《六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 一 長(zhǎng)方體和正方體單元綜合知識(shí)點(diǎn)全套講解附練習(xí) 蘇教版(共26頁(yè)DOC)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 一 長(zhǎng)方體和正方體單元綜合知識(shí)點(diǎn)全套講解附練習(xí) 蘇教版(共26頁(yè)DOC)（38頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、……………………………………………………………最新資料推薦………………………………………………… 長(zhǎng)方體和正方體綜合知識(shí)點(diǎn)自編版 前言 要素 立體圖形 棱 面 頂點(diǎn) 數(shù)量 特征 數(shù)量 特征 數(shù)量 特征 長(zhǎng)方體 12條 4條橫長(zhǎng)棱 4條縱寬棱 4條豎高棱 互相平行的棱長(zhǎng)度相等，3組 6個(gè)面 上下前后,左右各2 個(gè)面 相對(duì)的面完全相同。上下、前后、左右相對(duì)的2個(gè)面完全相同 8個(gè) 上面4個(gè) 下面4個(gè) 同一個(gè)頂點(diǎn)引出的3條棱分 別叫做： 長(zhǎng)、寬、高。 三棱匯一點(diǎn) 半特殊 長(zhǎng)

2、方體 12條 4垂直棱+ 構(gòu)正方8棱 垂直于正方形面的4條棱長(zhǎng)度相等 6個(gè)面 2面+4面 有一組相對(duì)的2個(gè)面是正方形，其余4個(gè)面是完全相同的長(zhǎng)方形 8個(gè) 上面4個(gè) 下面4個(gè) 正方體 12條 長(zhǎng)度相等 6個(gè)面 6個(gè)面全相等 8個(gè) 嘮叨說(shuō)教 上述表格中涉及到的一些數(shù)字，相信你基本能脫口而出，可每到解題的時(shí)候，頭腦一片混亂。每次考完試后，我常會(huì)聽(tīng)到一些同學(xué)說(shuō)：這次考試我又粗心了。粗心是借口，過(guò)了4年級(jí)，粗心實(shí)際就是數(shù)學(xué)思維混亂，不講數(shù)學(xué)道理，水平低的表現(xiàn)。并且屢教不改。 這里牽涉到兩個(gè)問(wèn)題：一是記憶問(wèn)題；形同其它學(xué)科，數(shù)學(xué)所需要背誦的基本概念、法則、定義、定理、

3、公式，大多為了加快解題步驟，省卻學(xué)生重復(fù)推倒的過(guò)程（很多小學(xué)、初中階段學(xué)生自己都還無(wú)法去推倒）。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的自身特點(diǎn)表現(xiàn)在——探討對(duì)象的抽象性，數(shù)學(xué)語(yǔ)言在紙面表達(dá)的抽象性很強(qiáng)。因此為記憶而記憶，機(jī)械的記憶，不僅枯燥無(wú)味，且造成錯(cuò)誤頻出，說(shuō)到底無(wú)任何意義?？v觀對(duì)于數(shù)學(xué)7大體系需要進(jìn)行記憶的內(nèi)容，其中6大版塊—計(jì)算體系、計(jì)數(shù)體系、組合體系、數(shù)論體系、行程體系、應(yīng)用體系，每次在記憶的時(shí)候，腦海中最好同步顯現(xiàn)相應(yīng)的一道哪怕是最簡(jiǎn)單的題目即可；而對(duì)于第七體系的幾何體系而言，公式、概念背誦的同時(shí)，不僅頭腦中必須出現(xiàn)對(duì)應(yīng)的圖形，反復(fù)映射，特別重要的是，對(duì)于立體幾何而言：作圖，標(biāo)上帶單位的數(shù)字，更是不可或缺

4、，意義重大。 第二個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)還是一門(mén)知識(shí)的連貫性、系統(tǒng)性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。決不可將數(shù)學(xué)不同階段、時(shí)期的知識(shí)點(diǎn)孤立看待。數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性，猶如鏈條，缺少某一環(huán)節(jié)，知識(shí)就會(huì)散架。 例如說(shuō)三年級(jí)上學(xué)期對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)；三下對(duì)它們面積的學(xué)習(xí)；四下從三角形→平行四邊形→梯形；五上，將上述圖形簡(jiǎn)單合成，進(jìn)入到多邊形面積的學(xué)習(xí)；看下圖所示： 將四邊形分成三組：兩組對(duì)邊都不平行的是任意四邊形，有一組對(duì)邊平行，另外一組對(duì)邊不平行的是梯形；兩組對(duì)邊分別平行的是平行四邊形。 對(duì)于梯形分組來(lái)說(shuō)，兩腰相等是等腰梯形，有一個(gè)角是直角叫直角梯形。對(duì)于平行四邊形分組來(lái)說(shuō)，有一個(gè)角是直角的變成了矩形，有一

5、組臨邊相等的是菱形；最后當(dāng)擁有了直角后，再增加上一組臨邊相等；當(dāng)擁有了一組臨邊相等后，再增加上有一個(gè)角是直角，最終，長(zhǎng)方形和菱形都變成了正方形。 動(dòng)筆前一副“空想社會(huì)主義”的萌樣；動(dòng)筆時(shí)一副凌空蹈虛的傻樣，很傻很天真—其實(shí)你很2. 長(zhǎng)方體、正方體 空間構(gòu)造認(rèn)識(shí) ★長(zhǎng)方體中，匯聚于一點(diǎn)的三條棱，分別是橫長(zhǎng)棱，縱深棱，豎高棱。平面幾何中，以長(zhǎng)度來(lái)界定長(zhǎng) 和寬。立體幾何中，長(zhǎng)寬高的界定，沒(méi)有一本教材給出。我覺(jué)得，按照呈現(xiàn)在眼前的三維立體平面圖中，線條的橫向，縱向，豎向走向來(lái)定義為好。這對(duì)于長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算：長(zhǎng)方體上、下兩面的面積和=長(zhǎng)×寬×2；長(zhǎng)方體前、后兩

6、面的面積和=長(zhǎng)×高×2；長(zhǎng)方體左、右面兩的面積和=寬×高×2；最后易記憶并合成為，S長(zhǎng)=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2。初中起到將來(lái)，直線坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系，空間坐標(biāo)系與之相對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)虛數(shù)、函數(shù)、解析幾何、微積分學(xué)習(xí)都有關(guān)聯(lián)。 ★三維立體平面圖是為了方便研究，其實(shí)既可只見(jiàn)一面—正、側(cè)、俯視三取其一；兩面—正、側(cè)、俯視三取其二；三面—正視圖、側(cè)視圖、俯視圖三合一。特別說(shuō)明：1，如果物體的寬度明顯小于人雙眼距離的時(shí)候，有可能4個(gè)面。但是你忽略了前提條件是從一點(diǎn)去觀察；2，從不同角度觀察長(zhǎng)方體，最多能同時(shí)看見(jiàn)幾面，請(qǐng)不要累加，前提條件是同時(shí)能看見(jiàn)。時(shí)間在流逝：是孔圣的“不舍晝夜”，是莊生的“白

7、駒過(guò)隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陳子昂的“愴然泣下”。還有那句撥動(dòng)無(wú)數(shù)少年心弦，觸落無(wú)數(shù)老者清淚的“你聰明的，告訴我，我們的日子為什么一去不復(fù)返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return?——推薦聆聽(tīng)2014春晚歌曲《時(shí)間都去哪兒了》。 ★長(zhǎng)方體有“大眾化”和“半特殊化”兩種。實(shí)質(zhì)為匯聚于頂點(diǎn)的長(zhǎng)寬高三種棱，有且只可以?xún)蓛芍g數(shù)值大小一樣時(shí)，“大眾化長(zhǎng)方體“成為“半特殊化”長(zhǎng)方體。若長(zhǎng)寬高大小都相等，就成為正方體。半特殊化長(zhǎng)方體由于隱含著有一組相對(duì)的兩個(gè)面是正方形（為什么不能相鄰？

8、），或者說(shuō)隱含著長(zhǎng)方體的6個(gè)面，必定分為2個(gè)對(duì)面為正方形，4個(gè)只可為長(zhǎng)方形的條件，我們依然應(yīng)當(dāng)從這個(gè)條件形成的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是12條原本分組為4長(zhǎng)、4寬、4高的棱，重新分組為4和8兩組棱。充分利用◆【相對(duì)2正方，其余環(huán)形4個(gè)等長(zhǎng)方形】，【4棱環(huán)形4長(zhǎng)方、8棱相對(duì)兩正方】◆ 是解決很多半特殊化長(zhǎng)方體問(wèn)題的關(guān)鍵。 提問(wèn)： 1.長(zhǎng)方體中的12條棱如何分組? 2.長(zhǎng)方體最少有4個(gè)面是長(zhǎng)方形? 3.半特殊化長(zhǎng)方體對(duì)其所屬的正方形的面有什么位置要求? 4.若想構(gòu)成半特殊化長(zhǎng)方體,對(duì)棱的數(shù)量和位置上有什么要求? 5.相鄰不相對(duì)、相對(duì)不相鄰。你是如何理解這句話在長(zhǎng)方體上的表現(xiàn)？

9、上下2相對(duì) 前后2相對(duì) 左右2相對(duì) 其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后 4環(huán)形等長(zhǎng)方 4環(huán)形等長(zhǎng)方 4環(huán)形等長(zhǎng)方 相 對(duì) 2 正 方，其 余 環(huán) 形 4 個(gè) 等 長(zhǎng) 方 形 ★長(zhǎng)方體和正方體的差別，不是面的差別，依然是棱！因?yàn)槊娴拇笮?，就是棱的長(zhǎng)度乘積結(jié)果造成； 有關(guān)你前世今生的故事是這樣的：正方體是特殊的長(zhǎng)方體，它擁有長(zhǎng)方體所具有的特征：8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面且相對(duì)的面一定平行，不平行那叫“喇叭開(kāi)口笑”！探究實(shí)質(zhì)，依然是12條棱其中的8條，長(zhǎng)度首先變得完全一樣后，形成且只能形成相對(duì)的兩個(gè)正方形，這

10、樣前世大眾化長(zhǎng)方體的你，變形為半特殊化長(zhǎng)方體（又名正四棱柱，妖也要有名）。當(dāng)原本垂直于正方形的4條棱，長(zhǎng)度增加（你前世矮胖子，現(xiàn)在矮胖挫的妖）或者減少（你前世瘦丑窮）到和8條棱完全一樣時(shí)，匯于一點(diǎn)三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑窮，某一日，走火入魔，邪念叢生，禍害學(xué)生，變形是為妖人？人妖？（隨便你啦）。最終幡然醒悟，潛心修煉，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本類(lèi)型妖題，用你當(dāng)年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相對(duì)2正方，其余環(huán)形4個(gè)等長(zhǎng)方形，去解決。 【管中窺豹之你的前世今生變形記】 一個(gè)長(zhǎng)方體木塊,從上部和下部分別截去4厘米和2厘米長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，表面積減少了120

11、平方厘米，原長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？ 【解法1】根據(jù)題意可以知道： ①長(zhǎng)方體是一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體。【相對(duì)兩正方】, 4cm ②把截去的4cm和2cm拼湊在一起，這樣就減少了一個(gè)高度為 （4＋2）cm，面積是120cm2的側(cè)面，這個(gè)側(cè)面是由4個(gè)相等的長(zhǎng)方形 （長(zhǎng)就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬就是6cm）組成的?！酒溆喹h(huán)形4個(gè)等長(zhǎng)方形】 ③正方體的棱長(zhǎng)：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【紅色線均為5cm】 ④原長(zhǎng)方體的體積：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米） 【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的

12、長(zhǎng)方體的側(cè)面積， ②長(zhǎng)方體底面周長(zhǎng)：120÷6=20厘米， 【側(cè)面積÷底面周長(zhǎng)=高】 2cm ③因?yàn)槌蔀檎襟w，底面是正方形，所以底面邊長(zhǎng)為20÷4=5厘米， 那么原來(lái)長(zhǎng)方體的高為(4+2+5=11厘米)， 所以原長(zhǎng)方體體積：5×5×11=275立方厘米。 【解法3】列方程，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是x厘米，那么寬也就是x厘米， 4cm 【依然是利用半特殊長(zhǎng)方體的相對(duì)兩正方這一特性】 高就是x+2+4厘米。

13、 根據(jù)題意：原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積-正方體的表面積=120 2x2+4x(x+2+4)-6x2=120 2x2+4x2+24x-6x2=120 24x=120 x=5 2cm 那么長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都是5cm，高是5+2+4=11cm。 體積V=長(zhǎng)×寬×高 V=5×5×11=275立方厘米 ★最后一點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：由一維空間的點(diǎn)、線，到二維空間

14、的平面圖形：長(zhǎng)方形，正方形，再到立體幾何圖形的學(xué)習(xí)。圖形的日趨復(fù)雜的變化演繹過(guò)程，可以說(shuō)：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)則成體。 不管是曾經(jīng)的平面圖形周長(zhǎng)，面積的題目，還是現(xiàn)在立體幾何中的棱長(zhǎng)和、表面積、體積、容積、容積中的排水法、挖一塊或若干塊、切一刀或幾刀、若干塊拼成一大塊、棱的幾倍變形引起表面積體積的變化，涂色問(wèn)題，這些所有的所有，根本都要圍繞變化的和不變化的，從棱變則全變這一點(diǎn)去探究！ 最后的最后，請(qǐng)你畫(huà)畫(huà)圖，講講道理，帶入公式的數(shù)字含義對(duì)嗎？另外數(shù)學(xué)一些題目是需要你聯(lián)系生活實(shí)際的，例如：在現(xiàn)實(shí)生活中，不是所有長(zhǎng)方體都要求六個(gè)面的面積，要根據(jù)實(shí)際情況，有的是求六個(gè)面的面積，有的是求五個(gè)面

15、的面積，有的是求四個(gè)面的面積。做個(gè)畫(huà)家和導(dǎo)演，講講道理，學(xué)校那點(diǎn)簡(jiǎn)單題目沒(méi)有你不會(huì)做的！ 公式 棱長(zhǎng)類(lèi)： 長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和=（長(zhǎng)＋寬＋高）×4 C=4（a＋b＋h） 長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和=長(zhǎng)×4＋寬×4＋高×4 C=4a＋4b＋4h 長(zhǎng)方體的高=棱長(zhǎng)和÷4－長(zhǎng)－寬 正方體的棱長(zhǎng)和=棱長(zhǎng)×12 C=12a 正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)和÷12 棱長(zhǎng)和的變形：包扎用繩總長(zhǎng)度=2個(gè)長(zhǎng)+2個(gè)寬+4個(gè)高+打結(jié)用繩長(zhǎng)度 長(zhǎng)方體、正方體的表面積和體積類(lèi)： 長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬

16、＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2 用字母表示S=2(ab＋ac＋bc) 長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)×寬×2＋長(zhǎng)×高×2＋寬×高×2 用字母表示S=2ab＋2ac＋2bc 正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6 用字母表示S=6a2 長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高 用字母表示V=abc 正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) 用字母表示V= a3 上述公式變形很無(wú)聊： 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=體積÷寬÷高 長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面

17、積×高 長(zhǎng)方體的高=體積÷底面積 長(zhǎng)方體的體積=橫截面積×長(zhǎng) 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=體積÷橫截面積 ★側(cè)面積÷底面周長(zhǎng)=高 【這是個(gè)好公式】 ★解決有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體表面積的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)只求長(zhǎng)方體、正方體的4個(gè)面（如：一根方柱的涂漆表面、一個(gè)盒子四周的商標(biāo)紙、一個(gè)煙囪或通風(fēng)管或排水管、一個(gè)火柴盒的外盒；）或5個(gè)面（無(wú)蓋的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一個(gè)抽屜、一個(gè)火柴盒的內(nèi)盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，還需要扣除不需要刷涂涂料的門(mén)、窗的面積） ★在計(jì)算時(shí)，請(qǐng)注意首先進(jìn)行單位換算統(tǒng)一后再進(jìn)行。 一、長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí) 【知識(shí)點(diǎn)1】關(guān)

18、于點(diǎn)、線、面 如圖所示為一個(gè)長(zhǎng)方體截去兩個(gè)角后的立體圖形，如果照這樣的方法，截去原長(zhǎng)方體的八個(gè)角，則新的立體圖形的頂點(diǎn)有 個(gè)；棱有 條，面有 個(gè)， 【思路分析】一個(gè)長(zhǎng)方體有4+4+4=12條棱，一個(gè)角上裁出3條棱， 即8個(gè)角共3×8=24條棱，相加即可． 原有棱的條數(shù)12+八個(gè)頂角裁出的24條棱=36條棱。 頂點(diǎn)的變化為：原有一個(gè)頂點(diǎn)因裁去而損失，但是增加的一個(gè)面， 或者說(shuō)增加的3條棱于其它棱交點(diǎn)為3個(gè)，3-1=2個(gè)。 【思路點(diǎn)撥】每切去一個(gè)角，多出3條棱，多1個(gè)面，多2個(gè)頂點(diǎn)；依此類(lèi)推，切 去長(zhǎng)方體的

19、八個(gè)角，多出24條棱，8個(gè)面，16個(gè)頂點(diǎn)加上原來(lái)的12 條棱,6個(gè)面,8個(gè)頂點(diǎn)一共36條棱，14個(gè)面,16個(gè)頂點(diǎn)。 【舉一反三】 如果把一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后,新的立體圖形有（ ）個(gè)頂點(diǎn)，有（ ）條棱、有（ ）個(gè)面 圖1 圖2 圖 3 圖4 解答：圖1、新的幾何體有（ 10 ）個(gè)頂點(diǎn)， 有（ 15 ）條棱、有（ 7 ）個(gè)面 圖2、新的幾何體有（ 9 ）個(gè)頂點(diǎn)， 有（ 14 ）條棱、有（ 7 ）個(gè)面 圖3、新的幾何體有（ 8

20、 ）個(gè)頂點(diǎn)， 有（ 13 ）條棱、有（ 7 ）個(gè)面 圖4、新的幾何體有（ 7 ）個(gè)頂點(diǎn)， 有（ 12 ）條棱、有（ 7 ）個(gè)面 判斷并改正： 1、長(zhǎng)方體的三條棱分別叫做長(zhǎng)、寬、高。 ( ) 2、長(zhǎng)方體的六個(gè)面一定是長(zhǎng)方形； ( ) 3、正方體的六個(gè)面面積一定相等； ( ) 4、一個(gè)長(zhǎng)方體最多有四個(gè)面面積相等； ( ) 5、相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱相等的長(zhǎng)方體一定是正方體。 ( ) 6、有兩個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體。( ) 7、有三個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體。（

21、 ） 8、有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形的長(zhǎng)方體，另外四個(gè)面的面積是相等的。（ 　 ） 9、長(zhǎng)方體和正方體最多可以看到3個(gè)面。（ ） 10、正方體不僅相對(duì)的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等。（ ?。? 11、長(zhǎng)方體（不包括正方體）除了相對(duì)的面相等，也可能有兩個(gè)相鄰的面相等（　 ） 12、一個(gè)長(zhǎng)方體中最少有4條棱長(zhǎng)度相等，最多有8條棱長(zhǎng)度相等。（ ） 【知識(shí)點(diǎn)2】關(guān)于棱長(zhǎng) 棱長(zhǎng)和的變形： ①例如：一個(gè)禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10厘米彩帶，一共需要多長(zhǎng)的彩帶？ 30㎝ 20cm 20cm

22、 分析：本題雖然并未直接提出求棱長(zhǎng)和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解決問(wèn)題時(shí)首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從而間接去求棱長(zhǎng)和。前面和后面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度；左面和右面的彩帶長(zhǎng)度=高的長(zhǎng)度；上面和下面的彩帶長(zhǎng)度=長(zhǎng)的長(zhǎng)度。 解答：需要彩帶的長(zhǎng)度=高×4+長(zhǎng)×2+寬×2+打結(jié)部分長(zhǎng)度20×4+30×2+10=150cm ②圖2這款I(lǐng)PAD的外包裝長(zhǎng)a厘米，寬b厘米，高c厘米，商 店為了顧客方便，用絲帶進(jìn)行捆扎，結(jié)頭處長(zhǎng)d厘米， 這個(gè)包裝盒至少要準(zhǔn)備 米彩帶？

23、 圖2 ③圖3有5種形狀的硬紙各有若干張，選擇其中的哪幾種，每種選幾張，正好可以圍成一個(gè)長(zhǎng)方體？ A．①號(hào)2張，③號(hào)4張 B．②號(hào)2張，③號(hào)2張，①號(hào)2張 C．①號(hào)2張，③號(hào)2張，④號(hào)2張 D．①號(hào)2張，⑤號(hào)4張 E. ①號(hào)2張，②號(hào)4張 圖3 F. ④號(hào)4張，⑤號(hào)兩張 ④倉(cāng)庫(kù)有四種規(guī)格的鐵皮（單位：分米）： 規(guī)格①長(zhǎng)6，寬4． 規(guī)格②長(zhǎng)6，寬5 規(guī)格③長(zhǎng)5，寬4． 規(guī)格④邊長(zhǎng)是4的正方

24、形． 從中選擇5張制成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器的兩種方案．（表格中填入幾張） 規(guī)格① 規(guī)格② 規(guī)格③ 規(guī)格④ 容積/升 方案一 方案二 練習(xí)： 1．有一個(gè)長(zhǎng)方體的魚(yú)缸，長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高30厘米，需要在用鋁合金包裹玻璃連接處， 需要（ ）米的鋁合金。 2．把兩個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是（　 ）厘米。 30m 6m 50m 3．一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)12厘米 寬8厘米 高7厘米，把它切成一個(gè)盡可能大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是（　 ）。 4．一個(gè)長(zhǎng)方體的禮堂

25、如右圖，過(guò)節(jié)時(shí)需要在四周裝上成串的彩燈， 每串彩燈長(zhǎng)2m，一共需要多少串彩燈？ 【右圖禮堂】 5．一只魚(yú)缸，棱長(zhǎng)和為280cm，其中，底面周長(zhǎng)為50cm， 右面周長(zhǎng)為40cm，前面周長(zhǎng)為50cm，魚(yú)缸的長(zhǎng)、寬、高各是多少？ 6．正方體的六個(gè)面中，選出3個(gè)面，其中有兩個(gè)面不相鄰的排法有多少種方案？ 本題為和計(jì)數(shù)體系排列組合的結(jié)合 解答：①兩個(gè)面不相鄰那就是對(duì)面！正方體共3組對(duì)面，假定選組對(duì)面，還有一面從其他4面中任意選，就有4種情況！所以共有3×4=12種 ②先任選一個(gè)面，再選第二個(gè)面與之不相鄰只有一個(gè)，第三

26、個(gè)面可從剩下的4個(gè)面中任選。因此選定一個(gè)面后再選2個(gè)面可達(dá)到要求的種數(shù)有4種。 正方體共有6個(gè)面，因此共有4×6＝24種選法。 但是不相鄰便是相對(duì)的，因此選法有一次重復(fù)，所以要除以2. 所以最終共有選法為24/2＝12種。 ③從正方體的六個(gè)面中任意選三個(gè)面共有20（6+5+4+3+2=20）種。其中過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面相鄰的只有8種，是不符合題意的，所以20-8=12種。 7.小明有9根a厘米長(zhǎng)的小棒和6根b厘米長(zhǎng)的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一個(gè)長(zhǎng)方體框架．長(zhǎng)方體框架的棱長(zhǎng)和是多少？ A. 9a+6b B. 8a+4b C.6(a+b) D.1

27、2a+12b E. 6a+9b F. 4a+8b 舉一反三： ① 小明有59根a厘米長(zhǎng)的小棒和56根b厘米長(zhǎng)的小棒，他用其中的若干根搭成了一個(gè)長(zhǎng)方體框架．長(zhǎng)方體框架的棱長(zhǎng)和是多少？ ② 小明有49根a厘米長(zhǎng)的小棒和46根b厘米長(zhǎng)的小棒，他用其中的若干根搭成了一個(gè)正方體框架．正方體框架的棱長(zhǎng)和是多少？ ③ 小明有29根a厘米長(zhǎng)的小棒和16根b厘米長(zhǎng)的小棒，他用其中的若干根搭成了兩個(gè)正方體框架．正方體框架的棱長(zhǎng)和是多少？ ★長(zhǎng)方體或正方體的切割組合對(duì)棱長(zhǎng)的影響 一，切割對(duì)正方體、正方體棱長(zhǎng)的影響 ① 切割將長(zhǎng)方體橫向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增

28、加4條長(zhǎng)和4條寬； （棱長(zhǎng)增加的最長(zhǎng)） ②將長(zhǎng)方體豎向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)增加4條寬和4條高； （棱長(zhǎng)增加的最短） ③將正方體沿?zé)o論沿那個(gè)方向切割成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)將比原來(lái)增加4條棱。 二、 組合對(duì)長(zhǎng)方體、正方體棱長(zhǎng)的影響 ① 將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和4條寬； （棱長(zhǎng)減少的最多） ②將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿前后面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條長(zhǎng)和4條高； ③將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體沿左右面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)減少4條寬和4條高； （棱長(zhǎng)減少的最少） ④將兩個(gè)完全相同的正方體沿上下面組

29、合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)兩個(gè)正方體時(shí)減少8條棱； 一次類(lèi)推將三個(gè)完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長(zhǎng)比原來(lái)三個(gè)正方體時(shí)減少16條棱，四個(gè)組合減少24條棱，五個(gè)組合減少32條……（公式：8×（N—1）） 例如：將五個(gè)完全相同的正方體組合成一個(gè)長(zhǎng)方體后，棱長(zhǎng)和為140厘米，原來(lái)每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和是多少？ 【分析】：五個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有12×5=60條；將五個(gè)完全相同正方體組合后棱長(zhǎng)比原來(lái)減少32條，還剩60-32=28條；即這28條棱的長(zhǎng)度和即為新長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，所以正方體一條棱的長(zhǎng)度為：140÷28=5cm；所以一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和為：5×12=60cm。 【知識(shí)點(diǎn)3】長(zhǎng)方體、正方體的側(cè)

30、面展開(kāi)圖： 長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖有幾種 長(zhǎng)、寬、高均不相等的長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖： 一四一式27種；二三一式18種；二二二式6種； 三三式3種，共計(jì)54種 長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖判斷： ① 展開(kāi)圖都是由3對(duì)長(zhǎng)方形組成的，每對(duì)長(zhǎng)方形的 大小完全相同。 ② 在同一行或同一列中，如有3個(gè)或4個(gè)長(zhǎng)方形的， 其中同樣大小的兩個(gè)長(zhǎng)方形中間一定只隔一個(gè) 其他的長(zhǎng)方形。 ①把正方體的表面沿某些棱剪開(kāi)展成一個(gè)平面圖形（如圖），請(qǐng)根據(jù)各面上的圖案判斷這個(gè)正方體是（　?。? 分析：右圖中，把中間的四個(gè)正方形圍起來(lái)做“前后左右”四個(gè)面，有“空心圓”的正方形做

31、“上面”，顯然是正方體C的展形圖，故選（C）。 ② 有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)正方形， 它的底面也是個(gè)正方形，那么底面正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方體高的 【分析】由題意得：將側(cè)面展開(kāi)后的圖形為右圖所示 說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)和高相等（半特殊化長(zhǎng)方體）； 因?yàn)榈酌嬉彩钦叫危f(shuō)明底面周長(zhǎng)就是正方形的周長(zhǎng)， 所以正方形的周長(zhǎng)和高相等，正方形的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的4倍，則長(zhǎng)方體的高就是正方形的邊長(zhǎng)的4倍，即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方體高的1/4 ③有一個(gè)立方體，每個(gè)面上分別寫(xiě)著數(shù)字1、2、3、4、5、6，有三個(gè)人從不同角度 觀察的結(jié)果如圖所示，那么這個(gè)立方體 1

32、的對(duì)面是 ，3的對(duì)面是 ， 4的對(duì)面是 ． ④用紅、黃、藍(lán)、白、黑、綠這6種顏色分別 涂在正方體的各面上，每一個(gè)面只涂一種顏色。如圖所示，現(xiàn)有涂色方式完全一樣的4塊小正方體拼成了一個(gè)長(zhǎng)方體。每個(gè)小正方體中，紅色面的對(duì)面涂的是 色？黃色面的對(duì)面涂的是 色？黑色面的對(duì)面涂的是 色？ ⑤下面是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，其中錯(cuò)誤的是（ ） A. B.

33、 C. D. ⑥下圖是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，已經(jīng)給出有關(guān)數(shù)據(jù)，求出這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積． 【分析】要會(huì)看圖哎！由圖意可知：這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8分米、5分米和3分米， 解答： 長(zhǎng)方體的表面積： 長(zhǎng)方體的體積：=(8×5+5×3+3×8)×2 =8×5×3 =(40+15+24）×2， =40×3 =79×2 =120立方分米 =158（平方分米） ⑦ 這是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)此長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？ 解析：觀察圖形可知長(zhǎng)+寬的和是

34、 則可得高是 則這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 ，寬是 由此利用長(zhǎng)方體的體積公式即可解答． 解答： ⑧經(jīng)過(guò)折疊可以組合成正方體: 經(jīng)過(guò)折疊可以組合成長(zhǎng)方體： 【知識(shí)點(diǎn)4】★一定要按照棱長(zhǎng)對(duì)棱長(zhǎng)的方式去考慮 ①小正方體拼大正方體的規(guī)律 由于正方體，每條棱的長(zhǎng)度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要2×2×2=23=8個(gè)（也就是說(shuō)每條棱上放2個(gè)小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個(gè)

35、小正方體即3×3×3=33=27個(gè)，依次類(lèi)推接下來(lái)是4×4×4=43=64個(gè)；5×5×5=53=125個(gè)…… 從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)數(shù)的立方。 ★要求能夠熟記一些數(shù)的立方： 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 ②小正方體拼大長(zhǎng)方體的規(guī)律 規(guī)律同正方體，首先觀察大長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)分別是小正方體棱長(zhǎng)的幾倍，如，長(zhǎng)方體長(zhǎng)是小正方體棱長(zhǎng)的a倍，寬是小正方體棱長(zhǎng)的b倍，高是小正方體棱長(zhǎng)的c倍，則，大長(zhǎng)方體就是由

36、a×b×c個(gè)小正方體組成的。 練習(xí)：1、用棱長(zhǎng)為3cm的小正方體拼棱長(zhǎng)為9cm的大正方體需要（ ）個(gè)小正方體。 A、8個(gè) B、27個(gè) C、26個(gè) D、64個(gè) 2、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是18、12、9，如果用棱長(zhǎng)為3的小正方拼一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體，一共需要（ ）塊這樣的小正方體。 3、一個(gè)長(zhǎng)方體的盒子里面長(zhǎng)5分米，寬4分米，深3分米，放棱長(zhǎng)為5厘米的正方體小木塊共可以 （ 　 ）塊。 ③從一個(gè)長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體問(wèn)題 應(yīng)該以長(zhǎng)方體中最短的棱作為切出正方體的棱長(zhǎng)，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否

37、則切出的將不是正方體。 例如：在一個(gè)長(zhǎng)是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的 長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體，該正方體的棱長(zhǎng)和是 多少？剩余部分的表面積是多少？ 二、長(zhǎng)方體和正方體的表面積和體積 靜止型 【知識(shí)點(diǎn)1】 ①判斷正誤 兩個(gè)棱長(zhǎng)和相等的長(zhǎng)方體，它們的表面積相等（ ） 一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和相等，它們的表面積相等（ ） 兩個(gè)棱長(zhǎng)和相等的正方體，它們的表面積相等 （ ） 表面積相等的兩個(gè)長(zhǎng)方體，它們的棱長(zhǎng)和相等 （ ）

38、 表面積相等的一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體，它們的棱長(zhǎng)和相等 （ ） 表面積相等的兩個(gè)正方體，它們的棱長(zhǎng)和也相等 （ ） ②下面哪些問(wèn)題跟長(zhǎng)方體表面積有關(guān)。 （ ） A：在一個(gè)長(zhǎng)方體木箱外面刷油漆，刷油漆的面積一共有多少平方分米？ B：做一個(gè)長(zhǎng)方體的金魚(yú)缸需要多少玻璃？ C：求一個(gè)長(zhǎng)方形足球場(chǎng)需多少平方米的草皮？ ③一個(gè)長(zhǎng)方體的金魚(yú)缸，長(zhǎng)是8分米，寬是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打壞了，修理時(shí)配上的玻璃的面積是（ ）。 【知識(shí)點(diǎn)2】長(zhǎng)方體、正方體表面積求法的變形： ①一個(gè)無(wú)蓋正方體鐵桶內(nèi)外進(jìn)行涂漆，涂漆的是（ ）

39、個(gè)面. ②貼商標(biāo)類(lèi)、通風(fēng)管型：只求四周面積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，長(zhǎng)寬高分別為8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)，需要商標(biāo)紙的面積是多少？ 一盒餅干長(zhǎng)20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標(biāo)紙，如果商標(biāo)紙的接頭處是4厘米，這張商標(biāo)紙的面積是多少平方厘米？ 一個(gè)通風(fēng)管的橫截面是邊長(zhǎng)是0.5米的正方形,長(zhǎng)2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風(fēng)管50只,需要多少平方米的鐵皮? ③游泳池類(lèi)型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，長(zhǎng)寬高分別為10m，4m，1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長(zhǎng)為1dm的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？ 做一個(gè)正方體無(wú)蓋紙盒，棱長(zhǎng)是21厘米，至少

40、需要多少平方厘米的紙板？ 一個(gè)抽屜，長(zhǎng)50厘米，寬30厘米，高10厘米，做這樣的2個(gè)抽屜，至少需要木板多少平方厘米？ 一個(gè)房間的長(zhǎng)6米，寬3.5米，高3米，門(mén)窗面積是8平方米?，F(xiàn)在要把這個(gè)房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ ④抽紙盒類(lèi)型：六個(gè)面面積減去缺口面積。 例如：一款抽紙盒，長(zhǎng)寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長(zhǎng)14cm，寬3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？ ⑤占地面積問(wèn)題：只求底面面積。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池，長(zhǎng)12m，寬8m，深3m，這個(gè)水池占地面積多少平方米？ 一只魚(yú)缸，棱長(zhǎng)和

41、為280cm，其中，底面周長(zhǎng)為50cm，右面周長(zhǎng)為40cm，前面周長(zhǎng)為50cm，這只魚(yú)缸的占地面積是多少平方厘米？ ⑥一個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)面積是360平方厘米，高是9厘米，長(zhǎng)是寬的1.5倍，求它的表面積。 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)12厘米,高8厘米, 底面與左側(cè)面的面積和為200平方厘米.求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積？ ⑦一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是66.16分米，底面積是19平方分米，底面周長(zhǎng)是17.6分米。求長(zhǎng)方體的體積 ⑧一塊長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)60厘米，寬40厘米，如右圖， 從四個(gè)角上剪去 邊長(zhǎng)是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個(gè)盒子的表面積是多少 平方厘米？ 【知識(shí)點(diǎn)3】棱長(zhǎng)變化對(duì)棱長(zhǎng)和、表面

42、積、體積的影響： 必須習(xí)慣并熟悉字母替代數(shù)字后，去考慮棱長(zhǎng)的變化對(duì)長(zhǎng)方體、正方體棱長(zhǎng)和、表面積、體積的影響！ ①棱長(zhǎng)變化對(duì)正方體的棱長(zhǎng)和、表面積、體積的影響 ★正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍； ★正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍； ★正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大n倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。 ②棱長(zhǎng)變化對(duì)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和、表面積、體積的影響 ★長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大2倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8； ★長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大3倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍

43、，體積擴(kuò)大27倍； ★長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高同時(shí)擴(kuò)大n倍，其棱長(zhǎng)和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍； ★長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化也無(wú)規(guī)律。 體積擴(kuò)大a×b×c倍。 ★長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大a×b倍 ★長(zhǎng)方體寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大b×c倍 ★長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，高擴(kuò)大c倍，棱長(zhǎng)和變化無(wú)規(guī)律，表面積變化無(wú)規(guī)律，體積擴(kuò)大a×c倍 練習(xí)： ①大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的棱長(zhǎng)的2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（????? ）倍。

44、 ②正方體的棱長(zhǎng)縮小5倍，它的體積就縮?。?????? ）倍． ③一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大4倍，它的表面積就（ ）。 ④正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大6倍，表面積擴(kuò)大（ ??????）倍。 ⑤一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4厘米，擴(kuò)大為2倍后，其棱長(zhǎng)和為（ ）厘米，表面積為（ ）平方厘米比原來(lái)擴(kuò)大了（ ）。 ⑥一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，高擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大（ ）倍。 ⑦大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長(zhǎng)是小正方體的（　?。?；大正方體棱長(zhǎng)之和是小正方體的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 ⑧把一個(gè)正方

45、體切成大小相等的8個(gè)小正方體，8個(gè)小正方體的表面積之和（　 ）。 A.等于大正方體的表面積 B.等于大正方體表面積的2倍 C.等于大正方體表面積的3倍 ⑨判斷： 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，寬擴(kuò)大3倍，高擴(kuò)大4倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積擴(kuò)大24倍。（ ） 正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大1.2倍，它的棱長(zhǎng)也擴(kuò)大1.2倍，它的表面積就擴(kuò)大14.4倍。（ ） 有棱長(zhǎng)為1厘米的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來(lái)一個(gè)正方體時(shí)擴(kuò)大了4倍。（ ） 棱長(zhǎng)為16厘米的正方體，將棱長(zhǎng)縮小2倍后，其棱長(zhǎng)為4厘米，其表面積也縮小了4倍。（ ） 【

46、知識(shí)點(diǎn)4】表面積、體積與數(shù)論體系的結(jié)合 ★ 唯一的偶質(zhì)數(shù)是2，是幫助我們解決質(zhì)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)非常好條件，請(qǐng)時(shí)刻想起。以下是利用數(shù)論的特性與先天不足，一些和數(shù)論有關(guān)系的公式，我們只需要最多通過(guò)0—9這10個(gè)數(shù)字便可推導(dǎo)出，例： ★ 奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)； 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù) ★ 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)； 奇數(shù)×偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù) 例1．一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？ 【思路導(dǎo)航】 長(zhǎng)方體的前面與上面的面積和是長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高=長(zhǎng)×（高+寬

47、），由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（17+2），即長(zhǎng)、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容易了。 ★為什么不寫(xiě)成209=19×11，若是這樣，11是個(gè)質(zhì)數(shù)，兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是奇數(shù)，其中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)，唯一的偶質(zhì)數(shù)是2，那么另一個(gè)數(shù)是9，不是質(zhì)數(shù)，不合題意要求。 長(zhǎng)方體的體積：209=11×19=11×（17+2）=374 （立方厘米） 表面積：（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米） 練習(xí)： ①一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積和是110平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少

48、？ ②一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是960立方厘米，求它的表面積。 ③用2100個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體堆成一個(gè)長(zhǎng)方體，它的高是1dm，且長(zhǎng)大于寬大于高，這個(gè)長(zhǎng)方體的 長(zhǎng)為 ；寬為 . 三、長(zhǎng)方體和正方體的表面積 靜止非穿透型—不規(guī)則型、挖N塊型、置放N塊型 ①不規(guī)則型幾何體表面積、體積的求解： 【例題1】 一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米） 【思路導(dǎo)航】 （1）可以把零件沿虛線分成兩部分來(lái)求它的體積，

49、 左邊的長(zhǎng)方體體積是10×4×2=80（立方厘米）， 右邊的長(zhǎng)方體的體積是10×（6－2）×2=80（立方厘米）， 整個(gè)零件的體積是80×2=160（立方厘米）； （2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。 練習(xí)： 1.如圖是一些棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體搭成的立體圖形， 如果要在基礎(chǔ)上拼搭成一個(gè)長(zhǎng)方體（不可以移動(dòng)原有的小正方體）， 這個(gè)長(zhǎng)方體的體積至少是 立方厘米， 還需用

50、 個(gè)這樣的小正方體． 2. 將若干個(gè)完全相同的正立方體黏合而成如右的立體圖形，若其表面積為270平方公分， 則其體積= 　立方公分． ②挖N塊型： ★ 無(wú)論在哪里挖，原來(lái)體積－挖出的體積=新的幾何體的體積 ★小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化 ①挖去的小正方體在頂點(diǎn)位置，則大正方體的表面積不變，因?yàn)樵瓉?lái)在頂點(diǎn)位置小正方體露在外面的面為3個(gè)，挖去后露出來(lái)的面也是3個(gè)，所以表面積不變。 ②挖去的小正方體在棱的位置，則大正方體的表面積增加，因?yàn)樵瓉?lái)在棱上的小正方體露在外面的面有2個(gè)，挖去后會(huì)露出4個(gè)面，所以表面積會(huì)

51、增大。增大的面積為4-2=2個(gè)小正方體的面。 ③ 挖去的小正方體在面的位置，則大正方體的表面積也會(huì)增加，因?yàn)樵瓉?lái)在面上的小正方體只有1個(gè)面露在外面，挖去后會(huì)露出5個(gè)面，所以表面積會(huì)增大。增大的面積=5-1=4個(gè)小正方體的面。 ★再?gòu)?fù)雜的并著挖的情況根據(jù)圖例實(shí)際進(jìn)行討論。 【例題1】 有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米） 【思路導(dǎo)航】（1）先求出長(zhǎng)方體的體積，8×5×6=240（立方厘米）， 由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2×2×2=8（立方厘米）， 這個(gè)零件的體積是240－8=232（立方厘米）； （2）長(zhǎng)方

52、體完整的表面積是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米）， 但由于挖去了一個(gè)孔，它的表面積減少了一個(gè)（2×2）平方厘米的 面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2×2）平方厘米的面， 因此，這個(gè)零件的表面積是236＋2×2×4=252（平方厘米）。 【例題2】如右圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為10的立方體上截取一個(gè) 長(zhǎng)為8，寬為3，高為2的小長(zhǎng)方體，那么新的幾何體的表面積是多少？ 【思路導(dǎo)航】我們從三個(gè)方向(前后、左右、上下)考慮， 新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10106600．

53、 【例題3】右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一個(gè)邊長(zhǎng)l厘米的正方體，做成一種玩具． 它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫(huà)出了前面、右面、 上面挖去的正方體） 【思路導(dǎo)航】原正方體的表面積是44696(平方厘米)． 每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，同時(shí)又增加了 5個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分． 總的來(lái)看，每一個(gè)面都增加了4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形．

54、 從而，它的表面積是：9646120平方厘米。 【例題4】在一個(gè)棱長(zhǎng)為50厘米的正方體木塊，在它的八個(gè)角上各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的小正方體，問(wèn)剩下的立體圖形的表面積是多少？ 【思路導(dǎo)航】 對(duì)于和長(zhǎng)方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個(gè)方向考慮．變化前后的表面積不變：50 ×50 ×6 ＝15000(平方厘米)。 2厘米 【例題5】下圖是最大的是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體， 在這個(gè)大正方體上表面的正中，向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米 的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱長(zhǎng) 為厘米的正方形小洞，第三個(gè)正方形小洞的挖法 和前兩個(gè)相同為厘米，那么最后得到的立

55、體圖形的 表面積是多少平方厘米？ 【思路導(dǎo)航】棱長(zhǎng)為2厘米的大正方體的表面積為： 2×2×6=24（平方厘米）；下挖的棱長(zhǎng)為1厘米的正方形小洞， 增加了四周4個(gè)面的面積=1144(平方厘米)， 下挖的棱長(zhǎng)為厘米厘米的正方形小洞，增加了四周4個(gè)面的面積=41(平方厘米)，下挖的棱長(zhǎng)為厘米的正方形小洞，增加了四周4個(gè)面的面積=4(平方厘米)，這個(gè)立體圖形的總表面積為：24 41(平方厘米). 練習(xí)： 1. 一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體， 被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？ 2．有一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊， 在

56、它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如圖）， 求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？ 3． 右圖是一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè) 棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？ 4．在一個(gè)棱長(zhǎng)為50厘米的正方體木塊，在它的6個(gè)面（不觸及棱、角），12條棱上，上各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的小正方體，問(wèn)剩下的立體圖形的表面積是多少？ 5. 如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為20厘米的大正方體， 分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)大小相同的小立方體后， 表面積變?yōu)?454平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長(zhǎng)是多少厘米？ 6.（《小學(xué)生數(shù)

57、學(xué)報(bào)》邀請(qǐng)賽）從一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方形木塊中挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？(寫(xiě)出符合要求的全部答案) ④ 置放型： ★ 無(wú)論在哪兒放，原來(lái)的體積﹢置放的體積﹦新的幾何體的體積 ★ 根據(jù)單一凹凸型的特性，放置一個(gè)，無(wú)論放哪里，新的幾何體的表面積增加的是所置放小的幾何體的四周面積。再?gòu)?fù)雜的，并著放置的情況根據(jù)圖例實(shí)際進(jìn)行討論。 【例題1】如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體， 求這個(gè)立體圖形的表面積． 【思路導(dǎo)航】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的， “壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體

58、上面中的陰影部分 合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個(gè)立體圖形的表面積 就可以分成這樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個(gè)底面； 四周方向(左右、前后方向)：小正方體的四個(gè)側(cè)面， 大正方體的四個(gè)側(cè)面．上下方向：(平方分米)； 側(cè)面：(平方分米)，(平方分米)． 這個(gè)立體圖形的表面積為：(平方分米)． 【例題2】(2008年“希望杯”五年級(jí)第2試)如圖，棱長(zhǎng)分別為厘米、 厘米、厘米、厘米的四個(gè)正方體緊貼在一起， 則所得到的多面體的表面積是_______平方厘米． 【思路導(dǎo)航】（方法1）四個(gè)正方體的表面積之和為： (平方厘米)， 重疊部分的面積為： (平方厘米)，

59、 所以，所得到的多面體的表面積為：(平方厘米)． (方法2)三視圖法．從前后面觀察到的面積為平方厘米, 從左右兩個(gè)面觀察到的面積為平方厘米， 從上下能觀察到的面積為平方厘米． 表面積為(平方厘米)． 【例題3】把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起， 按右圖中的方式拼成一個(gè)立體圖形.， 求這個(gè)立體圖形的表面積． 【思路導(dǎo)航】從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形 如下面三圖表示．因此，這個(gè)立體圖形的表面積為： 2個(gè)上面?zhèn)€左面?zhèn)€前面．上表面的面積為：9平方厘米， 左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為：10平方厘米． 因此，這個(gè)立體圖形的總表面積為：(平方厘米)．

60、 上下面 左右面 前后面 練習(xí)： ① 用棱長(zhǎng)是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的表面積是多少平方厘米? ② ②有一個(gè)形狀如右圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。 ③如圖中的一些積木是由16塊棱長(zhǎng)為2厘米的正方體堆成的， 它的表面積是多少平方厘米？ ④有30個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式， 然后把露出的表面涂成紅色．求被涂成紅色的表面積． ★挖完再置放型： 如果把上題中挖下的小正方

61、體粘在另一個(gè)面上（如右圖）， 那么得到的物體的體積和表面積各是多少？ 【較難】一個(gè)由棱長(zhǎng)為N厘米的小正方體，構(gòu)成棱長(zhǎng)M厘米的大正方體。然后分別在大正方體的其中一個(gè)頂點(diǎn)處取出了一個(gè)小正方體、在其中兩條棱上分別取出一個(gè)小正方體、其中三個(gè)面上各取出一個(gè)小正方體（在面的相對(duì)靠近中間位置）。并且隨后將這些小正方體呈“一字長(zhǎng)蛇陣”擺放在大正方體的上表面。請(qǐng)計(jì)算大正方體最終的體積和表面積是多少？ 四、長(zhǎng)方體和正方體的表面積 靜止穿透型——切割型、拼接型 ① 立體圖形的切割：(切割會(huì)使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問(wèn)題)

62、? 正方體 對(duì)于正方體而言，無(wú)論沿那個(gè)面平行的方向切，都將增加兩個(gè)正方形的面，不存在增加最多最少的問(wèn)題。增加的面積均為2a2 。 ? 長(zhǎng)方體 沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最多。 沿與原來(lái)長(zhǎng)方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來(lái)增加的最少。 而且每切一刀增加兩個(gè)完全相同的面，切兩刀增加四個(gè)完全相同的面，依次類(lèi)推。 ★1刀→增加 2 面→分成 2 段 ★2刀→增加 面→分成 段 ★3刀→增加 面→分成 段 ★N刀→增加 面→分成 段 【例題1

63、】 一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？ 【思路導(dǎo)航】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成新的長(zhǎng)方體， 其表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體增加了4塊正方形的面積， 每塊正方形的面積是50÷4=12.5（平方厘米）。 正方體有6個(gè)這樣的面，所以， 原來(lái)正方體的表面積是12.5×6=75（平方厘米）。 【例題2】一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片， 每片又鋸成3長(zhǎng)條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體24塊， 那么這24塊長(zhǎng)方體的表面積之和是多少？ 【思路導(dǎo)航】鋸

64、一次增加兩個(gè)面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù) 的公式為：鋸的總次數(shù)2增加的面數(shù)． 原正方體表面積：1166(平方米)， 一共鋸了(21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)． 【例題3】(2008年走美六年級(jí)初賽)一個(gè)表面積為的長(zhǎng)方體 如圖切成27個(gè)小長(zhǎng)方體，這27個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的 和是 ． 【思路導(dǎo)航】每一刀增加兩個(gè)切面，增加的表面積等于 與切面平行的兩個(gè)表面積，所以每個(gè)方向切兩刀后， 表面積增加到原來(lái)的3倍，即表面積的和為． 【鞏固】如右圖，一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)l米， 沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又

65、鋸成4長(zhǎng)條， 每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體60塊． 那么，這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米? 練習(xí)： ①把一個(gè)棱長(zhǎng)為6米的正方體分成兩個(gè)大小、形狀相同的長(zhǎng)方體，每個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（?? ?? ） ②用兩個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬4厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是 （???? ）平方厘米，最小是（???? ? ）平方厘米。 ③把一根長(zhǎng)80厘米，寬5厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木料鋸成長(zhǎng)都是40厘米的兩段，表面積比原來(lái)增加了（ ）平方厘米。 ④用兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最

66、小是（?? ?? ）平方厘米。 ⑤棱長(zhǎng)是a的兩個(gè)立方體拼成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積比正方體的表面積和減少（ ?? ?? ）。 ⑥一根長(zhǎng)方體木料，長(zhǎng)1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加( )平方分米 ⑦一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，截成兩個(gè)形狀，大小完全一樣的長(zhǎng)方體，表面積 最多能增加多少平方厘米？ ⑧ 把一根長(zhǎng)2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來(lái)這根方木的 底面積是多少平方分米？ ⑨ 一根1.8m長(zhǎng)的木材，鋸成三個(gè)完全相同的正方體后，表面積比原來(lái)增加( )平方厘米？ ⑩ 一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后之后可以鋸成6個(gè) 完全相同的正方體，每個(gè)正方體的表面積是多少？這時(shí)表面積之和比原來(lái)增加多少？ 【較難】 如圖所示，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，由上到下，由左到右， 由前到后的居中位置各鉆一個(gè)洞，其洞口為一正方形， 面積為1且洞深為3．求所得幾何體的總表面積． ②立體圖形的拼接：（組合只會(huì)使表面積減少，因此也存在減少最多或最少的問(wèn)題）