0丿Je212dt0(2) 設(shè)x_1u=y,u0=2ex2+y2x丿arctan試求f'(u)與f'(u0).(3)試求由曲線y=，直線x=2，以及二坐標(biāo)軸所圍曲邊梯形的面積S(4)用條件極值方法(Lagrange乘數(shù)法)導(dǎo)出從固定點(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離計算公式.三、證明題(10'x3)(1) 設(shè)f(x)與g(x)在a,b上都連續(xù)試證：若f(a)<g(a),f(b)>g(b)，貝I必存在x0e(a,b)，滿足f(x0)=g(x0)(2) 證明f(x)=xlnx在其定義域上為一嚴(yán)格凸函數(shù)，并導(dǎo)出不等式：(a+b+cAa+b+c<aabbcc3丿5其中a,b,c均為正數(shù).(提示：利用詹森不等式.)(3) 證明：一答(1)A；(2)C二、解2)3)蘭(-1)n兀L=2n+14n=0解答(3)B(4)D；(5)Dlim'1+3+(2n1)n3n=lim=3；nf8n+3丿nf8n+31)limxT+8f'(u)JXe212dt0222xex+yyx2+y2所圍曲邊梯形如右圖所示S=J(1-x222)dx+J(x21(x-2ex2Jet2dt02Jet2dt2ex2lim0=lim=0xf+8ex2xf+82xexlimxf+8e2x2y2x2+y2其面積為-1)dxx)2=2.1（4）由題意，所求距離的平方（d2）為（x-x0需滿足Ax+By+C=0，故此為一條件極小值問題依據(jù)Lagrange乘數(shù)法，設(shè))L=(x-xo)2+(y-yo)2+入(Ax+By+C)，5并令rlx<LyLl九(F)=2(x一x)+九A=0,0=2(y-yo)+九B=0,=Ax+By+C=0.由方程組(F)可依次解出:y=y0一C=Ax+ByAx02九C(A2+2九Ax+By)2+(y一y0)2(A2+B2)(Ax0+By0+C)2A2+B2d=(x-x0)2+(y-y°)2Ax+0-弋A2+B2Byo+C最后結(jié)果就是所求距離d的計算公式注上面的求解過程是由(F)求出九后直接得到d2，而不再去算出x與y的值,這是一種目標(biāo)明確而又簡捷的解法三證(1)只需引入輔助函數(shù)：h(x)=f(x)一g(x)易知h(x)在a,b上連續(xù)，滿足h(a)<0,h(b)>0，故由介值性定理(或根的存在定理)，必存在x0g(a,b)，滿足h(x0)=0，即f(x0)=g(x0).(2)/(x)=xlnx的定義域為(0,+8)，在其上滿足：1廠(x)=lnx+1,f"(x)=>0,xg(0,+8)，x所以f(x)為一嚴(yán)格凸函數(shù).根據(jù)詹森不等式，對任何正數(shù)a,b,c，恒有a+b+ca+b+c1ln(alna+blnb+clnc)<333a+b+caabbcc).nln(a+b+c/ln()abc<3最后借助函數(shù)lnx的嚴(yán)格遞增性，便證得不等式a+b+c)a+b+c,<aabbcc.(3) 由于較難直接求出該級數(shù)的部分和，因此無法利用部分和的極限來計算級數(shù)的g(_1兀丫2n+1和.此時可以考慮把該級數(shù)的和看作幕級數(shù)s(x)=Z丄丄衛(wèi)在x=1處的值,2n+1n=0于是問題轉(zhuǎn)為計算S(x).不難知道上述幕級數(shù)的收斂域為-1,1，經(jīng)逐項求導(dǎo)得到S'(X)=乞(-1)nx2n,xG-1,1；n=0這已是一個幾何級數(shù)，其和為xG-1,1.S'(X)=£(-X2)nn=0再通過兩邊求積分，還原得xx1S(x)一S(0)=JS(t)dt=Jdt=arctanx,001+t2由于這里的S(0)=0，于是求得占(-1)n兀£=S(1)=arct1a=n2n+14n=0