1.3相似三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)【知識與能力】1.了解相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比. 了解相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.2.能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算. 能應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)周長、面積的計算.【過程與方法】1.通過探究、討論、猜想、證明,讓學(xué)生經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程,體會探索研究問題的一般思路和方法.2.利用相似三角形的性質(zhì)解決問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【情感態(tài)度價值觀】1.經(jīng)歷觀察、引導(dǎo)、實踐、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程,發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力.2.經(jīng)歷觀察猜想證明歸納等探究過程,培養(yǎng)學(xué)生主動探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度.教學(xué)重難點【教學(xué)重點】相似三角形的性質(zhì)定理的探索及應(yīng)用.【教學(xué)難點】 相似三角形性質(zhì)的歸納推理.課前準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入：導(dǎo)入一:復(fù)習(xí)提問:1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?2.相似三角形有哪些基本特征?【師生活動】學(xué)生思考回答,教師點評.導(dǎo)入語我們已經(jīng)知道:兩個相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,除了這些基本性質(zhì)外,還有什么性質(zhì)呢?這就是我們這節(jié)課要探究的內(nèi)容.導(dǎo)入二:【課件展示】小華做小孔成像實驗,如下圖,已知蠟燭與成像板間的距離為l,當(dāng)蠟燭與成像板間的小孔紙板放在何處時,蠟燭焰AB是像A'B'的一半長?【教師活動】教師展示課件,導(dǎo)出課題.設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)相似三角形的概念和判定方法,做好新舊知識之間的銜接;由生活實際問題導(dǎo)出課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系.二、新知構(gòu)建：過渡語全等三角形的對應(yīng)高、對應(yīng)中線和對應(yīng)角平分線分別相等.兩個相似三角形,它們的對應(yīng)高、對應(yīng)中線和對應(yīng)角平分線的比與它們的相似比之間有什么關(guān)系呢?通過今天的學(xué)習(xí),我們將得到結(jié)論.一起探究相似三角形的性質(zhì)思路一相似三角形的對應(yīng)線段的比等于相似比.【課件展示】如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,其中AD,A'D'分別是BC和B'C'上的高,那么AD與A'D'的比與相似比之間有怎樣的關(guān)系?【思考】(1)圖中的ABD和A'B'D'相似嗎?如何證明?(2)由相似三角形的性質(zhì),你能得到AD與A'D'的比與相似比之間的關(guān)系嗎?(3)請寫出你的解答過程.(4)你能敘述你得到的結(jié)論嗎?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,學(xué)生完成解答過程,小組代表板書,教師及時幫助有困難的學(xué)生,并規(guī)范書寫格式.【課件展示】相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.已知:如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.求證:ADA'D'=k.證明:ABCA'B'C',B=B'.又ADBC,A'D'B'C',ADB=A'D'B'=90°,ADBA'D'B'.ADA'D'=ABA'B'=k.追加提問:(1)能去掉性質(zhì)中的對應(yīng)兩個字嗎?(2)如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k.AE與A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線,AF與A'F'分別為BAC和B'A'C'的平分線.猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分別與相似比有怎樣的關(guān)系?(3)類比上述證明方法,你能證明上述結(jié)論嗎?(4)怎樣用語言描述上述結(jié)論?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成證明過程,小組內(nèi)合作交流答案,小組代表展示證明過程,師生共同點評,共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.1.已知:如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AE,A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線.求證:AEA'E'=k.證明:ABCA'B'C',B=B',ABA'B'=BCB'C'.又AE與A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線,BE=12BC,B'E'=12B'C',BEB'E'=ABA'B',ABEA'B'E'.AEA'E'=ABA'B'=k.2.已知:如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AF,A'F'分別為BAC,B'A'C'的平分線.求證:AFA'F'=k.證明:ABCA'B'C',B=B',BAC=B'A'C'.又AF,A'F'分別為BAC,B'A'C'的平分線,BAF=12BAC,B'A'F'=12B'A'C',BAF=B'A'F',ABFA'B'F'.AFA'F'=ABA'B'=k.思路二動手操作:(1)讓學(xué)生作出兩個三角形ABC與A'B'C',使ABCA'B'C',并通過測量得出相似比.(2)分別過點A作ADBC,A'D'B'C',垂足分別為D,D'.(3)測量兩個三角形的高AD與A'D',求出ADA'D'的值.(4)猜想:相似三角形對應(yīng)高的比與相似比之間的關(guān)系.(5)證明你的猜想.【師生活動】學(xué)生測量比較后小組合作交流結(jié)果,完成猜想及證明,小組代表板書過程,教師巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,并及時發(fā)現(xiàn)問題,在點評時強(qiáng)調(diào)易錯點.【課件展示】相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.已知:如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.求證:ADA'D'=k.證明:同思路一.追加提問:(1)能去掉性質(zhì)中的對應(yīng)兩個字嗎?(2)如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k.AE與A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線,AF與A'F'分別為BAC和B'A'C'的平分線.猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分別與相似比有怎樣的關(guān)系?(3)類比上述證明方法,你能證明上述結(jié)論嗎?(4)怎樣用語言描述上述結(jié)論?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成證明過程,小組內(nèi)合作交流答案,小組代表展示證明過程,師生共同點評,共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.1.已知:如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AE,A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線.求證:AEA'E'=k.證明:同思路一.2.已知:如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AF,A'F'分別為BAC,B'A'C'的平分線.求證:AFA'F'=k.證明:同思路一.【課件展示】歸納性質(zhì):相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比,都等于相似比.設(shè)計意圖思路一在教師的引導(dǎo)下,由相似三角形的性質(zhì)得對應(yīng)角相等,然后利用相似三角形的判定定理證出三角形相似,從而得到對應(yīng)高的比等于相似比;思路二通過測量,提出猜想,然后小組交流,完成猜想的證明.通過學(xué)生的自主探究,完成知識的形成過程,提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.例題講解【課件展示】如圖所示,在ABC中,ADBC,垂足為D,EFBC,分別交AB,AC,AD于點E,F,G,AEAB=35,AD=15.求AG的長.教師引導(dǎo)思考:(1)由EFBC可以得到哪兩個三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG與AD是不是相似三角形的對應(yīng)線段?(4)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)能否求出線段AG的長?【師生活動】學(xué)生在教師提出的問題的引導(dǎo)下思考,獨(dú)立完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,教師對學(xué)生的展示進(jìn)行評價,并規(guī)范解題格式.【課件展示】解:EFBC,AEFABC.ADBC,ADEF.AGAD=AEAB.又AEAB=35,AD=15,AG15=35,AG=9.設(shè)計意圖學(xué)生在教師的引導(dǎo)下共同完成例題的探究,加深對相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握,提高學(xué)生的應(yīng)用意識,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.知識拓展相似三角形的性質(zhì)可用于有關(guān)角的計算、線段長的計算等,還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等等.【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點評.【課件展示】某施工隊在道路拓寬施工時遇到這樣一個問題,馬路旁原有一個面積為100平方米、周長為80米的三角形綠化地.由于馬路的拓寬,綠地被削去一個角,變成了一個梯形,原綠化地一邊BC的長由原來的30米變?yōu)?8米.那么被削去的部分的面積有多少?你能解決這個問題嗎?【教師活動】教師展示課件,導(dǎo)出課題.導(dǎo)入語通過今天的學(xué)習(xí),我們利用相似三角形的性質(zhì)可以解決有關(guān)周長、面積的問題.過渡語上節(jié)課我們探究了相似三角形的對應(yīng)線段比等于相似比,那么相似三角形的周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系呢?讓我們一起去探究.一起探究相似三角形的周長比、面積比與相似比之間的關(guān)系思路一活動一:根據(jù)圖上標(biāo)出的數(shù)據(jù),回答下列問題:【思考】(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)易知兩個直角三角形相似,相似比是多少?(2)計算這兩個三角形的周長,它們的周長比與相似比有什么關(guān)系?(3)計算兩個三角形的面積,它們的面積比與相似比有什么關(guān)系?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成后回答教師提出的問題.活動二:(1)猜想1:任意相似三角形的周長比與相似比有什么關(guān)系?(2)你能證明猜想1的結(jié)論嗎?(3)猜想2:任意相似三角形的面積比與相似比有什么關(guān)系?(4)你能證明猜想2的結(jié)論嗎?【師生活動】學(xué)生思考后,小組合作交流,共同探究證明方法,板書證明過程,教師及時幫助有困難的學(xué)生,并點評學(xué)生的解答,規(guī)范學(xué)生的證明格式,師生共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形的周長比等于相似比.相似三角形的面積比等于相似比的平方.已知:如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.求證:CABCCA'B'C'=k,SABCSA'B'C'=k2.證明:ABCA'B'C',相似比為k,ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k,ADA'D'=k.AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.CABCCA'B'C'=AB+BC+ACA'B'+B'C'+A'C'=kA'B'+kB'C'+kA'C'A'B'+B'C'+A'C'=k,SABCSA'B'C'=12BC·AD12B'C'·A'D'=BCB'C'·ADA'D'=k2.活動三:你能用幾何語言描述上述相似三角形的性質(zhì)嗎?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點評,課件展示正確結(jié)論.【課件展示】如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,則CABCCA'B'C'=k,SABCSA'B'C'=k2.思路二【課件展示】如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.(1)ABC的周長和A'B'C'的周長的比與它們的相似比有什么關(guān)系?請說明理由.(2)ABC的面積和A'B'C'的面積的比與它們的相似比有什么關(guān)系?請說明理由.【師生活動】教師給學(xué)生足夠的時間思考、小組合作交流,共同探索相似三角形的周長比、面積比與相似比之間的關(guān)系及證明思路,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,學(xué)生探究出結(jié)論后,完成證明過程,教師對學(xué)生的展示進(jìn)行點評,師生共同歸納相似三角形的性質(zhì).【課件展示】相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形的周長比等于相似比.相似三角形的面積比等于相似比的平方.已知:如圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.求證:CABCCA'B'C'=k,SABCSA'B'C'=k2.證明:ABCA'B'C',相似比為k,ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k,ADA'D'=k,AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.CABCCA'B'C'=AB+BC+ACA'B'+B'C'+A'C'=kA'B'+kB'C'+kA'C'A'B'+B'C'+A'C'=k,SABCSA'B'C'=12BC·AD12B'C'·A'D'=BCB'C'·ADA'D'=k2.追加思考:你能用幾何語言描述上述相似三角形的性質(zhì)嗎?【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考回答,教師點評,課件展示正確結(jié)論.【課件展示】如上圖所示,ABCA'B'C',相似比為k,則CABCCA'B'C'=k,SABCSA'B'C'=k2.設(shè)計意圖思路一讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探究過程,通過計算、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,有助于理解掌握相似三角形的性質(zhì);思路二主要通過小組合作交流,探究相似三角形的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的合作意識,嚴(yán)格地推理論證性質(zhì)定理,培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,同時培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力.例題講解過渡語我們探究了相似三角形的性質(zhì),應(yīng)用這些性質(zhì)可以直接解決一些有關(guān)問題,我們一起嘗試解決下列問題.如圖所示,在ABC中,D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中點.求:(1)DEF的周長與ABC的周長之比.(2)DEF的面積與ABC的面積之比.解析由三角形的中位線定理可以得到DEF三邊與ABC三邊之間的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)相似三角形的判定定理可得兩個三角形相似,且相似比為12,由相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方,可得結(jié)論.【師生活動】學(xué)生在教師的引導(dǎo)分析下回答問題,然后獨(dú)立完成解答,小組成員交流答案,小組代表板書過程,教師點評,規(guī)范學(xué)生書寫過程.【課件展示】解:D,E,F分別為BC,AC,AB的中點,DEAB,EFBC,DFAC,且DE=12AB,EF=12BC,DF=12AC.DEAB=EFBC=DFAC=12.DEFABC.DEF的周長與ABC的周長之比為12,DEF的面積與ABC的面積之比為14.設(shè)計意圖通過經(jīng)歷對例題的探究過程,加深學(xué)生對相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握,達(dá)到鞏固知識的目的,提高學(xué)生應(yīng)用意識,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.知識拓展相似三角形的性質(zhì)可用于有關(guān)角的計算、線段長的計算以及三角形的周長和面積的計算等,還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等等.三、課堂小結(jié)：1.相似三角形的性質(zhì):(1)相似三角形的對應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形的對應(yīng)角相等;(3)相似三角形的對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線)的比等于相似比;(4)相似三角形的周長比等于相似比;(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.- 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