第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義 2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理 3能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題,考綱點(diǎn)擊,一、四個(gè)公理 公理1：如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 公理2：過 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們 過該點(diǎn)的一條公共直線 公理4：平行于同一條直線的兩條直線 ,知識(shí)掃描,兩點(diǎn),不共線,有且只有,平行,二、空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,ab,a,辨析 1直線a在平面外，則a與無公共點(diǎn)，對(duì)嗎？ 提示不對(duì)a在外包括a和a與相交，當(dāng)a與相交時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn),銳角(或直角),四、定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 辨析 2若a，b，則a與b為異面直線，對(duì)嗎？ 提示不對(duì)異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn),相等或互補(bǔ),1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b A異面 B相交 C不可能平行 D不可能相交 解析由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab.與a，b是異面直線相矛盾 答案C,小題熱身,2下列命題是真命題的是 A空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面 C一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面 D梯形一定是平面圖形 解析空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，C錯(cuò)；故D正確 答案D,3空間兩個(gè)角，的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且60，則為 A60 B120 C30 D60或120 解析由等角定理可知60或120. 答案D,4已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是 AABCD BAB與CD異面 CAB與CD相交 DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交 解析若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線 答案D,5正方體各面所在平面將空間分成_部分 解析如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個(gè)側(cè)面所在平面將上面的每一部分再分成三個(gè)部分；前后兩個(gè)側(cè)面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9327部分 答案27,以下四個(gè)命題中 空間四點(diǎn)中，若任意三點(diǎn)不共線，則這四點(diǎn)不共面； 若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面； 若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； 依次首尾相接的四條線段必共面,考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,例1,正確命題的個(gè)數(shù)是 A0 B1 C2 D3 【解析】當(dāng)其中兩點(diǎn)確定的直線與另兩點(diǎn)確定的直線平行時(shí)，四點(diǎn)共面，故不正確從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面內(nèi)，如空間四邊形 【答案】A,規(guī)律方法確定平面的條件 (1)確定平面的依據(jù)是公理2及其推論 (2)判斷所給元素(點(diǎn)或直線)是否共面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具備確定唯一平面的條件，如不具備則不共面,1下列命題： 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面； 梯形可以確定一個(gè)平面； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A0 B1 C2 D3,變式訓(xùn)練,解析對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線，故錯(cuò)誤；正確；對(duì)于，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標(biāo)系，能確定三個(gè)平面，故正確；對(duì)于，未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)共線，則兩平面也可能相交，故錯(cuò)誤 答案C,(2014景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點(diǎn)給出以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與直線C1C相交；直線AM與直線BN平行；直線AM與直線DD1異面；直線BN與直線MB1異面,考點(diǎn)二空間直線的位置關(guān)系,例2,其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)) 【解析】AM與C1C異面，故錯(cuò)；AM與BN異面，故錯(cuò)；正確 【答案】,規(guī)律方法判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法 (1)異面直線，可采用直接法或反證法 (2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理 (3)垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決,2若直線l不平行于平面，且l，則 A內(nèi)的所有直線與l異面 B內(nèi)不存在與l平行的直線 C內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D內(nèi)的直線與l都相交,變式訓(xùn)練,解析如圖，設(shè)lA，內(nèi)直線若經(jīng)過A點(diǎn)，則與直線l相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l異面 答案B,(2014湖南)如圖所示，已知二面角MN的大小為60，菱形ABCD在面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，BAD60，E是AB的中點(diǎn)，DO面，垂足為O. (1)證明：AB平面ODE； (2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值,考點(diǎn)三異面直線所成的角,例3,【解析】(1)證明如圖，因?yàn)镈O，AB， 所以DOAB. 連接BD，由題設(shè)知，ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DEAB. 而DODED，故AB平面ODE.,規(guī)律方法找異面直線所成的角的三種方法 (1)利用圖中已有的平行線平移 (2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移 (3)補(bǔ)形平移,3如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點(diǎn) 求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值,變式訓(xùn)練,解析連接B1M，因?yàn)镃1D1B1A1， 所以MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角,核心能力提升3.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系中的 空 間想象能力,所謂空間想象力，就是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力這種數(shù)學(xué)能力的特點(diǎn)在于善于在頭腦中構(gòu)成研究對(duì)象的空間形狀和簡明的結(jié)構(gòu)，并能將對(duì)實(shí)物所進(jìn)行的一些操作，在頭腦中進(jìn)行相應(yīng)的思考主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖、分析基本圖形的基本元素之間的度量關(guān)系及位置關(guān)系,如圖，M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題： 過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交； 過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直； 過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1都相交； 過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B1C1都平行,典例,其中真命題是 AB C D 【審題】易知AB，B1C1是異面直線，要判定各命題是否正確，需找到兩直線各自所在的平面，根據(jù)兩相交直線確定一個(gè)平面，過M點(diǎn)的直線與直線AB，B1C1分別相交即可確定這兩個(gè)平面，利用這兩個(gè)平面可判定各命題的正確性,【解析】設(shè)l過M點(diǎn)，與AB、B1C1均相交，則l與AB可確定平面，l與B1C1可確定平面，又AB與B1C1為異面直線，所以l為平面與平面的交線，如圖，GE即為l，故正確由于DD1過點(diǎn)M，且DD1AB，DD1B1C1，由于與AB和B1C1垂直的直線也垂直于平面A1B1C1D1，故DD1是唯一滿足條件的直線，故正確顯然正確,在AB上任取一點(diǎn)P，B1C1上任取一點(diǎn)Q，則過點(diǎn)M，P，Q平面與AB、B1C1都相交，故錯(cuò)誤 【答案】C,【點(diǎn)評(píng)】命題的判斷是本題的難點(diǎn)，判斷命題是否正確，要借助于公理3找到平面、以及這兩個(gè)平面的交線l，這就需要空間想象能力，過點(diǎn)M的直線有無數(shù)多條，但過定點(diǎn)和兩異面直線都相交的直線只有一條；判斷命題是否正確，也可利用線段BB1與直線AB，B1C1都垂直，而過點(diǎn)M和線段BB1平行的直線有且只有一條，所以也正確,【變題】如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過 A點(diǎn)A B點(diǎn)B C點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D點(diǎn)C和點(diǎn)M,解析AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點(diǎn)C也在與的交線上 答案D,本講結(jié)束 請(qǐng)按ESC鍵返回,綜合訓(xùn)練能力提升,