第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割 一頁(yè)普通的紙，童年時(shí)我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動(dòng)物，民間藝人可以把它剪成美麗的圖案折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，是豐富想象力與心靈手巧的結(jié)合 對(duì)圖形進(jìn)行折疊與剪拼，是學(xué)習(xí)幾何不可或缺的重要一環(huán)，通過(guò)折疊與剪拼圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何結(jié)論并知曉這些結(jié)論是怎樣被證明的 把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊，對(duì)圖形通過(guò)有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼解與圖形折疊或剪拼相關(guān)的問(wèn)題，利用不變量解題是關(guān)鍵，在折疊過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)保持不變；在剪拼過(guò)程中，新圖形與原圖形的面積一般保持不變例題求解【例1】 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 (南通市中考題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)CD=x，由折疊的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換，將條件集中到RtBDE中，建立x的方程注 圖形折疊與剪拼問(wèn)題可考壹我們的動(dòng)手操作能力和分析推理能力，解題時(shí)需要把計(jì)算、推理與合情想象結(jié)合起來(lái) 折疊問(wèn)題可以對(duì)稱(chēng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)： (1)折痕兩邊是全等的； (2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分解折疊問(wèn)題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識(shí)與方法 【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分AFC的面積為( )A12 D10 C8 D6 (2004年武漢市選拔賽試題) 思路點(diǎn)撥 只需求出AF長(zhǎng)即可【例3】 取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下： 第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖1； 第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，得RtAB'E，如圖2； 第三步：沿EB'線折疊得折痕EF，如圖3 利用展開(kāi)圖4探究： (1)AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論 (2)對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由 (山西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例沒(méi)有現(xiàn)成的結(jié)論，需經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而探究得到結(jié)論 【例4】如圖，是從邊長(zhǎng)為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長(zhǎng)為20cm、寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料工人師傅要將它作適當(dāng)?shù)厍懈?，重新拼接后焊成一個(gè)面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件 (1)請(qǐng)根據(jù)上述要求，設(shè)計(jì)出將這塊下腳料適當(dāng)分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫(huà)出切割時(shí)所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡)；(2)比較(1)中的兩種方案，哪種更好一些?說(shuō)說(shuō)你的看法和理由 （山東省中考題)思路點(diǎn)撥 拼接后正方形的邊長(zhǎng)為，它恰是以30cm和10cm為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)，為此可考慮設(shè)法在原鋼板上構(gòu)造兩直角邊長(zhǎng)分別為30和l0cm的直角三角形，這是解本例的關(guān)鍵 注 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，應(yīng)該通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，從而使知識(shí)得到內(nèi)化，形成能力 近年中考中涌現(xiàn)的設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問(wèn)題，注重對(duì)動(dòng)手實(shí)踐操作、應(yīng)用意識(shí)、學(xué)習(xí)潛能的考查 【例5】 用10個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一個(gè)矩形 (1)求這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬； (2)請(qǐng)畫(huà)出拼接圖 思路點(diǎn)撥 利用拼接前后圖形面積不變求矩形的長(zhǎng)和寬；運(yùn)用矩形對(duì)邊相等這一性質(zhì)畫(huà)拼接圖 【例6】 如圖，已知ABC中，B=C=30°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將ABC分割成四個(gè)三角形，使得其中兩個(gè)是全等三角形，而另外兩個(gè)是相似但不全等的直角三角形請(qǐng)畫(huà)出分割線段，標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的所得三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)角度數(shù)(或記號(hào))(畫(huà)圖工具不限，不要求證明，不要求寫(xiě)出畫(huà)法) (溫州市中考題) 思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用幾何計(jì)算、推理和作圖，綜合運(yùn)用動(dòng)手操作、空間想象、解決問(wèn)題學(xué)力訓(xùn)練1 將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線)，繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到 條折痕，如果對(duì)折n次，可以得到 條折痕(2002年南寧市中考題) 2一張直角三角形的紙片，像圖中那樣折疊，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、B重合，若B=30°，AC=，則折痕DE的長(zhǎng)等于 (三明市中考題)3如圖，將一塊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折至DC邊上的點(diǎn)E，使DE5，折痕為PQ，則線段PM= 4在ABC中，已知AB=20，A=30°，CD是AB邊的中線，若將ABC沿CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前ABC的面積的，有如下結(jié)論：AC邊的長(zhǎng)可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于；折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等，其中，正確結(jié)論有 個(gè) (天津市中考題)5將四個(gè)相同的矩形(長(zhǎng)是寬的3倍)，用不同的方式拼成一個(gè)大矩形，設(shè)拼得大矩形的面積是四個(gè)小矩形的面積和，則大矩形周長(zhǎng)的值只可能有( ) A1種 B2種 C3種 D4種 (2003年南昌市中考題)6如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則A與1+2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( ) AA=1+2 B2A1+2C3A21+2 D3A=2(l+2) (北京市海淀區(qū)中考題)7將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折(如圖)，然后沿著圖中的虛線剪下，得到、兩部分將展開(kāi)后得到的平面圖形是( ) A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 (陜西省中考題)8如圖1，小強(qiáng)拿一張正方形的紙，沿虛線對(duì)折一次得圖2，再對(duì)折一次得圖3，然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個(gè)角，再打開(kāi)后的形狀是( ) (濟(jì)南市中考題) 9如圖，東風(fēng)汽車(chē)公司沖壓廠沖壓汽車(chē)零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車(chē)零件成本，變廢為寶，把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠粉碎機(jī)上的零件，銷(xiāo)售給紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠，這些零件的形狀都是矩形現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割的次數(shù)最多兩次(切割的損失可忽略不計(jì)) (1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的切割焊接方案，并用簡(jiǎn)要的文字加以說(shuō)明； (2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，則該三角形需滿足什么條件? (十堰市中考題)10如圖，ABCD是矩形紙片，E是AB上一點(diǎn)，且BE：EA5：3，EC=15，把BCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F，求AB、BC的長(zhǎng)11如圖，在ABC中，AB3，AC4，BC=5，現(xiàn)將它折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則折痕的長(zhǎng)是 (四川省競(jìng)賽題)12如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，第二次過(guò)A，再折疊，使折痕DEBC，若AB=2，AC=3，則梯形BDEC的面積為 ( “宇振杯”上海市競(jìng)賽題)13如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成既無(wú)縫隙又無(wú)重疊的四邊形EFGH，若EH3，EF4，那么線段AD與AB的比等于 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)14要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件，且使兩種零件的數(shù)量相等有兩種面積相等的矩形鋁板，第一種長(zhǎng)500mm，寬300mm(如圖2)；第二種長(zhǎng)600mm，寬250mm(如圖3)；可供選用 (1)填空：為了充分利用材料，應(yīng)選用第 種鋁板，這時(shí)一塊鋁板最多能剪甲、乙兩種零件共 個(gè)，剪出這些零件后，剩余的邊角料的面積是 mm2(2)畫(huà)圖，從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖，在上面畫(huà)出剪切線，并把邊角余料用陰影表示出來(lái)15如圖，EF為正方形ABCD的對(duì)折線，將A沿DK折疊使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)，則DKG為( )A15° B30° C55° D75°16某班在布置新年聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不等的矩形彩條，如圖，在RtABC中，C90°，AC=30，AB=50cm，依次裁下寬為1的矩形紙條a1，a2，a3，若使裁得的矩形紙條的長(zhǎng)都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是( ) A24 B25 C 26 D27 (山東省濟(jì)南市中考題)17如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)a1，則這個(gè)正方形的面積為( )A B C D (2003年山東省競(jìng)賽題)18如圖，已知RtABC中，C90°，沿過(guò)點(diǎn)月的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)為D，要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，問(wèn)在圖中還需添加什么條件?(1)寫(xiě)出兩個(gè)滿足邊的條件；(2)寫(xiě)出兩個(gè)滿足角的條件；(3)寫(xiě)出一個(gè)滿足除邊角以外的其他條件 (黃岡市競(jìng)賽題)19如圖，正方形紙片ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，折疊正方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平后，得折痕MN，設(shè)梯形ADMN的面積為S1，梯形BCMN的面積為S2，求的值20已知一個(gè)三角形紙片ABC，面積為25，BC的長(zhǎng)為l0，B、C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作MNBC交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x(1)用x表示AMN的面積；(2)AMN沿MN折疊，使AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)A，AMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y 用的代數(shù)式表示y，并寫(xiě)出x的取值范圍 當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分的面積y最大，最大為多少?