第八節(jié)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布總綱目錄教材研讀1.離散型隨機變量的均值與方差考點突破2.均值與方差的性質(zhì)3.兩點分布與二項分布的均值、方差考點二均值與方差在實際問題中的應用考點二均值與方差在實際問題中的應用考點一離散型隨機變量的均值、方差4.正態(tài)曲線的特點考點三正態(tài)分布考點三正態(tài)分布教材研讀教材研讀1.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)均值:稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平平均水平.(2)稱DX=(xi-EX)2pi為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差.Xx1x2xixnPp1p2pipn1niDX2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aEX+b(a,b為實數(shù)).(2)D(aX+b)=a2DX(a,b為實數(shù)).3.兩點分布與二項分布的均值、方差XX服從兩點分布XB(n,p)EXp(p為成功概率為成功概率)npDXp(1-p)np(1-p)4.正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對稱;(3)曲線在x=處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當一定時,曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移;(6)當一定時,曲線的形狀由確定,越小,曲線越“瘦高瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖矮胖”,表示總體的分布越分散分散.121.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學期望E(X)=()A.B.2C.D.3X123P353101103252答案答案A由已知條件可知E(X)=1+2+3=,故選A.3531011032A2.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C答案答案C由P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=0.1.答案答案0.1解析解析由題意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.12B考點一離散型隨機變量的均值、方差考點突破考點突破典例典例1(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解析解析(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機選出一人,此人指標y的值小于60的概率為=0.3.(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列為15502224CC16112224C CC232224CC16012P162316故的期望E()=0+1+2=1.(3)在這100名患者中,服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差.162316方法技巧方法技巧求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值時的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒如果XB(n,p),則用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.1-12004年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣.2015年12月10日,我國科學家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫(yī)學獎.目前,國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速.某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗田中分別種植了100株青蒿進行對比試驗.現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株青蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:編號位置山上5.03.83.63.6山下3.64.44.43.6(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量;(2)記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計與的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論);(3)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1株,記這2株的產(chǎn)量總和為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.21s22s21s22s解析解析(1)山下試驗田平均每株青蒿素產(chǎn)量=4.0,估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量為100=400克.(2).(3)的所有可能取值為9.4,8.6,8.2,8.0,7.4,7.2.P(=9.4)=,P(=8.6)=,P(=8.2)=,P(=8.0)=,P(=7.4)=,P(=7.2)=.隨機變量的分布列為x3.64.44.43.64x21s22s121144CC C18121144CC C18121144CC C1811221144C CC C14121144CC C1811221144C CC C149.48.68.28.07.47.2P181818141814E()=9.4+8.6+8.2+8.0+7.4+7.2=8.181818141814典例典例2(2017北京西城一模,17)在測試中,客觀題難度的計算公式為Pi=,其中Pi為第i題的難度,Ri為答對該題的人數(shù),N為參加測試的總?cè)藬?shù),iN*.現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學生的了解,預估了每道題的難度,如下表所示:iRN考點二均值與方差在實際問題中的應用題號12345考前預估難度Pi0.90.80.70.60.4測試后,隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),估計這240名學生中第5題的實測答對人數(shù);(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生,記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望;(3)試題的預估難度和實測難度之間會有偏差.設(shè)Pi為第i題的實測難度,請用Pi和Pi設(shè)計一個統(tǒng)計量,并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預估是否合理.題號12345實測答對人數(shù)161614144解析解析(1)因為20人中答對第5題的人數(shù)為4,所以第5題的實測難度為=0.2.所以估計這240名學生中第5題的實測答對人數(shù)為2400.2=48.(2)X的可能取值是0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列為420216220CC121911164220C CC329524220CC395X012P12193295395EX=0+1+2=.(3)將抽樣的20名學生中第i題的實測難度作為240名學生中第i題的實測難度,定義統(tǒng)計量S=(P1-P1)2+(P2-P2)2+(Pi-Pi)2,其中Pi為第i題的預估難度,iN*.并規(guī)定:若S0.05,則稱本次測試對難度的預估合理,否則,不合理.1219329539538951nS=(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2=0.012.因為S=0.0120.05,所以本次測試對難度的預估是合理的.15規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)利用均值與方差解決實際問題的方法(1)對實際問題進行具體分析,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,并將問題中的隨機變量設(shè)出來.(2)依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的具體事件,求出其相應的概率.(3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應的期望與方差值.(4)依據(jù)期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋.2-1現(xiàn)有兩個班級,每班各出4名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打(混雙)比賽(注:每名選手打且只打一場比賽).根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗,各項目平均完成比賽所需時間如下表所示.現(xiàn)只有一場比賽場地,各場比賽的出場順序等可能.比賽項目男單女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘(1)求按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率;(2)設(shè)隨機變量X表示第三場比賽開始時需要等待的時間,求X的數(shù)學期望;(3)若要使所有參加比賽的人等待的總時間最少,應該怎樣安排比賽順序(寫出結(jié)論即可).解析解析(1)三場比賽共有=6種順序,其中按女單、混雙、男單的順序進行比賽只有1種,所以按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率為.(2)令A表示女單比賽、B表示男單比賽、C表示混雙比賽.按ABC順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t1=20+25=45(分鐘).按ACB順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t2=20+35=55(分鐘).按BAC順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t3=20+25=45(分鐘).按BCA順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t4=35+25=33A1660(分鐘).按CAB順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t5=35+20=55(分鐘).按CBA順序進行比賽,第三場比賽開始時需要等待的時間為t6=35+25=60(分鐘).且上述六個事件是等可能事件,每個事件發(fā)生的概率為.隨機變量X的分布列為16X455560P131313所以E(X)=.(3)按照混雙、女單、男單的順序參加比賽,可使等待的總時間最少.1603考點三正態(tài)分布典例3(1)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附:若隨機變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(2)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()A.2386B.2718C.3413D.4772答案答案(1)B(2)C解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,則P(36)=(95.44%-68.26%)=13.59%.(2)由正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線的幾何意義,知題圖中陰影部分的面積為P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為0.341310000=3413.故選C.1212方法技巧方法技巧解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間的面積為1,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時要充分結(jié)合圖形進行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運用.(1)應熟記P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值.(2)常用的結(jié)論有:正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對稱,從而在關(guān)于x=對稱的區(qū)間上概率相等.P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).3-1已知隨機變量服從正態(tài)分布N(3,2),且P(6)=0.98,則P(03)=.答案答案0.48解析解析因為=3,P(6)=1-P(6)=0.98,所以P(6)=P(0)=0.02,所以P(03)=P(0110)=0.2,所以該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.250=10.1 2(90100)2PX10B