安徽省滁州二中高二數(shù)學(xué)《231 數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教A版選修2-2 【教學(xué)目標(biāo)】 1、知識與技能： （1）了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟。 （2）會證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。 2、過程與方法： 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會類比的數(shù)學(xué)思想。 3、情感、態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見和數(shù)學(xué)交流能力。 【教學(xué)重點】 借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 【教學(xué)難點】 （1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。 （2）運用數(shù)學(xué)歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。 【教學(xué)方法】運用類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)； 【教學(xué)手段】借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學(xué)； 【教學(xué)程序】 第一階段：創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維 情境1、法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到： 歸納猜想：任何形如 （n∈）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費馬猜想。 半個世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費馬的猜想?！安煌耆珰w納有時是錯誤的” （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程．） 情境2 、數(shù)列通過對前4項歸納，猜想——可以讓學(xué)生通過數(shù)列的知識加以驗證——“不完全歸納有時是正確的”。 通過對上述兩個情況的探究可以發(fā)現(xiàn)用“不完全歸納法”得到的結(jié)論不一定可靠。 為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的方法，從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學(xué)歸納法。 第二階段：搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 1、“多米諾骨牌”游戲動畫演示： 探究“多米諾骨牌”全部倒下的條件 引導(dǎo)學(xué)生思考并分析“多米諾骨牌”全部倒下的兩個條件； ①第一塊骨牌倒下； ②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 強(qiáng)調(diào)條件②的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。 2、類比“多米諾骨牌”的原理來驗證情境2中對于通項公式的猜想。 “多米諾骨牌”原理 ①第一塊骨牌倒下； ②若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下 驗證猜想 ↓ ↓ ①驗證猜想成立 ②如果時，猜想成立。即，則 當(dāng)時，即時猜想成立 3、引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1) 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；（歸納奠基） (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．（歸納遞推） 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 第三階段：鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實認(rèn)知過程 例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊，右邊，等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時，左邊= 即當(dāng)n=k+1時等式也成立。 =右邊 由（1）、（2）可知，n∈時，等式成立。