1會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式 2能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,第5課時 兩角和與差的三角函數(shù),和差角公式的考查方式主要有：一是利用公式進行化簡與求值；二是利 用和角公式證明三角恒等式；三是關于和角公式和其他知識的綜合應 用在高考中，在考查三角公式的掌握和運用的同時，還注重考查思維 的靈活性和發(fā)散性，以及運算能力和綜合分析能力,【命題預測】,1用向量的知識來解決三角函數(shù)問題，重視知識的發(fā)散能力和聯(lián)想能力， 注意培養(yǎng)數(shù)形結合思想注意公式的使用范圍，在T()中， 都不等于k (kZ)，即保證tan ，tan ，tan()都有意義 2在解決問題過程中，應創(chuàng)造條件應用公式，特別注意角與角之間的關系， 善于拆角、拼角，如2()(),2()()， ()，2()， 等， 特殊情況有,【應試對策】,輔助角公式 (1)由S，我們可以得出輔助角公式，即asin xbcos x sin(x) (其中角的終邊所在象限由a，b的符號確定，角滿足cos ， sin )，這是經(jīng)常用到的一個公式，它可把含sin x、cos x的一次式 的三角函數(shù)式化為Asin(x)的形式，從而進一步探索三角函數(shù)的性質(zhì)，這個 公式稱為輔助角公式,【知識拓展】,(2)常用結論： sin x cos x2sin ； sin xcos x sin x cos x2cos,1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 C()：cos() ； C()：cos() ； S()：sin() ； S()：sin() ； T()：tan() ；T()：tan() .,coscossinsin,coscossinsin,sincoscossin,sincoscossin,思考：已知sin() ，sin() ，能求 的值嗎？ 提示： . 5.,2形如asin bcos 的化簡 asin bcos sin()，其中cos ， sin ，tan ， 的終邊所在象限由 的值來確定,a、b,1(2010海門中學高三調(diào)研)在ABC中，已知sin A2sin Bcos C且sin B ，則sin A的值為_ 答案：,2若A、B是ABC的內(nèi)角，并且(1tan A)(1tan B)2， 則AB等于_ 解析：由(1tan A)(1tan B)2得1tan Atan Btan Atan B2. 所以tan Atan B1tan Atan B， 由tan(AB) 1. 又A、B是ABC的內(nèi)角，0<AB<.AB . 答案：,3(2010淮安能力測試)已知 ， ， 則cos _. 解析： ， 答案：,4在ABC中，C90，則tan Atan B與1的關系_ (填，90，所以AB0， tan Atan B0.所以1tan Atan B0，tan Atan B<1. 答案：<,若sin sin 1 ，cos cos ， 則cos()的值為_ 解析：由sin sin 1 得： sin22sin sin sin2 . 由cos cos 得：cos22cos cos cos2 . 得112(cos cos sin sin )2 ， 即2cos() .cos() . 答案：,5,1三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則： (1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； (3)三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等,2根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡中注意角的范圍以確 定三角函數(shù)值的正負號. 3對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題 的基本思路有：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正、負相消的項，消去求值；(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值,【例1】 (1)化簡 (0<<)； (2)求值： 思路點撥：(1)從把角變?yōu)?入手，合理使用公式 (2)注意角之間的關系，切化弦，從題設代數(shù)式聯(lián)系與三角函數(shù)公 式結構的差異，尋找解題思路，同時將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過約分消掉,解：(1)原式 因為00，所以原式cos .,(2)sin 50(1 tan 10)sin 50 sin 50 1， cos 80 sin 10 sin210. ,變式1：化簡：(1)3 sin x3 cos x； (2) 解：(1)解法一： ,解法二： (2)原式 0.,變式2： 計算： 解：原式 ,三角函數(shù)的給值求值問題，解決的關鍵在于把“所求角”用“已知角”表示 (1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或 差的形式； (2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的 關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”如：()； ()()； ()()； 等,【例2】已知0<< <， 求sin()的值 思路點撥：比較題設中的角與待求式中的角，不難發(fā)現(xiàn) ()或?qū)os 變化為sin 再由 ()求解,解：解法一： 又cos ，sin 0<< ， .cos sin()cos ,解法二： ， sin()sin ,變式3： (蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查)若tan() ， tan ，則tan _. 解析： = 答案：,1通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則： (1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； (2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是 ， 選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好； 若角的范圍為 ，選正弦較好 2. 解給值求角問題的一般步驟為： （1）求角的某一個三角函數(shù)值； （2）確定角的范圍； （3）根據(jù)角的范圍寫出所求的角.,【例3】 已知A、B均為鈍角且sin A ，sin B .求AB. 思路點撥：求出AB的某個三角函數(shù)值并由A，B的范圍確定AB的值 解：A、B均為鈍角且sin A ，sin B ， cos B cos(AB)cos Acos Bsin Asin B ，又 A， B， AB2，AB .,變式4：已知0<< ，0<< ，且3sin sin(2),4tan 1tan2 ， 求的值 解：由4tan 1tan2 得tan 由3sin()sin()得tan()2tan ， tan()1.又0<< ，0<< ， 0<< . .,化成一個角的一個三角函數(shù)的問題，就是指利用公式asin bcos sin() 來解決的問題，通過公式asin bcos sin()的轉(zhuǎn)化， 實際上就把asin xbcos x問轉(zhuǎn)化成了Asin(x)的問題,【例4】已知函數(shù)y cos2x sin x cos x1，xR. (1)當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合 (2)該函數(shù)的圖象可由ysin x(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮 變換得到？ 思路點撥：將函數(shù)y轉(zhuǎn)化為Asin(x)m的形式解之,解：(1)y cos2x sin xcos x1 y取得最大值必須且只需2x 2k(kZ)， 即x k(kZ)， 所以當y取最大值時，自變量x的集合為,(2)將函數(shù)ysin x依次進行如下變換： 把函數(shù)ysin x的圖象向左半移 ，得到y(tǒng)sin 的圖象； 把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來 的倍(縱坐標不變)， 得到函數(shù)ysin 的圖象； 把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的 倍(橫坐標不變)， 得到函數(shù)y sin 的圖象； 把得到的圖象向上平移 個單位， 得到函數(shù)y cos2x sin xcos x1的圖象,變式5： (江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知向量a(2sin x，cos x)， b(cos x，acos x)，a為常數(shù)，函數(shù)f(x)ab，aR， 且x 是方程f(x)0的解 (1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)求x 時，求函數(shù)f(x)的最值,解：(1)因為a(2sin x，cos x)，b(cos x，acos x)，函數(shù)f(x)ab， 所以，f(x)ab2sin xcos xacos2xsin 2xacos2x. 又x 是方程f(x)0的解， 所以 ，所以1 a0，解得a2. 所以f(x)sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x1， 故f(x) 1.,(2)由(1)得f(x) 1. 所以由題意得 (kZ)， 所以k xk (kZ) 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (kZ) (3)因為x ，所以2x ，所以 所以 ，故 所以函數(shù)f(x)的最大值與最小值分別為 1和2.,把公式tan() 的分母去掉后可整理成tan tan tan()tan()tan tan ，利用這種變形化簡或證明一些含有tan tan 及tan tan 的式子時，有時能起到事半功倍的效果,【例5】化簡tan 20tan 40 tan 20tan 40. 思路點撥：題目中出現(xiàn)了tan 20tan 40與tan 20tan 40， 因此考慮用兩角和的正切公式變形形式進行化簡 解：原式tan(2040)(1tan 20tan 40) tan 20tan 40 tan 20tan 40 tan 20tan 40 .,變式6： 化簡：(1)tan 19tan 26tan 19tan 26； (2)tan 71tan 11 tan 71tan 11. 解：(1)原式tan(1926)(1tan 19tan 26) tan 19tan 261. (2)原式tan(7111)(1tan 71tan 11) tan 71tan 11 .,【規(guī)律方法總結】,1兩角和與差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是“揭示同名不同角的三角函數(shù)的運算規(guī)律”了解公式能夠解決的三類基本題型：求值題、化簡題、證明題對公式會“正用”、“逆用”、“變形用”掌握角的變化技巧，如2()()，()等將公式和其它知識銜接起來使用，如與三角函數(shù)的性質(zhì)的銜接等 2求出角的某三角函數(shù)值再求角時，應注意確定角的范圍 3本節(jié)體現(xiàn)的數(shù)學思想：整體思想、方程思想.,【例6】 已知偶函數(shù)f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin 的最小值是0，求f(x)的最大值及此時x的集合,偶函數(shù)必須對定義域內(nèi)任意x都滿足f(x)f(x)，本題就是要根據(jù)這個恒等關系求出常數(shù)所滿足的關系，然后根據(jù)函數(shù)的最小值為0，確定函數(shù)的最大值以及取得最大值時x的集合本題容易出錯的地方是：(1)對關于x的等式恒成立的條件判斷錯誤，求錯tan 的值；(2)由tan 的值求解sin 的值時漏解，只求出sin ，其結果是導致本題無解,【錯因分析】,解：f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin sin cos x(tan 2)sin xsin ， 因為f(x)是偶函數(shù)，所以對任意xR，都有f(x)f(x)， 即sin cos(x)(tan 2)sin(x)sin sin cos x(tan 2)sin xsin ， 即(tan 2)sin x0，所以tan 2.,【答題模板】,由 解得，或 此時，f(x)sin (cos x1) 當sin 時，f(x) (cos x1)的最大值為0， 與題意最小值為0不符，舍去； 當sin 時，f(x) (cos x1)最小值為0，符合題意， 故當cos x1時，f(x)有最大值為 ，此時自變量x的集合為 x|x2k，kZ,【狀元筆記】,三角恒等變換是解決三角函數(shù)問題的主要手段，在進行三角恒等變換時要注意公式使用正確，變換過程中運算準確；一個關于變量的式子如果對這個變量取任意值時都恒等于0，這就說明這個式子中變量的系數(shù)都等于0；當已知一個角的正切值求這個角的正弦值、余弦值時，其基本方法就是本題中解答這種方程的方法，要注意解的個數(shù)，不要漏解.,求值：(1)cos 43cos 77sin 43cos 167； (2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40. 解：(1)原式cos 43cos 77sin 43sin77 cos(4377)cos 120 .,(2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40 tan 70(cos 10 sin 10)2cos 40 2tan 70sin(3010)2cos 40 2 = 2,