第四章 圖形的相似 測試卷一、選擇題1已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A=B=C=D=2已知，那么的值是（）A3B4C5D63下列兩個圖形一定相似的是（）A兩個矩形B兩個等腰三角形C兩個五邊形D兩個正方形4如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是（）A4：9B2：3C16：81D9：45如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與CEF相似的三角形有（）個A1B2C3D46如圖，D為ABC邊BC上一點，要使ABDCBA，應(yīng)該具備下列條件中的（）A=B=C=D=7如圖，在ABC中，若DEBC，DE=3cm，則BC的長為（）A3cmB6cmC9cmD12cm8如圖，ABC中，A=78°，AB=4，AC=6將ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A BC D9如圖，線段CD兩個端點的坐標(biāo)分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標(biāo)為（）A（6，6）B（6，8）C（8，6）D（8，2）10關(guān)于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（）相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；位似圖形上任意一組對應(yīng)點P，P與位似中心O的距離滿足OP=kOPABCD11如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90°，ACBC，AC=BC，ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F(xiàn)，則的值是（）ABCD二、填空題12如圖，OAC和BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過點B，若OA2AB2=8，則k的值為 13已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且ACCB，則AC的長度為 14）如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，則SBDE：SACD= 15一塊矩形綢布的寬AB=a m，長AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是 16如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點C時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點D時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m當(dāng)小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是 m三、解答題17如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D（1）證明：ACDCBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的長18如圖，AD是ABC的高，點E，F(xiàn)在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設(shè)EF=x，則y= （含x的代數(shù)式），當(dāng)x= 時，y最大，最大面積是 19如圖，在直角梯形ABCD中，ABC=90°，ADBC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點（1）當(dāng)AP=3時，DAP與CBP相似嗎？請說明理由（2）求PD+PC的最小值20如圖，在RtABC中，ABC=90°，點D為BC邊上的點，BEAD于點E，延長BE交AC于點F（1）證明：BE2=AEDE；（2）若=1，= ；并說明理由答案解析一、選擇題1已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A=B=C=D=【考點】比例的性質(zhì) 【分析】熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母ny得xy=mn，與原式相等；B、兩邊同時乘以最簡公分母mx得xy=mn，與原式相等；C、兩邊同時乘以最簡公分母mn得xn=my，與原式不相等；D、兩邊同時乘以最簡公分母my得xy=mn，與原式相等；故選C【點評】解答此題應(yīng)把每一個選項乘以最簡公分母后與原式相比較看是否相同2已知，那么的值是（）A3B4C5D6【考點】比例的性質(zhì) 【分析】根據(jù)和比性質(zhì)：=，可得答案【解答】解：由=2，得=3故選：A【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用和比性質(zhì)是解題關(guān)鍵3下列兩個圖形一定相似的是（）A兩個矩形B兩個等腰三角形C兩個五邊形D兩個正方形【考點】相似多邊形的定義 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合選項，用排除法求解【解答】解：A、兩個矩形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；B、兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意；C、兩個五邊形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；D、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意故選D【點評】本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是（）A4：9B2：3C16：81D9：4【考點】相似多邊形的性質(zhì) 【分析】由兩個相似多邊形面積的比是4：9，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案【解答】解：兩個相似多邊形面積的比是4：9，這兩個相似多邊形對應(yīng)邊的比是2：3故選B【點評】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與CEF相似的三角形有（）個A1B2C3D4【考點】相似三角形的判定 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到圖中與CEF相似的三角形【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，F(xiàn)AE=ABE，D=ECF，DAF=E，BEACEF，DAFCEF故選B【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解答此題的關(guān)鍵6如圖，D為ABC邊BC上一點，要使ABDCBA，應(yīng)該具備下列條件中的（）A=B=C=D=【考點】相似三角形的判定 【分析】根據(jù)相似三角形的判定問題，題中已有一公共角，再添加對應(yīng)邊比值相等即可【解答】解：當(dāng)=時，又B=B，ABDCBA故選：C【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵7如圖，在ABC中，若DEBC，DE=3cm，則BC的長為（）A3cmB6cmC9cmD12cm【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】首先利用平行線判定兩三角形相似，然后利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比求得線段BC的長即可【解答】解：DEBC，ADEABC，DE=3cm，=，解得：DE=9cm故選C【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線判定相似三角形，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比求得相應(yīng)線段的長8如圖，ABC中，A=78°，AB=4，AC=6將ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）ABCD【考點】相似三角形的判定 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確；D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤故選C【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵9如圖，線段CD兩個端點的坐標(biāo)分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標(biāo)為（）A（6，6）B（6，8）C（8，6）D（8，2）【考點】平面直角坐標(biāo)系中的位似變換 【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】利用位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k可得到答案【解答】解：因為以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，所以點B的坐標(biāo)為（4×2，1×2），即（8，2）故選D【點評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k10關(guān)于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（）相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；位似圖形上任意一組對應(yīng)點P，P與位似中心O的距離滿足OP=kOPABCD【考點】位似圖形的性質(zhì) 【分析】由位似圖形的定義可知：如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；故位似圖形一定有位似中心；且位似圖形上任意一組對應(yīng)點P，P與位似中心O的距離滿足OP=kOP繼而可得位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形【解答】解：位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形；故錯誤；位似圖形一定有位似中心；正確；如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；正確；位似圖形上任意一組對應(yīng)點P，P與位似中心O的距離滿足OP=kOP；正確故選B【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì)與定義注意準(zhǔn)確理解位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵11如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90°，ACBC，AC=BC，ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F(xiàn)，則的值是（）ABCD【考點】平行線分線段成比例 【專題】計算題【分析】作FGAB于點G，由AEFG，得出=，求出RtBGFRtBCF，再由AB=BC求解【解答】解：作FGAB于點G，DAB=90°，AEFG，=，ACBC，ACB=90°，又BE是ABC的平分線，F(xiàn)G=FC，在RtBGF和RtBCF中，RtBGFRtBCF（HL），CB=GB，AC=BC，CBA=45°，AB=BC，=+1故選：C【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是找出線段之間的關(guān)系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解二、填空題12如圖，OAC和BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過點B，若OA2AB2=8，則k的值為4【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，則OA2AB2=8變形為AC2AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（ACAD）=4，所以（OC+BD）CD=4，則有ab=4，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征易得k=4【解答】解：設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），OAC和BAD都是等腰直角三角形，OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，OA2AB2=8，2AC22AD2=8，即AC2AD2=4，（AC+AD）（ACAD）=4，（OC+BD）CD=4，點B在第四象限，ab=4，k=4故答案為：4【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k13已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且ACCB，則AC的長度為【考點】黃金分割 【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC是較短線段；則AC=1=【解答】解：由于C為線段AB=1的黃金分割點，且ACCB，則AC=1=故本題答案為：【點評】理解黃金分割點的概念熟記黃金比的值進(jìn)行計算14如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，則SBDE：SACD=1：20【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】根據(jù)等高三角形面積的比等于底的比和相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解出結(jié)果【解答】解：SBDE：SDEC=1：4，BE：EC=1：4，BE：BC=1：5，DEAC，BEDBCA，=，設(shè)SBED=k，則SDEC=4k，SABC=25k，SADC=20k，SBDE：SDCA=1：20故答案為：1：20【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方，注意各三角形面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵15一塊矩形綢布的寬AB=a m，長AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是【考點】相似多邊形的性質(zhì) 【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例可得：，繼而求得答案【解答】解：使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，a2=，a=故答案為：【點評】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)注意相似多邊形的對應(yīng)邊成比例16如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點C時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點D時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m當(dāng)小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m【考點】利用影子測量物體的高度 【專題】計算題【分析】如圖，當(dāng)小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長為BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，先證明ACEABN得到=，同理可得=，則AC=BD=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18，接著證明HBGHAM，然后利用相似比得到=，再利用比例性質(zhì)求出BH即可【解答】解：如圖，當(dāng)小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長為BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，CEBN，ACEABN，=，即=，同理可得=，AC=BD，AC=BD=AB，AC+CD+DB=AB，AB+12+AB=AB，解得AB=18，BGAM，HBGHAM，=，即=，解得BH=3.6即當(dāng)小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m故答案為3.6【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度三、解答題17如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D（1）證明：ACDCBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的長【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（1）求出CDA=ACB=90°，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出ACDCBD，即可得出答案；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】證明：（1）ACB=90°，CDAB，CDA=CDB=90°，A+ACD=ACD+BCD=90°，A=BCD，ACDCBD；（2）由（1）知ACDCBD，CD2=ADBD=2×4=8，CD=2【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵18如圖，AD是ABC的高，點E，F(xiàn)在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設(shè)EF=x，則y=x2+80x（含x的代數(shù)式），當(dāng)x=60cm時，y最大，最大面積是240cm2【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（1）根據(jù)正方形的對邊平行可得HGEF，然后得到AHG與ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面積；（2）證出AEFABC，得出比例式得出HE，得出長方形的面積y是x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解即可【解答】解：（1）四邊形EFGH是正方形，HGEF，GH=HE=ID，AHGABC，AI：AD=HG：BC，BC=120cm，AD=80cm，解得：HG=48cm，正方形EFGH的面積=HG2=482=2304（cm2）；（2）四邊形EFGH是長方形，HGEF，AEFABC，AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=x+80，長方形EFGH的面積y=x（x+80）=x2+80x=（x60）2+240，0，當(dāng)x=60，即EF=60cm時，長方形EFGH有最大面積，最大面積是240cm2；故答案為：x2+80x，60cm，240cm2【點評】本題考查了長方形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題；根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出長方形的邊長是解決問題（2）的關(guān)鍵19如圖，在直角梯形ABCD中，ABC=90°，ADBC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點（1）當(dāng)AP=3時，DAP與CBP相似嗎？請說明理由（2）求PD+PC的最小值【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（1）由題意可知A=B=90°，AP=3，PB=4，故此，從而可證明DAP與CBP相似；（2）作點D關(guān)于AB的對稱點D，連接DC交BA于點P過點D作DEBC，垂足為E依據(jù)勾股定理求得DC的長即可【解答】解：（1）ABC=90°，ADBC，BAD=90°A=B=90°AP=3，AB=7，PB=4，DAPCBP（2）如圖所示：點D關(guān)于AB的對稱點D，連接DC交BA于點P，過點D作DEBC，垂足為E點D與點D關(guān)于AB對稱，PD=DPPD+PC=DP+PC=DC在RtDEC中，由勾股定理得：DC=7PD+PC的最小值為7【點評】本題主要考查的相似三角形的判定、軸對稱最短路徑問題，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵20如圖，在RtABC中，ABC=90°，點D為BC邊上的點，BEAD于點E，延長BE交AC于點F（1）證明：BE2=AEDE；（2）若=1，=2；并說明理由【考點】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證明BAE=DBE，根據(jù)題意可知AEB=DEB，從而可證明ABEBDE，由相似三角形的性質(zhì)可證明BE2=AEDE；（2）過點C作CGAD，交AD的延長線于點G，由題意可知BECG，故此BDECDG，由BD=CD，可知DE=DG，設(shè)AB=2，則BD=，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AE=，AD=，從而可求得DE=DG=，故此EG=，由EFCG，可知：【解答】解：（1）BEAD，AEB=BED=90°BAE+ABE=90°ABC=90°，DBE+ABE=90°BAE=DBEABEBDEBE2=AEDE（2）如圖所示：過點C作CGAD，交AD的延長線于點GBEAD，CGAD，BECGBDECDGBD=CD，DE=DG設(shè)AB=2，則BD=；ABD=90°，BEAD，AD=cosBAD=，AE=DE=ADAE=EG=EFCG，=2故答案為：2【點評】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵