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1、第六章 方 差 分 析,,5.1 方差分析的基本原理,上章介紹了一個或兩個樣本平均數(shù)的假設測驗方法。本章將介紹k(k3)個樣本平均數(shù)的假設測驗方法，即方差分析(analysis of variance)。這種方法的基本特點是：將所有k個樣本的觀察值和平均數(shù)作為一個整體加以考慮，把觀察值總變異的自由度和平方和分解為不同變異來源的自由度和平方和，進而獲得不同變異來源的總體方差估計值。,其中，扣除了各種試驗原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗誤差的無偏估計，作為假設測驗的依據(jù)。,上一章學習一個或兩個樣本平均數(shù)的假設測驗方法本章將學習k3個樣本平均數(shù)的假設測驗方法。在k3個樣本能否用統(tǒng)計推斷的方法

2、進行兩兩測驗呢？回答是不可取的。主要原因是會提高犯第一類錯誤的概率。例如，用一對一比較的方法檢驗5個平均數(shù)之間的相等性，共檢驗10對。假設每一對檢驗接受無效假設的概率都是1-=0.95，而且這些檢驗都是獨立的，那末，10對都接受的概率是0.9510=0.60, =1-0.6=0.40,犯第一類錯誤的概率明顯增加。解決這一問題的一種統(tǒng)計方法，叫做方差分析法。此法將所有k個樣本的觀察值和平均數(shù)作為一個整體加以考慮，把觀察值總變異的自由度和平方和分解為不同變異來源的自由度和平方和，進而獲得不同變異來源的總體方差估值。計算這些估值的適當?shù)腇值，就測驗假設H0: 1=2=3=k(各總體平均數(shù)相等），方差

3、分析是科學的實驗設計和分析中的一個十分重要工具。,5.1.1 自由度和平方和的分解,方差是平方和除以自由度的商。要將一個試驗資料的總變異分解為各個變異來源的相應變異，首先必須將總自由度和總平方和分解為各個變異來源的相應部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。 下面我們首先用一個例子來說明這一問題。,例5.1以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個苗高觀察值(cm)，試分解其自由度和平方和。,1、總變異 把表中的全部觀察值作為一個組看待即把4個處理(4組、每組有4個觀察值)合并成一組，共有16個觀察值，根據(jù)前面講過的計算平方和的公式 ，可以計算出總變異的平

4、方和和自由度,自由度DFT=nk-1=44-1=15。 表中的每一個觀察值，即包括有處理的效應(不同藥劑對苗高的影響)又受到誤差的影響。,其中：,稱為矯正數(shù)，用C表示。,2、誤差效應 表中處理內(組內)各觀察值之間，若不存在誤差，則各觀察值應該相等，由于誤差是客觀存在的，因而處理內(組內)各觀察值之間必然是有差異的，因此，可以用組內(處理內)的差異度量誤差效應：,藥劑A內：,藥劑B內：,藥劑C內：,藥劑D內：,從理論上講，這4個誤差平方和除以相應的自由度得的誤差均方都可以作為總體誤差方差的無偏估計值。但是，用它們的加權平均值來估計總體誤差方差，則效果更佳。所以：,每個組內(處理內)的自由度為：

5、n -1=4-1=3,,所以誤差的自由度為：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12,3、處理效應,如果沒有處理效應，表中各個處理(組)平均數(shù),來度量處理效應。,從理論上講均應該相等， 因此可以用,為了進行正確的F 測驗，必須使它們都是估,應為：,需要注意的是，,系樣本平均數(shù)的方差，,是,的估值，而,則是,的估值,本例中 平方和:602=504+98 自由度： 15=3+12 因此誤差平方和可以采用簡單的辦法計算 SSe=SST-SSt=602-504=98。 進而可得均方：,平方和與自由度的分解歸納為下表,將上述例子推廣到一般，設有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個觀察值，則資料共有nk個觀察值，其數(shù)

6、據(jù)分組如表6.1(P99)。,5.1.2 F分布與F測驗,一、F 分布 在一個平均數(shù)為、方差為2的正態(tài)總體中隨機抽取兩個獨立樣本，分別求,,按上述方法從正態(tài)總體中進行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而作成一個F分布。它是具平均數(shù)F=1和取值區(qū)間為0, 的一組曲線；,而某一特定曲線的形狀僅決定于參數(shù)1和2。 F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計表中查出。附表5給出了各種1和2下右尾概率=0.05和=0.01,二、F 測驗 在方差分析的體系中，F(xiàn)測驗可用于檢測某項變異因素的效應或方差是否存在。所以在計算F值時，總是將要測驗的那一項變異因素的均方作分子，而以另一項變異(如誤差項)作分母。,F測

7、驗需具備的條件：(1)變數(shù)y遵循N(，2)；,=8.17，具有自由度1=3，2=12。試測驗藥劑間變異,是否顯著大于藥劑內變異？,假設H0：,對HA：,=0.05,查附表5在1=3，2=12時 F0.05=3.49， F0.01=5.95 實得F F0.01 P0.01,測驗計算：,將例6.1和例6.3的分析結果歸納在一起，列出方差分析表如下：,水稻藥劑處理苗高方差分析表,,5.2 多重比較,5.2.1 最小顯著差數(shù)法,最小顯著差數(shù)法(least significant differrence，簡稱LSD法),例6.4 試以LSD法測驗各種藥劑處理的苗高平均數(shù)之間的差異顯著性。,由附

8、表4，=12時，t0.05=2.179,t 0.01=3.055 故 LSD0.05=2.1792.02=4.40(cm) LSD0.01=3.0552.02=6.17(cm),不同藥劑處理水稻苗高平均數(shù)比較(LSD法),a,b,c,,,,c,A,,A,,B,,B,,C,,C,5.2.2 q 法,q 測驗方法是將k個平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差LSR值的。,例6.5 試以q法測驗各種藥劑處理的苗高平均數(shù)之間的差異顯著性。,查附表7，得到當DF=12時，p=2,3,4的q值,LSR值,不同藥劑處理水稻苗高平均數(shù)比較(q法),5.

9、2.3 新復極差法,新復極差法，又稱最短顯著極差法(shortest significant range)，與q法相似。計算LSR值查的是SSR值(附表8)而不是q表。,LSR值,1. 標記字母法,,,,,,,,A,B,2. 列梯形表法,3. 劃線法,29cm(D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C),5.2.4 多重比較方法的選擇,1、試驗事先確定比較的標準，凡是與對照相比較，或與預定要比較的對象比較，一般可選用最小顯著差數(shù)法LSDa法； 2、根據(jù)否定一個正確的H0和接受一個不正確的H0的相對重要性來決定。 參考以下幾點： 根據(jù)試驗的側重點選擇。三種方法的顯著尺度不相同，L

10、SD法最低，SSR次之，q法最高。故對于試驗結論事關重大或有嚴格要求時，用q測驗，一般試驗可采用SSR法。,方差分析的基本步驟： （1）分解平方和與自由度； （2）F測驗； （3）平均數(shù)的多重比較。,,5.3 方差分析的線性模型與期望均方,5.3.1 方差分析的線性數(shù)學模型,方差分析是建立在一定的線性可加模型的基礎上的。所謂線性可加模型是指總體每一個變量可按其變異的原因分解成若干個線性組成部分，它是方差分析的基礎。,表6.1數(shù)據(jù)的線性模型可表示為：,式中，為總體平均數(shù)，i為試驗處理效應，ij為隨機誤差具有N(0，2)。,在以樣本符號表示時，樣本的線性組成為：,,是的無偏估計值，,5.3.2 期

11、望均方,在線性可加模型中，由于對i有不同解釋產生了固定模型(I)和隨機模型(II)。 一、固定模型(fixed model) 指試驗的各處理都抽自特定的處理總體，其處理效應i=(i- )是一個固定的常量，我們的目的就在于研究i，所測驗的假設是H0：i=0或H0：i= 。,一般的栽培和飼養(yǎng)試驗，如肥料試驗、藥效試驗、密度試驗、飼料試驗、品種試驗等均屬于固定模型。,例6.8以5個水稻品種作大區(qū)比較試驗，每品種作3次取樣，測定其產量，所得數(shù)據(jù)為單向分組資料。本試驗需明確各品種的效應，故為固定模型，方差分析和期望均方的參數(shù)列入下表：,5個水稻品種產量的方差分析與期望均方表,固定模型的處理效應（本例為

12、品種效應） i屬于固定效應，固定效應的方差用表示。 固定模型的F測驗,二、隨機模型(random model) 指試驗中的各處理皆是抽自N(0， )的一組隨機樣本，因而處理效應i是隨機的，它會因試驗的不同而不同；故我們的目的不在于研究i而在于研究i的變異度。 隨機模型在遺傳、育種和生態(tài)的研究試驗方面有較廣泛的用處。,例6.9研究秈粳雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機抽取76個系進行試驗，每系隨機取2個樣品測定干草重（g/株）。因這76個系是隨機抽取的樣本，要從這些樣本來估計F5代系間單株干草重的遺傳變異，故這是隨機模型。其方差分析的結果如下：,隨機模型的F 測驗,本例中系統(tǒng)內 MS

13、估計了2，因而,這是測驗處理效應的變異度，而不是測驗處理效應本身。 本例F72.79/17.77=4.09F0.05，說明單株干草重存在遺傳變異。,,5.4 單向分組資料的方差分析,5.4.1 組內觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析,每組具n個觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號表,組內觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析,例：研究6種氮肥施用法對小麥的效應，每種施肥法種5盆小麥，完全隨機設計。最后測定它們的含氮量（mg）， 試作方差分析,1. 自由度和平方和的分解 自由度： 總變異的自由度=65-1=29處理間的自由度=6-1=5誤差的自由度=6（5-1）=24 平方和： （按照公式進行計算） SS

14、T=45.763 SSt=44.463 SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.300 2. F測驗(見下表) 方差分析表,單向分組資料的方差分析,3.各處理平均數(shù)的比較,單向分組資料的方差分析,多重比較結果：,2、組內觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析,其方差分析表為：,方差分析表,設有K個處理，每處理中的觀察值數(shù)目分別為n1，n2, , nk的資料，其數(shù)據(jù)類型如表：,例：調查4種不同類型的水稻田28塊，每田稻縱卷葉螟的百叢蟲口密度如表，問不同類型田的蟲口密度有無差異？,表 4塊稻田的蟲口密度,a.分解自由度 總自由度28-1=27 處理間自由度k-1=3

15、處理內自由度27324,b.計算平方和 C3272283 818.89 SST=x2-C =4 045-3 818.89=226.11 SSt= 1022/7+732/6+802/8+722/7-C=96.13 SSe=SST-SSt=129.98,C.計算均方,226.111540.13,組間均方,組內均方,總均方,96.13332.04,129.98245.42,方差分析表,平方和 自由度 均方 F F0.01 SSt=96.13 3 St2=96.13/3=32.04 St2/ Se2=5.91** 4.72 SSe=129.98 24 S

16、e2=129.98/24=5.42 SST=226.11 27,,,d.計算F值（列出方差分析表）,,計算平均數(shù)的標準誤 采用新復極差法，查SSR表，自由度為12時 平均數(shù)大小排序、比較,e.多重比較,處理 蟲口密度 顯著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,,,計算新的n0值，,,處理 蟲口密度 顯著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,,,,f.結論 本

17、試驗中不同處理間有極顯著差異(F=5.91F.01(4.72))，其中在.05和.01水平上第1塊田與第3、4田的蟲口密度有顯著差異，其他處理間差異均不顯著。,5.4.2組內又分亞組的單向分組資料的方差分析,設一系統(tǒng)分組資料共有l(wèi)組，每組內有m個亞組，每一亞組內有n個觀察值，則該資料共有l(wèi)mn個觀察值。其觀察值的線性模型為：,將該線性模型變型得：,等式的左邊是總效應，它是由右邊的(1)組間變異；(2)同一組內亞組間變異；(3)同一亞組內各重復觀察值間的變異所構成。其自由度和平方和的估計如下：,1、總變異 自由度DFT=lmn-1,2、組間(處理間)變異 自由度DFt=l-1,3、同一

18、組內亞組間的變異 自由度,4、亞組內變異 自由度,二級系統(tǒng)分組資料的方差分析,例6.12在溫室內以4種培養(yǎng)液(l=4)培養(yǎng)某種作物，每種3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一個月后測定其株高生長量(mm),結果如下表，試作方差分析。,一、自由度和平方和分解 總自由度DFT=lmn-1=(434)-1=47 培養(yǎng)液間自由度DFt=l-1=4-1=3 培養(yǎng)液內盆間自由度 DFe1=l(m-1)=4(3-1)=8 盆內株間自由度 DFe2=lm(n-1)=43(4-1)=36,2、培養(yǎng)液間差異,二、F 測驗 1、盆間差異,F=157.81/89.06=1.77 此F值小于1=8,2=36 F

19、0.05=2.22,所以接受H0,推斷：該試驗同一培養(yǎng)液內盆間的生長量無顯著差異；而不同培養(yǎng)液間的生長量有極顯著的差異。,F=2375.25/157.81=15.05,此F值大于1=3,2=8F0.01=7.59,故否定,方差分析表,三、各培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較,4種培養(yǎng)液的LSR值(新復極差測驗),4種培養(yǎng)液植株生長量(mm)的差異顯著性,,5.5 兩向分組資料的方差分析,5.5.1 組合內只有單個觀察值的兩向分組資料的方差分析,設有A和B兩個因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，每一處理組合僅有一個觀察值，則全試驗共有ab個觀察值，其資料類型如下表：,觀察值的線性模型為：,因此，總變異可

20、分解成A因素效應、B因素效應和誤差效應三個部分。其自由度和平方和的分解如下表：,注意：這種類型資料，其誤差項是誤差與互作的混合項。因此只有AB不存在互作時，才能正確估計誤差。另外，為提高試驗的精確性。誤差自由度不能小于12。,例5.13采用5種生長素處理豌豆，未處理為對照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植4株，每組6盆，每盆一個處理，試驗共有4組24盆，并按組排列于溫室中，使同組各盆的環(huán)境條件一致。當各盆見第一朵花時記錄4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，結果見下表，試作方差分析。,(1)自由度和平方和的分解,方差分析表,（2）F測驗 組間效應：假設,F1.48/2.89 <1,推斷：組間環(huán)境條件無顯著差異，不同

21、生長素處理有顯著差異。,處理間效應：假設,F13.17/2.89=4.56,（3）處理間比較 此例有預先指定的對照，故用LSD 法。,查得15時，t0.05=2.131，t0.01=2.947 LSD0.05=1.2022.131=2.56, LSD0.01=1.202 2.947=3.54,5.5.2 組合內有重復觀察值的兩向分組資料方差分析,設有A、B兩個試驗因素，A因素有a 個水平，B因素有b個水平，共有ab個處理組合，每個組合有n個觀察值，則該資料共有abn個觀察值。如果試驗按完全隨機設計，則其資料類型如下表：,線性模型為：,各變異來源的自由度和平方和的估計為：,例6.14施用A1、A

22、2、A33種肥料于B1、B2、B33種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種3盆，得產量結果(g)如下表，試作方差分析。,期望均方,1、自由度和平方和的分解,2、F 測驗 將上述結果及自由度錄于方差分析表中，以固定模型作F測驗,3、平均數(shù)的比較 (1)各處理組合平均數(shù)的比較,各處理組合平均數(shù)的LSR值,各處理平均數(shù)的新復極差測驗,(2)各肥類平均數(shù)的比較,肥類平均數(shù)的LSR測驗,,5.6 方差分析的基本假定與數(shù)據(jù)轉換,5.6.1 方差分析的基本假定,1、可加性(additivity) 處理效應與環(huán)境效應是可加的，如：,2、正態(tài)性(normality) 試驗誤差 應該是隨機的、彼此獨立的，具有平

23、均數(shù)為0而且作正態(tài)分布。,3、同質性(homogeneity) 所有試驗處理必須具有共同的誤差方差。,5.6.2 數(shù)據(jù)轉換,1、平方根轉換(square root transformation) 如果樣本平均數(shù)與其方差有比例關系，則用此轉換。,2、對數(shù)轉換(logarithmic transformation) 如果數(shù)據(jù)表現(xiàn)出倍加性，則用此轉換。,3、反正弦轉換(acrsine transformation) 如果資料系成數(shù)或百分數(shù)，則它將作二項分布，而已知這一分布的方差是決定于平均數(shù)p的。所以，在理論上如果p0.7則需要作反正弦轉換，以獲得一個比較一致的方差。,4、用幾個觀察值的平均數(shù)作方差分析。,