小學奧數(shù)第第 2929 講講 抽屜原理（一）抽屜原理（一）一、知識要點一、知識要點如果給你 5 盒餅干，讓你把它們放到 4 個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有 2盒餅干。如果把 4 封信投到 3 個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有 2 封信。如果把3 本聯(lián)練習冊分給兩位同學，那么可以肯定其中有一位同學至少分到 2 本練習冊。這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學中的“抽屜原理”。基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把 x+k（k1）個元素放到 x 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有 2 個或 2 個以上的元素。（2）如果把 mxk（xk1）個元素放到 x 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有 m+1 個或更多個元素。利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素”？然后按以下步驟解答：a、構造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結論。本周我們先來學習第（1）條原理及其應用。二、精講精練二、精講精練【例題【例題 1 1】某校六年級有學生 367 人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么？把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學生人數(shù)看成是元素。把 367 個元素放到 366 個抽屜中，至少有一個抽屜中有 2 個元素，即至少有兩個學生的生日是同一天。平年一年有 365 天，閏年一年有 366 天。把天數(shù)看做抽屜，共 366 個抽屜。把 367 個人分別放入 366 個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學生的生日是同一天。練習練習 1 1：1、某校有 370 名 1992 年出生的學生，其中至少有 2 個學生的生日是同一天，為什么？2、某校有 30 名學生是 2 月份出生的，能否至少有兩個學生生日是在同一天？3、15 個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？小學奧數(shù)小學奧數(shù)【例題【例題 2 2】某班學生去買語文書、數(shù)學書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書（每種書最多買一本）？首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有 7 種類型，把 7 種類型看成 7 個抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有 2 人，那么去的人數(shù)應大于抽屜數(shù)。所以至少要去 7+1=8（個）學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書。買書的類型有：買一本的：有語文、數(shù)學、外語 3 種。買二本的：有語文和數(shù)學、語文和外語、數(shù)學和外語 3 種。買三本的：有語文、數(shù)學和外語 1 種。3+3+1=7（種）把7 種類型看做 7 個抽屜，要保證一定有兩位同學買到相同的書，至少要去 8 位學生。練習練習 2 2：1 1、某班學生去買語文書、數(shù)學書、外語書、美術書、自然書。買書的情況是：有買一本的、二本的、三本或四本的。，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書（每種書最多買一本）？2、學校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個學生從中任意借兩本，那么至少要幾個同學才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種？3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的？小學奧數(shù)小學奧數(shù)【例題【例題 3 3】一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有 3 副同色的？把四種不同的顏色看成是 4 個抽屜，把手套看成是元素，要保證有 1 副同色的，就是 1個抽屜里至少有 2 只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5 只手套。這時拿出1 副同色的后，4個抽屜中還剩下 3 只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看成是 4 個抽屜，要保證有 3 副同色的，先考慮保證有一副就要摸出 5 只手套。這時拿出 1 副同色的后，4 個抽屜中還剩下 3 只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出 2 只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有 3 副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只）答：最少要摸出 9 只手套才能保證有 3 副同色的。練習練習 3 3：1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有 4 副同色的？2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要摸出多少只襪子，才能保證有 3 雙同色的？3、一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各8 只。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有 2 雙不同襪子？小學奧數(shù)小學奧數(shù)【例題【例題 4 4】任意 5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是 4 的倍數(shù)，這是為什么？一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)只能是 0，1，2，3。如果有 2 個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差就是 4 的倍數(shù)。一個自然數(shù)除以 4 的余數(shù)可能是 0，1，2，3，所以，把這 4 種情況看做時個抽屜，把任意 5 個不相同的自然數(shù)看做 5 個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有 2 個數(shù)，而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是 4 的倍數(shù)。所以，任意 5 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是 4 的倍數(shù)。練習練習 4 4：1、任意 6 個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是 5 的倍數(shù)，這是為什么？2、任意取幾個不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個數(shù)的差是 8 的倍數(shù)？3、證明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為 n 的倍數(shù)?！纠}【例題 5 5】能否在圖 29-1 的 5 行 5 列方格表的每個空格中，分別填上 1，2，3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線 AD、BC 上的各個數(shù)的和互不相同？由圖 29-1 可知：所有空格中只能填寫 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每條對角線上的 5個數(shù)的和最小是 15=5，最大是 35=15。從 5 到 15 共有 11 個互不相同的整數(shù)值，把這 11個值看承 11 個抽屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個數(shù)就可得出結論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的 5 個數(shù)的和最小是5，最大是15，從5 到 15 共有 11 個互不相同的整數(shù)值。而5 行、5 列及兩條對角線上的各個數(shù)的和共有 12 個，所以，這 12 條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的。小學奧數(shù)小學奧數(shù)練習練習 5 5：1、能否在6 行 6 列方格表的每個空格中，分別填上1，2，3 這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？2、證明在 88 的方格表的每個空格中，分別填上 3，4，5 這三個數(shù)中的任一個，在每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和中至少有兩個和是相同的。3、在 39 的方格圖中（如圖 29-2 所示），將每一個小方格涂上紅色或者藍色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？小學奧數(shù)