7、 ．
第8題圖
【答案】（1) (4)
9（2013河南南陽(yáng)市模擬）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，F(xiàn)G交AC于H，則GH的長(zhǎng)等于 cm．
第9題圖
【答案】3
10、（第1題）
（2013溫州模擬）16．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2，E是AC上的一點(diǎn)(AE>CE)，且DE=BE，則AE的長(zhǎng)為 ▲ .
【答案】75
11、（第2題
8、圖）
(2013浙江永嘉一模)·
14．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD．若AC=，則圖中長(zhǎng)度等于1cm的線段有 ▲ 條．
12．（2013鄭州外國(guó)語(yǔ)預(yù)測(cè)卷）如圖，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在直線m上，若∠β=20°，則∠α的度數(shù)為 度.
A
B
C
l
m
第1題圖
答案：25
13．（2013江西饒鷹中考模擬）小紅在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)，分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖所
9、示的直角梯形，其中三邊長(zhǎng)分別為4、8、6，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是 .
答案：20或
14、. （2013河南沁陽(yáng)市九年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)）如圖，Rt△ABC中，在AC邊上取點(diǎn)O畫圓使⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②；③以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；④延長(zhǎng)BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)．正確的序號(hào)是 (多填或錯(cuò)填不給分)．①③④
三、解答題
1、（2013浙江錦繡·育才教育集團(tuán)一模）（本小題滿分8分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D
10、是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC．試猜想線段BE和EC的關(guān)系，并證明你的猜想．
A
B
C
D
E
答案：解：數(shù)量關(guān)系為：BE=EC，位置關(guān)系是：BE⊥EC．－－－－－－－－－－1分
證明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個(gè)銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，
∠EDC=∠ADC－∠EDA=180°－45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是
11、AC的中點(diǎn)，
∴AD= AB，
∵AC=2AB，
∴AB=DC，
∴△EAB≌△EDC，
∴EB=EC，且∠AEB=∠AED=90°，
∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BED=90°，
∴BE⊥ED．－－－－－－－－－－－－－－－8分（中間過(guò)程酌情給分）
第2題圖
2．（2013年北京平谷區(qū)一模）已知：如圖，四邊形ABCD中，，，E是AD上一點(diǎn)，∠BED=135°，，,．
求 (1)點(diǎn)C到直線AD的距離；
（2）線段BC的長(zhǎng)．
答案：解：（1）作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F. ..1分
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠CDF=60°.
在Rt△
12、CDF中，………………………………………2分
即點(diǎn)C到直線AD的距離為3.
（2）∵ ∠BED=135°，，
∴ ∠AEB=45°.
∵ ，
∴ ∠ABE=45°.
∴ ………………………………………………………………………3分
作BG⊥CF于G.可證四邊形ABGF是矩形.
∴ FG=AB=2，CG=CFFG=1.
∵ ，
∴ ………………………………..4分
∴ ……………………………………………… 5分
3．（2013鄭州外國(guó)語(yǔ)預(yù)測(cè)卷）如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE,連結(jié)BE.
13、
(1) 求證：△ACD≌△BCE；
(2) 延長(zhǎng)BE至Q, P為BQ上一點(diǎn)，連結(jié)CP、CQ使CP=CQ=5, 若BC=8時(shí)，求PQ的長(zhǎng).
A
B
C
D
O
E
P
Q
答案：
證明：△ABC和△CDE均為等邊三角形，
∴AC=BC , CD=CE 且∠ACB=∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H, 則PQ=2HQ
在
14、Rt△BHC中 ，由已知和（1）得
∠CBH=∠CAO=30°
∴ CH=4，
在Rt△CHQ中，
HQ=
∴PQ=2HQ=6
4. （2013江西饒鷹中考模擬）某校九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：
如圖1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊邊的中點(diǎn)上，從BC邊開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中三角板兩條直角邊所在的直線分別AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：在圖1中，線段與相等。請(qǐng)你證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）小明將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A上，從BC邊開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一
15、個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．
當(dāng)0°＜α ≤45°時(shí)，小明在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：
BD 2＋CE 2＝DE 2．
同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：
小穎的方法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）；
小亮的方法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）．
請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；
A
O
B
E
F
A
B
C
D
E
G
圖3
A
B
C
D
E
F
圖2
16、
（3）小明繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng)45°＜α ＜135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立．現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)探究：當(dāng)135°＜α ＜180°時(shí)（如圖4），等量關(guān)系BD 2＋CE 2＝DE 2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．
A
B
C
圖4
答案：
（1）連接AO.
∵ ∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中點(diǎn)，
∴AO=BO, ∠OAE=∠C=45°
∵ ∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF =90°,
∴∠AOE= ∠COF, ∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF
（2
17、）證明小穎的方法：
∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，
∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45o，∠BAD＝∠FAD。
又∵AC=AB，
∴AF＝AC。
由（1）知，∠FAE＝∠CAE。
在△AEF和△AEC中，
∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）。
∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。
∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90o。
在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，
∴BD2＋CE2＝DE2。
（3）當(dāng)135o＜＜180o時(shí)，等量關(guān)系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。證明如下：
如圖，按小穎的方法作圖，設(shè)
18、AB與EF相交于點(diǎn)G。
∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，
∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45o，∠BAD＝∠FAD。
又∵AC=AB，
∴AF＝AC。
又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45o－∠BAD）＝45o＋∠BAD＝45o＋∠FAD＝∠FAE。
在△AEF和△AEC中，
∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）。
∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。
又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45o，∠AGF＝∠BGE，
∴∠FAG＝∠BEG。
又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝
19、（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90o。
∴∠DFE＝90o。
在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，
∴BD2＋CE2＝DE2。
5、2013山東德州特長(zhǎng)展示）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
B
A
O
D
E
C
F
（2）若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD=5時(shí)，求BF的長(zhǎng)．
（1）證明：∵∠CBF＝∠CFB
∴CB＝CF．
又∵AC＝CF， ∴CB＝AF．
∴△ABF是直角三角
20、形．
∴∠ABF＝90°．……………………………………………………………………3分
∴直線BF是⊙O的切線．……………………………………………………………4分
（2）解：連接DO，EO．……………………………………………………………5分
∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠AOD＝60°．
又∵OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5． ……… ………………7分
又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10，
∴BF＝10． ……………………………………………………………………10分
6、（2013山東德州特長(zhǎng)展示）（本
21、題滿分10分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠ECG＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：．
（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面積．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
G
E
A
B
C
D
E
圖1
圖2
圖3
G
22、
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
A
B
C
D
E
F
圖1
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE＝CF． …………………………2分
（2）證明： 如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF．
A
B
C
D
E
F
圖2
G
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
又∠GCE＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝45°．
∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°
即∠ECG＝∠GCF．
又∵CE＝CF， GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．…………………………5分
23、∴=．
∴． ……………6分
（3）解：如圖3，過(guò)C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D．
B C
A G
E
D
（第23題答案圖3）
在直角梯形ABCG中，
B C
A D
E
G
（第23題答案圖3）
∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，
又∠CDA＝90°，AB＝BC，
∴四邊形ABCD 為正方形．
已知∠ECG＝45°．
由（2）中△ECG≌△FCG，∴ GE＝GF．
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
設(shè)DG＝x，
∵BE=2，A
24、B=6，
∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+ x．
在Rt△AEG中，
解得：x＝3．………。
∴△CEG的面積為15．…………………………10分
7、（2013山東德州特長(zhǎng)展示）（本小題滿分12分）
已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系
（1）求過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長(zhǎng)度等于d，試探究d有無(wú)最大值，如果有，請(qǐng)求出最大值，
25、如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)F，且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
B
A
C
O
H
x
y
解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對(duì)稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．
∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得 m=．
∴OC=，OA=AC－OC=，
∴O（0，0） A（，0），B（－，3
26、）．…………………………………………2分
設(shè)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x－）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x－）=．
即過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=．…………………………4分
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：
－
解之得 k= －，b=．
∴直線AB的解析式為y=．………………………………………………6分
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，），則M（t，）．………………………………7分
∴d=（）—（）=—=
∴當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為
27、2．………………………………………………8分
y
B
A
C
O
H
x
E2
E1
E3
D
(3)設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D．
∵y==，
∴拋物線的對(duì)稱軸x=，頂點(diǎn)D（，－）．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．
① 當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（）．……………………………………………………………………………10分
② 當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=，知拋物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或，即或，分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中
28、，得點(diǎn)
E（，）或E（－，）．
所以在拋物線上存在三個(gè)點(diǎn)：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分
8、（2013鳳陽(yáng)縣縣直義教教研中心）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD＝CF，BD⊥CF成立.
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（）時(shí)，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.
① 求證：BD⊥CF；
② 當(dāng)AB＝4，AD＝時(shí)
29、，求線段BG的長(zhǎng).
圖1 圖2 圖3
解（1）BD＝CF成立.
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=，∠CAF=，
∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.
∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）
（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M.
∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM＝∠GCM.
∵
30、∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.
∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）
②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N.
∵在正方形ADEF中，AD＝，
∴AN＝FN＝.
∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，
∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.
Rt△FCN∽R(shí)t△ABM，∴
∴AM＝.
∴CM＝AC－AM＝4－＝， .…… （9分）
∵△BMA ∽△CMG，∴.
∴. ∴CG＝.…………………………………… （11分）
∴在Rt△BGC中，. …………………….. （12分）
9、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (
31、10分)如圖，由6個(gè)形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)格．小矩形的頂點(diǎn)稱為這個(gè)矩形網(wǎng)格的格點(diǎn)．已知小矩形較短邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
A
B
C
E
F
(1) 格點(diǎn)E、F在BC邊上，的值是_________；
(2) 按要求畫圖：找出格點(diǎn)D，連接CD，使∠ACD＝90°；
(3) 在(2)的條件下，連接AD，求tan∠BAD的值．
解：(1) ………3分
(2) 標(biāo)出點(diǎn)D， ………5分
連接CD． ………7分
(3) 解：連接BD， ………8分
∵∠BED＝90°，BE
32、＝DE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝． ……9分
由(1)可知BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2． ……10分
∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°． ……11分
∴tan∠BAD＝＝＝． ……12分
A
B
C
D
E
O
x
y
F
第6題圖
10、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (12分)如圖，半徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點(diǎn)C、D，直線CF交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F，
33、連接EB、EC．已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)，∠OFC＝30°．
(1) 求證：直線CF是⊙E的切線；
(2) 求證：AB＝CD；
(3) 求圖中陰影部分的面積．
解：(1) 過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)，∴EG＝1．
在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，
∴∠ECG＝30°． ………………1分
∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，
∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2分
∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．
即CF⊥CE．
∴直線CF是⊙E的
34、切線． ………………3分
(2) 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)，
∴EG＝EH＝1． ………………4分
在Rt△CEG與Rt△BEH中，
∵ ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．
∴CG＝BH． ………………6分
∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．
∴AB＝CD． ………………7分
(3) 連接OE，
在Rt△CEG中，CG＝＝，
∴OC＝＋1．
35、 ………………8分
同理：OB＝＋1． ………………9分
∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．
又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．
同理：∠OEB＝105°． ………………10分
∴∠OEB＋∠OEC＝210°．
A
B
C
D
E
x
y
F
O
G
H
∴S陰影＝－×(＋1)×1×2＝－－1． ………………12分
11、(2013年福州市初中畢業(yè)班
36、質(zhì)量檢查) (14分)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，2)，連接AC、BC．
(1) 求拋物線解析式；
(2) BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，求直線DE的解析式；
A
B
C
O
x
y
第7題圖
A
B
C
O
x
y
備用圖
(3) 若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解：(1) 由題意，得： …………1分
解得：．
37、 …………3分
∴這個(gè)拋物線的解析式為y＝x2－x＋2． …………4分
(2) 解法一：
如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F．
圖1
∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝．
∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO＝2，BO＝4，
∴MF＝1，BF＝2，
∴M(2，1) ………………5分
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CN＝BN，
設(shè)ON＝x，則CN＝BN＝4－x，
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x
38、＝，∴N(，0)． ………………6分
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，依題意，得：
，解得：．
∴直線DE的解析式為y＝2x－3． ………………8分
解法二：
如圖2，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸交DE于F．
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CN＝BN，CM＝BM．
設(shè)ON＝x，則CN＝BN＝4－x，
圖2
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)． ………………5分
∴BN＝4－＝．
∵CF∥x軸，∴∠CFM＝∠BNM．
39、∵∠CMF＝∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．
圖3
∴F(，2)． …………………6分
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，依題意，得：
，解得：．
∴直線DE的解析式為y＝2x－3． ………………8分
(3) 由(1)得拋物線解析式為y＝x2－x＋2，∴它的對(duì)稱軸為直線x＝．
圖4
① 如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G(，2)，
以G為圓心，GA長(zhǎng)為半徑畫圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P1，
則∠CP1B＝∠CAB． …………9分
GA＝＝，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(，
40、－)． …………10分
② 如圖4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，
∴G、N關(guān)于直線BC對(duì)稱． …………11分
∴以N為圓心，NB長(zhǎng)為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對(duì)稱． …………12分
⊙N交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P2，則∠CP2B＝∠CAB． …………13分
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，則NH＝－＝1．
∴HP2＝＝，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，)．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)或(，)時(shí)，∠CPB＝∠CAB． ………14分
12、（2013河南沁陽(yáng)市九年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)）（11分）以原點(diǎn)為圓心,為半徑
41、的圓分別交、軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(1)如圖一，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)一周,設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ.求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度（結(jié)果保留）；
(2)若點(diǎn)Q按照⑴中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，
①為何值時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形；
②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請(qǐng)求出直線PQ被⊙O所截的弦長(zhǎng).
（補(bǔ)充說(shuō)明：直角三角形中，如果一條直角邊長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.）
解：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ
OQ=1，OP=2，所以，可得
42、
所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為/秒. 3分
(2)由（1）可知，當(dāng)t=1時(shí)， △OPQ為直角三角形
所以，當(dāng)Q’與Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，△OPQ’為直角三角形
此時(shí)
，
當(dāng)Q’(0，-1)或Q’(0，1)時(shí)，， 此時(shí)或
即當(dāng)，或時(shí)，△OPQ是直角三角形. 7分
當(dāng)或時(shí)，直線PQ與⊙O相交.
作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知：
PQ×OM=OQ×OP
PQ=
43、
QM
弦長(zhǎng). 11分
13、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）(本題滿分10分) 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P為邊AC上一個(gè)點(diǎn)（可以包括點(diǎn)C但不包括點(diǎn)A），以P為圓心PA為半徑作⊙P交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙P的切線交邊BC于點(diǎn)E.
（1）求證：BE=DE；
（2）若PA=1，求BE的長(zhǎng)；
（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出線段BE長(zhǎng)度的取值范圍為 .
⑴證：連接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.
∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA. ∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE
⑵連PE,設(shè)DE=BE=X,則EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°
∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x) +2.解得x=.∴BE=
⑶≤BC<
全國(guó)各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 直角三角形與勾股定理
