2020/8/2,鄭平正 制作鄭平正 制作,去“數(shù)學廣角”嘍！,2020/8/2,鄭平正 制作鄭平正 制作,3.1回歸分析的基本思想及其初步應用（三）,高二數(shù)學 選修2-3 第三章 統(tǒng)計案例,2020/8/2,鄭平正 制作,比數(shù)學3中“回歸”增加的內容,數(shù)學統(tǒng)計 畫散點圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應用問題,選修2-3統(tǒng)計案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機誤差項e產生的原因 了解相關指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結果,2020/8/2,鄭平正 制作,復習回顧,2、數(shù)據點和它在回歸直線上相應位置的差異 是隨機誤差的效應，稱 為殘差。,3、對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應。,2020/8/2,鄭平正 制作,4、兩個指標： （1）類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作 為 的估計量， 越小，預報精度越高。,（2）我們可以用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計算公式是：,R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。,2020/8/2,鄭平正 制作,表3-2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據以及相應的殘差數(shù)據。,在研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據。,5、殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據中是否存在可疑數(shù)據，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,2020/8/2,鄭平正 制作,殘差圖的制作及作用 1、坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 3、對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據；如果數(shù)據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。,2020/8/2,鄭平正 制作,例1 在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據為：,求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,解：,2020/8/2,鄭平正 制作,例1 在一段時間內，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據為：,求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,列出殘差表為,0.994,因而，擬合效果較好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,2020/8/2,鄭平正 制作,例2 關于x與y有如下數(shù)據： 有如下的兩個線性模型： （1） ；（2） 試比較哪一個擬合效果更好。,2020/8/2,鄭平正 制作,6、注意回歸模型的適用范圍：,（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據來自哪個總體的，預報時也僅適用于這個總體。 （2）模型的時效性。利用不同時間段的樣本數(shù)據建立的模型，只有用來對那段時間范圍的數(shù)據進行預報。 （3）建立模型時自變量的取值范圍決定了預報時模型的適用范圍，通常不能超出太多。 （4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經指出的，某個女大學生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預測她的體重，只能給出身高為172cm的女大學生的平均體重的預測值。,2020/8/2,鄭平正 制作,7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,2020/8/2,鄭平正 制作,案例2 一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y和溫度x有關。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據列于表中：,（1）試建立產卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產卵數(shù)目。 （2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產卵數(shù)的變化？,2020/8/2,鄭平正 制作,畫散點圖,假設線性回歸方程為 ：=bx+a,選 模 型,所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產卵數(shù)變化。,探索新知,方案1,當x=28時，y =19.8728-463.73 93,一元線性模型,2020/8/2,鄭平正 制作,奇怪？,9366 ? 模型不好？,2020/8/2,鄭平正 制作,方案2,問題3,合作探究,t=x2,二次函數(shù)模型,2020/8/2,鄭平正 制作,方案2解答,平方變換：令t=x2，產卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉化為產卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a,作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關指數(shù)R2=r20.8962=0.802,將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54 當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函數(shù)模型中溫度解 釋了80.2%的產卵數(shù)變化。,2020/8/2,鄭平正 制作,產卵數(shù),氣溫,指數(shù)函數(shù)模型,方案3,合作探究,對數(shù),2020/8/2,鄭平正 制作,方案3解答,當x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產卵數(shù)的變化,由計算器得：z關于x的線性回歸方程 為z=0.118x-1.665 ， 相關指數(shù)R2=r20.99252=0.985,2020/8/2,鄭平正 制作,最好的模型是哪個?,線性模型,二次函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,2020/8/2,鄭平正 制作,比一比,最好的模型是哪個?,2020/8/2,鄭平正 制作,這些問題也使用于其他問題。,涉及到統(tǒng)計的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時間性； 樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預報結果的正確理解。,小結,2020/8/2,鄭平正 制作,什么是回歸分析？ （內容）,從一組樣本數(shù)據出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學關系式 對這些關系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關系式，根據一個或幾個變量的取值來預測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預測或控制的精確程度,2020/8/2,鄭平正 制作,回歸分析與相關分析的區(qū)別,相關分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預測因變量的變化 相關分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量 相關分析主要是描述兩個變量之間線性關系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預測和控制,2020/8/2,鄭平正 制作,練習 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料。,若由資料知,y對x呈線性相關關系。試求： （1）線性回歸方程 的回歸系數(shù) ； （2）求殘差平方和； （3）求相關系數(shù) ； （4）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？,2020/8/2,鄭平正 制作,解：,（1）由已知數(shù)據制成表格。,所以有,