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1、第二節(jié) 曲線與方程,1.曲線與方程 如果曲線C上點的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)為坐標(biāo)的點都在曲線C上，那么，方程 f(x,y)=0叫做____________，曲線C叫做___________________.,曲線C的方程,方程f(x,y)=0的曲線,2.求曲線方程的基本步驟,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”). (1)f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.( ) (2)方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線.( ) (3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2.(

2、 ) (4)方程 與x=y2表示同一曲線.( ),【解析】(1)正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時，有f(x0,y0)=0, f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件. (2)錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0, x=0或x+y-1=0, 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.,(3)錯誤.當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時，是x2=y2,否則不正確. (4)錯誤.因為方程 表示的曲線，只是方程x=y2表示曲線的一部分，故其不正確. 答案：(1) (2) (3) (4

3、),考向 1 利用直接法求軌跡方程 【典例1】已知直角坐標(biāo)平面上的點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)(0)，求動點M的軌跡方程.,【思路點撥】可設(shè)出動點M的坐標(biāo)，依據(jù)動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)(0)即可得出方程.,【規(guī)范解答】設(shè)直線MN切圓C于N點，則動點M的集合為： P=M|MN=MQ，因為圓C的半徑CN=1, 所以MN2=MC2-CN2=MC2-1， 設(shè)點M的坐標(biāo)為M(x,y)，則 化簡整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互動探究】本例中的條件不變，求動點M的軌跡. 【解析】由例題解析可知：曲線的方程為 (

4、2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0)， 因為0,所以當(dāng)=1時，方程化為4x-5=0,它表示一條直線; 當(dāng)1時，方程化為： 它表示圓心為 半徑為 的圓.,【拓展提升】 1.直接法求曲線方程的一般步驟 (1)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)(x,y). (2)列出幾何等量關(guān)系式. (3)用坐標(biāo)條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)=0. (4)變方程為最簡方程. (5)檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性.,2.直接法適合求解的軌跡類型 (1)若待求軌跡上的動點滿足的幾何條件可轉(zhuǎn)化為動點與一些幾何量滿足的等量關(guān)系，而該等量關(guān)系又易于表達(dá)成含x,y的等式時，一般用直接法求軌跡方程. (2)題目給出

5、了等量關(guān)系，直接代入即可得方程.,【變式備選】已知點M，N為兩個定點，MN=6,且動點P滿足 求點P的軌跡方程. 【解析】以點M，N所在的直線為x軸，MN的中點O為坐標(biāo)原點， 建立平面直角坐標(biāo)系，則M(-3,0)，N(3,0),設(shè)P(x,y)，則 又因為 所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6， 化簡整理得：x2+y2=15.,考向 2 利用定義法求軌跡方程 【典例2】已知A(- ，0)，B是圓F：(x- )2+y2=4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動點P的軌跡方程. 【思路點撥】根據(jù)題設(shè)條件，尋找動點P與兩點A，F(xiàn)距離的和滿足的等量關(guān)系PA+PF=2，用定義

6、法求方程.,【規(guī)范解答】如圖，連接PA， 依題意可知PA=PB. PA+PF=PB+PF=BF=21. P點軌跡為以A(- ，0)， F( ，0)為焦點，長半軸長為1的橢圓. 其方程可設(shè)為 又c= ,a=1,b2=a2-c2= 故P點的軌跡方程為,【拓展提升】定義法適合所求軌跡的特點及關(guān)鍵 (1)特點：求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關(guān)鍵：理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵.,【提醒】利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中

7、的變量x或y進(jìn)行限制.,【變式訓(xùn)練】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓 x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線. 【解析】如圖所示，設(shè)動圓圓心M 的坐標(biāo)為(x,y)，半徑為R，設(shè)已知 圓的圓心分別為O1,O2,將圓的方程 分別配方得：(x+3)2+y2=4, (x-3)2+y2=100， 當(dāng)動圓與圓O1相外切時，有O1M=R+2. ,當(dāng)動圓與圓O2相內(nèi)切時，有O2M=10-R. 將兩式相加，得O1M+O2M=12O1O2, 動圓圓心M(x,y)到點O1(-3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12, 所以點M的軌跡是焦點為O1(-3,0

8、),O2(3,0),長軸長等于12的橢圓. 2c=6,2a=12,c=3,a=6,b2=36-9=27, 圓心M的軌跡方程為 軌跡為橢圓.,考向 3 利用相關(guān)點(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程 【典例3】設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA(m0,且m1).當(dāng)點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo).,【思路點撥】解答本題的關(guān)鍵是把點M的坐標(biāo)設(shè)出，利用代入法求軌跡方程.,【規(guī)范解答】設(shè)M(x,y)，A(x0,y0),則由DM=mDA(m0,且 m1)

9、,可得x=x0,|y|=m|y0|,所以 因為A點在單位圓上運動，所以 將式代入式即得所求曲線C的方程為 因為m(0,1)(1,+),所以當(dāng)01時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為,【拓展提升】 1.相關(guān)點法(代入法)適用的軌跡類型及使用過程 動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x,y)的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x，y表示成x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點P的軌跡方程. 【提醒】用代入法求軌跡方程是將x，y表示成x，y的式子，同時注意x，y的限制條件.,2.參數(shù)法適用的軌跡

10、類型及使用過程 有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動常常受到另一個或兩個變量(斜率、比值、截距或坐標(biāo)等)的制約，即動點坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另外變量的變化而變化，我們可稱這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，如果需要得到軌跡的方程，只要根據(jù)參數(shù)滿足的約束條件消去參數(shù)即可.,【變式訓(xùn)練】已知拋物線y2=4px(p0),O為頂點，A，B為拋物 線上的兩動點，且滿足OAOB,如果OMAB于M點，求點M的軌 跡方程. 【解析】設(shè)M(x,y)， 當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y=kx+b, 由OMAB得 由y2

11、=4px及y=kx+b消去y,得 消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以,由OAOB，得y1y2=-x1x2, 所以 故y=kx+b=k(x-4p), 把 代入，得x2+y2-4px=0(x0).(*) 當(dāng)直線AB斜率不存在時，M點坐標(biāo)為(4p,0)，適合(*)式. 所以M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x0).,1.已知真命題：若A為O內(nèi)一定點，B為O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點，OB長為長軸長的橢圓. 類比此命題，寫出另一個真命題：若A為O外一定點，B為O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，求點P的軌跡.,【解析】如圖，

12、連接AP， 由于P是線段AB垂直平分線上一點， 故有PA=PB， 因此|PA-PO|=|PB-PO|=OB=R為定值， 其中R為O的半徑.又由于點A在圓外, 故|PA-PO|=OB=R

13、義知M在以O(shè)1,O2為焦點的橢圓上， 且 動圓圓心M的軌跡方程為,(2)由(1)知動圓圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個焦點坐標(biāo)分別 為O1(-2,0)和O2(2，0). 設(shè)P(x,y)是橢圓上的點，由 得 即x2-y2=4(x2)， 這是實軸在x軸，頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線(除去兩個頂 點)，它與橢圓的交點即為點P.由于雙曲線的兩個頂點在橢圓 內(nèi)，根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個交點. 即圓心M的軌跡上存在四個點P，使直線PO1與PO2的斜率滿足,3.(2013南京模擬)設(shè)定點M(-3,4)，動點N在圓x2+y2=4上運 動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方

14、程. 【解析】設(shè)P(x,y)，圓上的動點N(x0,y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為 線段MN的中點坐標(biāo)為 又因為平行四邊形的對角線互相平分， 所以有 可得 又因為N(x0,y0)在圓上，所以N點坐標(biāo)應(yīng)滿足圓的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但應(yīng)除去兩點,4.(2013淮安模擬)設(shè)F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且 (1)當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點，且 成等差數(shù)列，當(dāng)AD的垂直平分線與x軸 交于點E(3，0)時，求B點坐標(biāo).,【解析】(1)設(shè)N(x,y)，則由 得P為M

15、N中點，所以 又 所以y2=4x(x0).,(2)由(1)知F(1，0)為曲線C的焦點，由拋物線定義知，拋物線 上任一點P0(x0,y0)到F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即 所以 根據(jù) 成等差數(shù)列，得x1+x3=2x2, 易知直線AD的斜率存在，所以直線AD的斜率為 所以AD的垂直平分線l的方程為 又AD中點 在垂直平分線上，則 即 x2=1,所以B(1,2).,5.在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC= ，一曲線E過C 點，動點P在曲線E上運動，且保持PA+PB的值不變. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程. (2)直線l:y=x+t與曲線E交于M，N兩點，

16、求四邊形MANB的面積 的最大值.,【解析】(1)以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標(biāo)系， PA+PB=CA+CB= 動點P的軌跡為橢圓，且a= ,c=1,從而b=1. 曲線E的方程為,(2)將y=x+t代入 得3x2+4tx+2t2-2=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 由得t2<3, t=0時，,6.(2013徐州模擬)在平面直角坐標(biāo) 系xOy中，已知點A(-1，1)，P是動點， 且三角形POA的三邊所在直線的斜率 滿足kOP+kOA=kPA. (1)求點P的軌跡C的方程. (2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且 直線 OP與QA交于點M，問：是否存在點P使

17、得PQA和PAM的面積滿 足SPQA =2SPAM？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說 明理由.,【解析】(1)設(shè)點P(x,y)為所求軌跡 上的任意一點，則由kOP+kOA=kPA得， 整理得軌跡C的方程 為y=x2(x0且x-1). (2)設(shè) 由 可知直線PQOA，則kPQ=kOA, 故 即x2=-x1-1, 直線OP方程為:y=x1x，,直線QA的斜率為： 直線QA的方程為：y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1， 聯(lián)立，得x=- ，點M的橫坐標(biāo)為定值- . 由SPQA =2SPAM，得到QA=2AM， 因為PQOA，所以O(shè)P=2OM. 由

18、 得x1=1,P的坐標(biāo)為(1，1). 存在點P滿足SPQA =2SPAM ,P的坐標(biāo)為(1,1).,7.已知線段AB的兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，AB=3， 點M滿足 (1)求動點M的軌跡E的方程. (2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分，求實 數(shù)k的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 則 由 得 解得 代入 化簡得點M的軌跡方程為,(2)由題意知k0, 假設(shè)存在弦CD被直線l垂直平分，設(shè)直線CD的方程為 由 消去y化簡得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, =(-8kb)2-4(k2

19、+4)4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)0， k2b2-k2-40,,設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中點P(xp,yp), 則,解得 當(dāng)曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分時，k的 取值范圍是k- 或k .,8.(2013南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=(x,y)，b=(x,ky-4)(kR),ab,動點M(x,y)的軌跡為T. (1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀. (2)當(dāng)k=0時，過點F(0，1)，作軌跡T的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，試判斷直線MN是否過定點？并說明理由.,【解析】

20、(1)ab,ab=(x,y)(x,ky-4)=0, 得x2+ky2-4y=0. 當(dāng)k=0時，方程為x2=4y表示拋物線； 當(dāng)k=1時，方程表示以(0，2)為圓心，2為半徑的圓； 當(dāng)k0且k1時，方程表示橢圓； 當(dāng)k<0時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線. (2)當(dāng)k=0時，軌跡T的方程為x2=4y. 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由題意設(shè)直線AB的方程為y=k1x+1,,聯(lián)立x2=4y有：x2-4k1x-4=0， 點M的坐標(biāo)為 同理可得：點N的坐標(biāo)為 直線MN的斜率為 其方程為,整理得 顯然，不論k1為何值，點(0，3)均滿足方程， 直線MN恒過定點(0，3).,