2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第二十七講 相似圖形【基礎(chǔ)知識回顧】成比例線段： 1、線段的比：如果選用同一長度的兩條線段，的長度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們 的比，即：= 2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果= 那么四條線段叫做同比例線段，簡稱 3、比例的基本性質(zhì)：=<> 4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【名師提醒：1、表示兩條線段的比時，必須示用相同的 ，在用了相同的前提下，兩條線段的比值與用的無關(guān) 即比值沒有2、全分割：點C把線段AB分成兩條，線段AC和BC（AC>BC）如果 那么稱線段AB被點C全分割A(yù)C與AB的比叫全比，即L= 】二、相似三角形： 1、定義：如果兩個三角形的各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 那么這兩個三角形相似 2、性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似三角形對應(yīng)點的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng) 的比都等于 相似三角形周長的比等于 面積的比等于 判定：基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似 兩邊對應(yīng) 且夾角 的兩三角形相似 兩角 的兩三角形相似 三組對應(yīng)邊的比 的兩三角形相似【名師提醒：1、全等是相似比為 的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等相等一般要先證 判定方法中最常用的是 三組對應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點三角形中】 三、相似多邊形： 1、定義：各角對應(yīng) 各邊對應(yīng) 的兩個多邊形叫做相似多邊形 2、性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角 對應(yīng)邊 相似多邊形周長的比等于 面積的比等于 【名師提醒：相似多邊形沒有專門的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進(jìn)行判定】位似： 1、定義：如果兩個圖形不僅是 而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做 這時相似比又稱為 2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點到位似中心的距離之比都等于 【名師提醒：1、位似圖形一定是 圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個圖形放大或 2、在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 或 】【典型例題解析】考點一：比例線段例1 （2012福州） 如圖，已知ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ，cosA的值是 （結(jié)果保留根號）考點：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：可以證明ABCBDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過點D作DEAB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值解答：解：ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC=ACB=72°BD是ABC的平分線，ABD=DBC=ABC=36°A=DBC=36°，又C=CABCBDC，=， 設(shè)AD=x，則BD=BC=x則，解得：x=（舍去）或故x=如右圖，過點D作DEAB于點E，AD=BD，E為AB中點，即AE=AB=在RtAED中，cosA=故答案是：；點評：ABC、BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解對應(yīng)訓(xùn)練2（2012孝感）如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，BD平分ABC交AC于點D，若AC=2，則AD的長是（）A B C D考點：黃金分割分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等，判定兩個三角形相似再用相似三角形對應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計算求出BD的長解答：解：A=DBC=36°，C公共，ABCBDC，且AD=BD=BC設(shè)BD=x，則BC=x，CD=2-x由于，整理得：x2+2x-4=0，解方程得：x=-1±，x為正數(shù)，x=-1+故選C點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先用兩角對應(yīng)相等判定兩個三角形相似，再用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計算求出BD的長 考點二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用例2 （2012重慶）已知ABCDEF，ABC的周長為3，DEF的周長為1，則ABC與DEF的面積之比為 9：1考點：相似三角形的性質(zhì)專題：探究型分析：先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出其相似比，再根據(jù)面積的比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可解答：解：ABCDEF，ABC的周長為3，DEF的周長為1，三角形的相似比是3：1，ABC與DEF的面積之比為9：1故答案為：9：1點評：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方對應(yīng)訓(xùn)練2（2012沈陽）已知ABCABC，相似比為3：4，ABC的周長為6，則ABC的周長為 8考點：相似三角形的性質(zhì)專題：應(yīng)用題分析：根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比計算即可得解解答：解：ABCABC，ABC的周長：ABC的周長=3：4，ABC的周長為6，ABC的周長=6×=8故答案為：8點評：本題主要考查了相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 考點三：相似三角形的判定方法及其應(yīng)用例3 （2012徐州）如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，點F在BC上，且FC= BC圖中相似三角形共有（）A1對B2對C3對D4對考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)分析：首先由四邊形ABCD是正方形，得出D=C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，F(xiàn)C= BC，證出ADEECF，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與相似三角形的對應(yīng)角相等，證明出AEFADE，則可得AEFADEECF，進(jìn)而可得出結(jié)論解答：解：圖中相似三角形共有3對理由如下：四邊形ABCD是正方形，D=C=90°，AD=DC=CB，DE=CE，F(xiàn)C=BC，DE：CF=AD：EC=2：1，ADEECF，AE：EF=AD：EC，DAE=CEF，AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，DAE+AED=90°，CEF+AED=90°，AEF=90°，D=AEF，ADEAEF，AEFADEECF，即ADEECF，ADEAEF，AEFECF故選C點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證明ECFADE，在此基礎(chǔ)上可證AEFADE例4 16（2012資陽）（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計算過程）；（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；（3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時HD：GC：EB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計算過程）考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)分析：（1）首先連接AG，由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，易證得GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC= BE，即可求得HD：GC：EB的值；（2）連接AG、AC，由ADC和AHG都是等腰直角三角形，易證得DAHCAG與DAHBAE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值；（3）由矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得ADCAHG，DAHCAG，ADHABE，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值解答：解：（1）連接AG，正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，HD=BE，AG=AE，AC=AB，GC=AC-AG=AB-AE=（AB-AE）=BE，HD：GC：EB=1：1。（2）連接AG、AC，ADC和AHG都是等腰直角三角形，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG=45°，DAH=CAG， DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：， DAB=HAE=90°，DAH=BAE，在DAH和BAE中，DAHBAE（SAS），HD=EB，HD：GC：EB=1：1； （3）有變化，連接AG、AC，矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90°，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=m：，DAC=HAG，DAH=CAG， DAHCAG，HD：GC=AD：AC=m：， DAB=HAE=90°，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE，DH：BE=AD：AB=m：n，HD：GC：EB=m：n點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對應(yīng)訓(xùn)練3. （2012攀枝花）如圖，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于點O則下列四個結(jié)論中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四點在同一個圓上，一定成立的有（）A1個B2個C3個D4個考點：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓周角定理分析：由ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得BC=DE，BAC=DAE，繼而可得1=2，則可判定正確；由ABCADE，可得AB=AD，AC=AE，則可得AB：AC=AD：AE，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，即可判定正確；易證得AEFDCF與AOFCEF，繼而可得OAC+OCE=180°，即可判定A、O、C、E四點在同一個圓上解答：解：ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BAC=DAE，BC=DE，故正確；BAC-DAC=DAE-DAC，即1=2，故正確；ABCADE，AB=AD，AC=AE，1=2，ABDACE，故正確；ACB=AEF，AFE=OFC，AFEOFC，2=FOC，即，AFO=EFC，AFOEFC，F(xiàn)AO=FEC，EAO+ECO=2+FAO+ECO=FOC+FEC+ECO=180°，A、O、C、E四點在同一個圓上，故正確故選D點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及四點共圓的知識此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意找到相似三角形是解此題的關(guān)鍵4. （2012義烏市）在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)；（2）由ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積；（3）由當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，CC1B=C1CB=45°，.（2分）CC1A1=CC1B+A1C1B=45°+45°=90°（2）ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1 ，SABA1=4，SCBC1=； （3）如圖1，過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上，在RtBCD中，BD=BC×sin45°=， 當(dāng)P在AC上運動與AB垂直的時候，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； 當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系考點四：位似例5 （2012玉林）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上，正方形ABCD與正方形ABCD是以AC的中點O為中心的位似圖形，已知AC=3，若點A的坐標(biāo)為（1，2），則正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是（）A B C D 考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：延長AB交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比解答：解：在正方形ABCD中，AC=3BC=AB=3，延長AB交BC于點E，點A的坐標(biāo)為（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的邊長為1，正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是故選B點評：本題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長對應(yīng)訓(xùn)練5（2012咸寧）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標(biāo)為（1，0），則E點的坐標(biāo)為（）A（，0） B（ C D 考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：由題意可得OA：OD=1：，又由點A的坐標(biāo)為（1，0），即可求得OD的長，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點的坐標(biāo)解答：解：正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，OA：OD=1：，點A的坐標(biāo)為（1，0），即OA=1，OD=，四邊形ODEF是正方形，DE=OD=E點的坐標(biāo)為：（，）故選C點評：此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關(guān)鍵【聚焦山東中考】1（2012濰坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）ABCD2考點：相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）分析：可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可解答：解：AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，四邊形EFDC與矩形ABCD相似，解得x1=，x2=（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗x1=是原方程的解故選B點評：考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式2（2012東營）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的 ，那么點B的坐標(biāo)是（）A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）考點：相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：由矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OABC與矩形OABC的位似比為1：2，又由點B的坐標(biāo)為（-4，6），即可求得答案解答：解：矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，矩形OABC矩形OABC，矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的，位似比為：1：2，點B的坐標(biāo)為（-4，6），點B的坐標(biāo)是：（-2，3）或（2，-3）故選D點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3. （2012日照）在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F，若EC=2BE，則 的值是（）A B C D 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)分析：根據(jù)菱形的對邊平行且相等的性質(zhì)，判斷BEFDAF，得出= ，再根據(jù)BE與BC的數(shù)量關(guān)系求比值解答：解：如圖，在菱形ABCD中，ADBC，且AD=BC，BEFDAF，= ，又EC=2BE，BC=3BE，即AD=3BE，= =，故選B點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)關(guān)鍵是由平行線得出相似三角形，由菱形的性質(zhì)得出線段的長度關(guān)系4.（2012德州）為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（）A1組B2組C3組D4組F考點：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用分析：根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù) 即可解答解答：解：此題比較綜合，要多方面考慮，因為知道ACB和BC的長，所以可利用ACB的正切來求AB的長；可利用ACB和ADB的正切求出AB；，因為ABDEFD可利用，求出AB；無法求出A，B間距離故共有3組可以求出A，B間距離故選C點評：本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用，解答道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出5（2012威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的兩個頂點的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），若ABC與A1B1C1位似，則A1B1C1的第三個頂點的坐標(biāo)為 （3，4）或（0，4）考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點（1，3），（2，5）的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從若A的對應(yīng)點為A1（1，3），C的對應(yīng)點為C1（2，5）與若C的對應(yīng)點為A1（1，3），A的對應(yīng)點為C1（2，5）去分析求解，即可求得答案解答：解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，ABC的頂點坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4），解得：，直線AC的解析式為：y=2x-8，同理可得：直線AB的解析式為：y=x-2，直線BC的解析式為：y=-x+10，A1B1C1的兩個頂點的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），過這兩點的直線為：y=2x+1，過這兩點的直線與直線AC平行，若A的對應(yīng)點為A1（1，3），C的對應(yīng)點為C1（2，5），則B1C1BC，B1A1BA，設(shè)直線B1C1的解析式為y=-x+a，直線B1A1的解析式為y=x+b，-2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，直線B1C1的解析式為y=-x+7，直線B1A1的解析式為y=x+，則直線B1C1與直線B1A1的交點為：（3，4）；若C的對應(yīng)點為A1（1，3），A的對應(yīng)點為C1（2，5），則B1A1BC，B1C1BA，設(shè)直線B1C1的解析式為y=x+c，直線B1A1的解析式為y=-x+d，×2+c=5，-1+d=3，解得：c=4，d=4，直線B1C1的解析式為y=x+4，直線B1A1的解析式為y=-x+4，則直線B1C1與直線B1A1的交點為：（0，4）A1B1C1的第三個頂點的坐標(biāo)為（3，4）或（0，4）故答案為：（3，4）或（0，4）點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應(yīng)線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6（2012菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）試證明三角形ABC為直角三角形；（2）判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）考點：作圖相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定分析：（1）利用網(wǎng)格借助勾股定理得出AB=2，AC=，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三邊比值關(guān)系得出即可；（3）根據(jù)P2P4 P5三邊與ABC三邊長度得出答案即可解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；顯然有AB2+AC2=BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得ABC 為直角三角形；（2）ABC和DEF相似根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2，ABCDEF（3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5，P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，ABCP2P4 P5點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理與逆定理應(yīng)用，根據(jù)已知得出三角形各邊長度是解題關(guān)鍵【備考真題過關(guān)】一、選擇題1（2012涼山州）已知 ，則 的值是（）A B C D考點：比例的性質(zhì)分析：先設(shè)出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案解答：解：令a，b分別等于13和5，a=13，=；故選D點評：此題考查了比例的性質(zhì)此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形2（2012天門）如圖，ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為（）A2 B3 C D考點：平行線分線段成比例；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：延長BC至F點，使得CF=BD，證得EBDEFC后即可證得B=F，然后證得ACEF，利用平行線分線段成比例定理證得CF=EA后即可求得BD的長解答：解：延長BC至F點，使得CF=BD，ED=ECEDB=ECFEBDEFCB=FABC是等邊三角形，B=ACBACB=FACEFAE=CF=2BD=AE=CF=2故選A點評：本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線3（2012寧德）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EFACHG，EHBDFG，則四邊形EFGH的周長是（）A B C D考點：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)分析：根據(jù)矩形的對角線相等，利用勾股定理求出對角線的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示出EF、EH的長度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解解答：解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，根據(jù)勾股定理，AC=BD=，EFACHG，EHBDFG，=1，EF+EH=AC=，EFHG，EHFG，四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形EFGH的周長=2（EF+EH）=2故選D點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的對角線相等，勾股定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出1是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點4（2012柳州）小張用手機拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應(yīng)線段是（）AFGBFHCEHDEF考點：相似圖形分析：觀察圖形，先找出對應(yīng)頂點，再根據(jù)對應(yīng)頂點的連線即為對應(yīng)線段解答解答：解：由圖可知，點A、E是對應(yīng)頂點，點B、F是對應(yīng)頂點，點D、H是對應(yīng)頂點，所以，甲圖中的線段AB在乙圖中的對應(yīng)線段是EF故選D點評：本題考查了相似圖形，根據(jù)對應(yīng)點確定對應(yīng)線段，所以確定出對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵5.（2012銅仁地區(qū)）如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）AE=2KBBC=2HIC六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長DS六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL考點：相似多邊形的性質(zhì)專題：探究型分析：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一分析即可解答：解：A、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，E=K，故本選項錯誤；B、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，BC=2HI，故本選項正確；C、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2，故本選項錯誤；D、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項錯誤故選B點評：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即兩個相似多邊形的對應(yīng)角相等，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方6. （2012荊州）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）ABCD考點：相似三角形的判定專題：網(wǎng)格型分析：根據(jù)勾股定理求出ABC的三邊，并求出三邊之比，然后根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用勾股定理求出三角形的三邊之比，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似選擇答案解答：解：根據(jù)勾股定理，AB=2，BC=，AC=，所以ABC的三邊之比為：2：=1：2：，A、三角形的三邊分別為2，=3，三邊之比為2：3=：3，故本選項錯誤；B、三角形的三邊分別為2，4，=2，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項正確；C、三角形的三邊分別為2，3，=，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤；D、三角形的三邊分別為=，=，4，三邊之比為：4，故本選項錯誤故選B點評：本題主要考查了相似三角形的判定與網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別求出各三角形的三條邊的長，并求出三邊之比是解題的關(guān)鍵7. （2012海南）如圖，點D在ABC的邊AC上，要判定ADB與ABC相似，添加一個條件，不正確的是（）AABD=C BADB=ABC C D考點：相似三角形的判定分析：由A是公共角，利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用解答：解：A是公共角，當(dāng)ABD=C或ADB=ABC時，ADBABC（有兩角對應(yīng)相等的三角形相似）；故A與B正確；當(dāng)時，ADBABC（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）；故D正確；當(dāng)時，A不是夾角，故不能判定ADB與ABC相似，故C錯誤故選C點評：此題考查了相似三角形的判定此題難度不大，注意掌握有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似定理的應(yīng)用8（2012遵義）如圖，在ABC中，EFBC， ，S四邊形BCFE=8，則SABC=（）A9B10C12D13考點：相似三角形的判定與性質(zhì)專題：計算題分析：求出的值，推出AEFABC，得出 ，把S四邊形BCFE=8代入求出即可解答：解：，=，EFBC，AEFABC，9SAEF=SABC，S四邊形BCFE=8，9（SABC-8）=SABC，解得：SABC=9故選A點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目9. （2012宜賓）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）A B C D考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理分析：根據(jù)三角形的中位線求出EF= BD，EFBD，推出AEFABD，得出，求出 ，即可求出AEF與多邊形BCDFE的面積之比解答：解：連接BD，F(xiàn)、E分別為AD、AB中點，EF=BD，EFBD，AEFABD，AEF的面積：四邊形EFDB的面積=1：3，CD=AB，CBDC，ABCD，AEF與多邊形BCDFE的面積之比為1：（1+4）=1：5，故選C點評：本題考查了三角形的面積，三角形的中位線等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中10（2012欽州）圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A點MB點NC點OD點P考點：位似變換專題：網(wǎng)格型分析：根據(jù)位似變換的定義：對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心即位似中心一定在對應(yīng)點的連線上解答：解：點P在對應(yīng)點M和點N所在直線上，故選：D點評：此題主要考查了位似圖形的概念，根據(jù)位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上得出是解題關(guān)鍵11（2012畢節(jié)地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為位中心，將ABO擴大到原來的2倍，得到ABO若點A的坐標(biāo)是（1，2），則點A的坐標(biāo)是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：根據(jù)以原點O為位中心，將ABO擴大到原來的2倍，即可得出對應(yīng)點的坐標(biāo)應(yīng)應(yīng)乘以-2，即可得出點A的坐標(biāo)解答：解：根據(jù)以原點O為位中心，圖形的坐標(biāo)特點得出，對應(yīng)點的坐標(biāo)應(yīng)應(yīng)乘以-2，故點A的坐標(biāo)是（1，2），則點A的坐標(biāo)是（-2，-4），故選：C點評：此題主要考查了關(guān)于原點對稱的位似圖形的性質(zhì)，得出對應(yīng)點的坐標(biāo)乘以k或-k是解題關(guān)鍵二、填空題12（2012宿遷）如圖，已知P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，若S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長是AB，寬是PB的矩形的面積，則S1 =S2（填“”“=”或“”）考點：黃金分割分析：根據(jù)黃金分割的定義得到PA2=PBAB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1=PA2，S2=PBAB，即可得到S1=S2解答：解：P是線段AB的黃金分割點，且PAPB，PA2=PBAB，又S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長是AB，寬是PB的矩形的面積，S1=PA2，S2=PBAB，S1=S2故答案為=點評：本題考查了黃金分割的定義：一個點把一條線段分成較長線段和較短線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點14.（2012自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，當(dāng)AMMN時，利用互余關(guān)系可證ABMMCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，AMN=90°，AMB+NMC=90°，NMC+MNC=90°，AMB=90°-NMC=MNC，ABMMCN，則，即，解得CN=，S四邊形ABCN=×1×1+x（1-x）=- x2+x+，-0，當(dāng)x=-cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是-×（）2+×+=cm2故答案是：，點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式15. （2012資陽）如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ONOM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ?？键c：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)分析：求兩條線段的關(guān)系，把兩條線段放到兩個三角形中，利用兩個三角形的關(guān)系求解解答：解：如圖，作OFBC于F，OECD于E，ABCD為矩形C=90°OFBC，OECDEOF=90°EON+FON=90°ONOMEON=FOMOENOFMO為中心,即y=x，故答案為：y=x，點評：此題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理的在圖中作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)16.（2012鎮(zhèn)江）如圖，E是ABCD的邊CD上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AD=4， ，則CF的長為 2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得BC=AD=4，ABCD，繼而可證得FECFAB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形，BC=AD=4，ABCD，F(xiàn)ECFAB，CF=BC=×4=2故答案為：2點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用17.（2012泰州）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tanAPD的值是 2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義分析：首先連接BE，由題意易得BF=CF，ACPBDP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在RtPBF中，即可求得tanBPF的值，繼而求得答案解答：解：如圖，連接BE，四邊形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根據(jù)題意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP=PF=CF=BF，在RtPBF中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2故答案為：2點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用18（2012青海）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為 12m考點：相似三角形的應(yīng)用專題：應(yīng)用題分析：先根據(jù)題意得出ABEACD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CD的值解答：解：EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，BE=1.5，AB=2，BC=14，AC=16，CD=12故答案為：12點評：本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵19. （2012婁底）如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內(nèi)M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)的B點，已知網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM= 3.42米考點：相似三角形的應(yīng)用分析：首先根據(jù)題意易得ABONAM，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案解答：解：根據(jù)題意得：AOBM，NMBM，AONM，ABONBM，OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，BM=OB+OM=4+5=9（米），解得：NM=3.42（米），林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM為3.42米故答案為：3.42點評：此題考查了相似三角形的應(yīng)用此題比較簡單，注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解20.（2012北京）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB= 5.5m考點：相似三角形的應(yīng)用分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB解答：解：DEF=BCD=90°D=DDEFDCB,DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，,BC=4，AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案為5.5點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型21.（2012阜新） 如圖，ABC與A1B1C1為位似圖形，點O是它們的位似中心，位似比是1：2，已知ABC的面積為3，那么A1B1C1的面積是 12考點：位似變換分析：由ABC與A1B1C1為位似圖形，位似比是1：2，即可得ABC與A1B1C1為相似三角形，且相似比為1：2，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得答案解答：解：ABC與A1B1C1為位似圖形，ABCA1B1C1，位似比是1：2，相似比是1：2，ABC與A1B1C1的面積比為：1：4，ABC的面積為3，A1B1C1的面積是：3×4=12故答案為：12點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)注意位似圖形是相似圖形的特殊情況，注意相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用三、解答題22（2012上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，BAF=DAE，AE與BD交于點G（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng) 時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)專題：證明題分析：（1）證得ABF與AFD全等后即可證得結(jié)論；（2）利用得到 ，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FGBC，進(jìn)而得到DGF=DBC=BDC，最后證得BE=GF，利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形解答：證明：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD，ABC=ADF，BAF=DAE，BAF-EAF=DAE-EAF，即：BAE=DAF，BAEDAFBE=DF；（2），F(xiàn)GBCDGF=DBC=BDCDF=GFBE=GF四邊形BEFG是平行四邊形點評：本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，特別是第二問如何利用已知比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵23 （2012云南）如圖，在ABC中，C=90°，點D是AB邊上的一點，DMAB，且DM=AC，過點M作MEBC交AB于點E求證：ABCMED考點：相似三角形的判定專題：證明題分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出B=MED，結(jié)合全等三角形的判定定理可判斷ABCMED，也可得出ABCMED解答：證明：MDAB，MDE=C=90°，MEBC，B=MED，在ABC與MED中，ABCMED（AAS）ABCMED點評：此題考查了相似三角形的判定，注意兩三角形全等一定相似，但兩三角形相似不一定全等，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，難度一般24（2012株洲）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O（1）求證：COMCBA；     （2）求線段OM的長度考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對稱得到ACMN，進(jìn)一步得到COM=90°，從而得到在矩形ABCD中COM=B，最后證得COMCBA；（2）利用上題證得的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長解答：（1）證明：A與C關(guān)于直線MN對稱，ACMN，COM=90°在矩形ABCD中，B=90°，COM=B，又ACB=ACB，COMCBA；（2）解：在RtCBA中，AB=6，BC=8，AC=10，OC=5，COMCBA，OM=點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析并找到相等的角來證得相似三角形25. （2012株洲）如圖，在ABC中，C=90°，BC=5米，AC=12米M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒運動時間為t秒（1）當(dāng)t為何值時，AMN=ANM？（2）當(dāng)t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可；（2）作NHAC于H，證得ANHABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可解答