第四節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題總綱目錄教材研讀1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟考點(diǎn)突破2.一元三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)對(duì)h(x)求導(dǎo).(4)利用h(x)判斷h(x)的單調(diào)性或最值.(5)下結(jié)論.教材研讀教材研讀2.一元三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題一元三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f(x)=3ax2+2bx+c.方程f(x)=0的判別式=(2b)2-12ac,(1)當(dāng)0,即b23ac時(shí),f(x)0恒成立,f(x)在R上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知,方程f(x)=0有唯一唯一一個(gè)實(shí)根.(2)當(dāng)0,即b23ac時(shí),方程f(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)為x1,x2(x1m).a.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有一一個(gè)實(shí)根;b.當(dāng)m=0時(shí),方程f(x)=0有兩兩個(gè)實(shí)根;c.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有三三個(gè)實(shí)根;d.當(dāng)M=0時(shí),方程f(x)=0有兩兩個(gè)實(shí)根;e.當(dāng)M0時(shí),方程f(x)=0有一一個(gè)實(shí)根.3.生活中的利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題我們稱之生活中的利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題我們稱之為優(yōu)化問(wèn)題為優(yōu)化問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的有力工具導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的有力工具,用導(dǎo)數(shù)解用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路:(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),解方程f(x)=0,確定極值點(diǎn);(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值和在極值點(diǎn)的值的大小,最大(小)值為函數(shù)的最大(小)值;(4)還原到實(shí)際問(wèn)題中作答.1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A.13萬(wàn)件 B.11萬(wàn)件C.9萬(wàn)件 D.7萬(wàn)件13答案答案 C y=-x2+81.令y=0,得x=9或x=-9(舍去).當(dāng)0 x0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x9時(shí),y0,函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=9時(shí),y取最大值.C2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,4,部分對(duì)應(yīng)值如下表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.當(dāng)1a2時(shí),函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5x-10234f(x)12020C答案答案 C根據(jù)已知條件可還原出函數(shù)f(x)在定義域-1,4內(nèi)的大致圖象.函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線y=a與曲線y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)?a3,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案答案 B設(shè)f(x)=x3-ax2+1,則f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a3,則在(0,2)上f(x)0,f(2)=9-4a0,即x(0,1時(shí),f(x)=ax3-3x+10可化為a-.設(shè)g(x)=-,則g(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g=4,從而a4.當(dāng)x1在區(qū)間上恒成立,求a的取值范圍.1x1,ee考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題命題角度一恒成立問(wèn)題命題角度一恒成立問(wèn)題考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0,f(x)=.當(dāng)a0時(shí),ax-10,解得0 x1,令f(x)1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+).當(dāng)0a1.令f(x)0,解得0 x,令f(x)0,解得1x1時(shí),00,解得0 x1;令f(x)0,解得x1恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)min1恒成立.f(x)=,a1.22(1)xx1a1a1a10,a1,1a1,ee22(1)1axaxx2(1)(1)axxx令f(x)=0,得x=1或x=.若ae,則由f(x)0得,1xe,函數(shù)f(x)在(1,e上單調(diào)遞增.由f(x)0,得x1,滿足題意.若1a0,得x或1xe;由f(x)0,得x1.故函數(shù)f(x)在,(1,e上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.f(x)min=min,1a1e1,1e1e1a1a1 1,e a1,1a1,(1)eff依題意即所以2ae.若a=1,則f(x)0.所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,f(x)min=f=-e+22.11,e(1)1,ff2e,e 12,aa1,ee1e1e命題角度二存在性問(wèn)題命題角度二存在性問(wèn)題典例典例2已知函數(shù)f(x)=x-(a+1)ln x-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)當(dāng)x1,e時(shí),求f(x)的最小值;(2)當(dāng)a1時(shí),若存在x1e,e2,使得對(duì)任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范圍.ax12解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=.當(dāng)a1時(shí),x1,e,f(x)0,f(x)為增函數(shù),所以f(x)min=f(1)=1-a.當(dāng)1ae時(shí),x1,a時(shí),f(x)0,f(x)為減函數(shù);xa,e時(shí),f(x)0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.當(dāng)ae時(shí),x1,e,f(x)0,f(x)在1,e上為減函數(shù),2(1)()xxax所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.綜上,當(dāng)a1時(shí),f(x)min=1-a;當(dāng)1ae時(shí),f(x)min=a-(a+1)ln a-1;當(dāng)ae時(shí),f(x)min=e-(a+1)-.(2)由題意知f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.當(dāng)a1時(shí),由(1)知f(x)在e,e2上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.由題意知g(x)=(1-ex)x.當(dāng)x-2,0時(shí),g(x)0,g(x)為減函數(shù),g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-,eaeaeaea2e2ee 1所以a的取值范圍是.2e2e,1e1易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示“恒成立”與“存在性”問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系,即f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.在具體問(wèn)題中究竟是求最大值還是最小值,可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值,這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問(wèn)題是求最大值還是最小值.特別需要關(guān)注等號(hào)是否成立問(wèn)題,以免細(xì)節(jié)出錯(cuò).1-1 (2016北京西城二模)已知函數(shù)f(x)=.(1)若f(a)=1,求a的值;(2)設(shè)a0,若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1,總存在x2使得f(x2)f(x1),求a的取值范圍.2()xaxa解析解析(1)函數(shù)y=f(x)的定義域D=x|xR且x-a,對(duì)f(x)求導(dǎo),得f(x)=-.由題意,知f(a)有意義,所以a0.所以f(a)=1,解得a=.(2)“對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1,總存在x2使得f(x2)f(x1)”等價(jià)于“f(x)不存在最小值”.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=,易知f(x)無(wú)最小值,符合題意.24()()2()()xaxaxaxa4()(3)()xaxaxa24416aa214a121x當(dāng)aa時(shí),f(x)=0,當(dāng)xa時(shí),f(x)0,所以f(x)min=f(3a).所以當(dāng)x1=3a時(shí),不存在x2使得f(x2)f(x1).故a0不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是0.2()xaxa考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例典例3 (2017北京海淀一模)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+ax,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線與x軸平行.(1)求a的值;(2)若g(x)=ex-2x-1,求函數(shù)g(x)的最小值;(3)求證:存在cc時(shí),f(x)0.解析解析(1)f(x)=ex-2x+a,由已知可得f(0)=0,所以1+a=0,解得a=-1.(2)g(x)=ex-2,令g(x)=0,得x=ln 2,所以x,g(x),g(x)的變化情況如下表所示:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)g(x)-0+g(x)極小值所以g(x)的最小值為g(ln 2)=eln 2-2ln 2-1=1-2ln 2.(3)證明:顯然g(x)=f(x)且g(0)=0,由(2)知,g(x)在(-,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,+)上單調(diào)遞增.又g(ln 2)0,由零點(diǎn)存在性定理,知存在唯一實(shí)數(shù)x0(ln 2,+),使得g(x0)=0,即-2x0-1=0,=2x0+1,綜上,g(x)=f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn),分別為0,x0.所以x0,即f(x)0,f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增;0 xx0時(shí),g(x)0,即f(x)x0時(shí),g(x)0,即f(x)0,f(x)在(x0,+)上單調(diào)遞增,所以f(0)是極大值,f(x0)是極小值.f(x0)=-x0=2x0+1-x0=-+x0+1=-+,0ex0ex0ex20 x20 x20 x2012x54因?yàn)間(1)=e-30,所以x0,所以f(x0)0,因?yàn)閒(0)=1,所以當(dāng)x0時(shí),f(x)0.因?yàn)閒(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,所以一定存在c0,所以存在cc時(shí),f(x)0.3232e31,2方法技巧方法技巧若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí),若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,當(dāng)x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)0);(3)判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說(shuō)明理由.1ex2ex1ex解析解析函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=-+.(1)因?yàn)閒(1)=-1,f(1)=-,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y+=x-+1,即x-y-+1=0.(2)證明:ln x-(x0)等價(jià)于xln x-(x0),設(shè)函數(shù)g(x)=xln x.令g(x)=1+ln x=0,解得x=.1ex1x22ex1e1e1e11e1e11e2e1ex1e1exg(x)-0+g(x)單調(diào)遞減-單調(diào)遞增10,e1e1,e1e因此,函數(shù)g(x)的最小值為g=-.故xln x-,即ln x-.(3)曲線y=f(x)位于x軸下方.理由如下:由(2)可知ln x-,所以f(x)-=.設(shè)k(x)=-,則k(x)=.令k(x)0,得0 x1;令k(x)1.所以k(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+)上為減函數(shù).所以當(dāng)x0時(shí),k(x)k(1)=0恒成立,1e1e1e1ex1ex1ex1ex1x1eexxexx1e1exx當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),k(1)=0.又因?yàn)閒(1)=-0,所以f(x)0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解析解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因?yàn)閒(0)=c,f(0)=b,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=bx+c.(2)當(dāng)a=b=4時(shí),f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.f(x)與f(x)在區(qū)間(-,+)上的情況如下:23x(-,-2)-2-f(x)+0-0+f(x)cc-22,3232,33227所以,當(dāng)c0且c-0,即4a2-12b0,即a2-3b0.故a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.當(dāng)a=b=4,c=0時(shí),a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有兩個(gè)不同零點(diǎn),所以a2-3b0不是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件.因此a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.方法技巧方法技巧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法方法一:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象;(3)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).方法二:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)分類討論,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3-1 (2016北京順義一模)已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+2x+1在x=-1處取得極值.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y=f(x)-m-1在-2,2上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析解析(1)由題意得f(x)=ex+xex+2ax+2.f(x)在x=-1處取得極值,f(-1)=0,解得a=1.f(x)=xex+x2+2x+1,f(x)=(x+1)(ex+2).當(dāng)f(x)0時(shí),x-1;當(dāng)f(x)0時(shí),xg(-2),-1m-,即m.1e22e1e22e2121,ee