G單元 立體幾何 目錄G單元 立體幾何1G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖10G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線24G4 空間中的平行關(guān)系24G5 空間中的垂直關(guān)系39G6 三垂線定理59G7 棱柱與棱錐60G8 多面體與球68G9空間向量及運(yùn)算69G10 空間向量解決線面位置關(guān)系72G11 空間角與距離的求法72G12 單元綜合91G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆河南省安陽(yáng)一中等天一大聯(lián)考高三階段測(cè)試（三）（201412）word版】(9)如圖的幾何體是長(zhǎng)方體 的一部分，其中 則該幾何體的外接球的表面積為(A (B) (C) ( D)【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的結(jié)構(gòu). G1【答案】【解析】B 解析：該幾何體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，而若長(zhǎng)方體 的外接球半徑為R ，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為2R，所以，所以該幾何體的外接球的表面積，故選 B. 【思路點(diǎn)撥】分析該幾何體的外接球與長(zhǎng)方體的外接球的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論. 【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是_.（寫出所有正確命題的編號(hào)）當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值?！局R(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以正確；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正確；當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以正確綜上可知答案為.【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是_.（寫出所有正確命題的編號(hào)）當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值。【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以正確；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正確；當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以正確綜上可知答案為.【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是_.（寫出所有正確命題的編號(hào)）當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值。【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以正確；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正確；當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以正確綜上可知答案為.【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，為六邊形；當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則?！局R(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以正確；當(dāng)時(shí)，截面如圖，所以錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正確；綜上可知正確的序號(hào)應(yīng)為.【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考（201501）】4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】俯視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，故底面外接圓半徑r=，由主視圖中棱錐的高h(yuǎn)=1，故棱錐的外接球半徑R滿足：R=，故該幾何體外接球的體積V=R3=.【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，求出底面外接圓半徑和棱錐的高，進(jìn)而利用勾股定理，求出其外接球的半徑，代入球的體積公式，可得答案【數(shù)學(xué)文卷·2015屆湖南省衡陽(yáng)市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】4某幾何體的三視圖如右上圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A B C Da2aa正視圖左視圖俯視圖【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】由三視圖知幾何體為圓錐的，則V=Sh=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖得到為圓錐的，再根據(jù)體積公式求出體積?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】11多面體的三視圖如圖所示，則該多面體表面積為（單位）A B CD【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求表面積.G2【答案】【解析】A 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：由題意得：,所以,所以,在三角形ABD中，,所以該幾何體的表面積為這四個(gè)面的面積和，故選A。【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后分別求出各個(gè)面的面積，再求和即可?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖，所以其體積為，則選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖，所以其體積為，則選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖，所以其體積為，則選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體體積.G2【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：由題意得：，且, ,故答案為。【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體體積.G2【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：由題意得：，且, ,故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可。【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A 解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先分析幾何體的特征在進(jìn)行求值.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】A 解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先分析幾何體的特征在進(jìn)行求值.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】3一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：)如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為（ ）。A BC D 俯視圖正(主)視圖 8 5 5 8側(cè)(左)視圖 8 5 5（第3題圖）【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 G2【答案】D【解析】解析：由三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正四棱錐的斜高為5，所以側(cè)面積為：，故選擇D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正四棱錐的斜高為5，即可求得其側(cè)面積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆河南省安陽(yáng)一中等天一大聯(lián)考高三階段測(cè)試（三）（201412）word版】(20)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P -ABCD中，ADDB，其中三棱錐P- BCD的三視圖如圖所示，且 (1)求證：AD PB(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為 ，求AD的長(zhǎng)【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖；垂直關(guān)系的判定；線面角的意義. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）證明：見解析；（2）6. 解析：由三視圖可知又，又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD= ,結(jié)合sinBDC= 可得.所以設(shè)為平面PCD 的法向量，由題意得即，令y=3,則x=4,z=0，得平面PCD的一個(gè)法向量. 設(shè)PA與平面PCD 所成角為，可得，解之得，即AD=6.【思路點(diǎn)撥】（1）由三視圖得此幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而得AD平面PBD，進(jìn)而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解. 【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（）A B C. D.【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（）A B C. D.【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（）A B C. D.【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D.【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試（201501）】5如圖，若一個(gè)空間幾何體的三視圖中，直角三角形的直角邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積為( )A B C D【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積G2【答案】【解析】B 解析：由三視圖知，此幾何體是一個(gè)有一個(gè)側(cè)枝垂直于底面且底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，其高也為1，故該幾何體的體積為，故選B【思路點(diǎn)撥】由三視圖還原出實(shí)物圖的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)，由三視圖可以看出此物體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)相關(guān)的體積公式求出其體積【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】13.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是_【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2【答案】【解析】3 解析：由三視圖可得出該幾何體為四棱錐，體積為V=3，解得x=3，故答案為3.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵在于看出該幾何體為四棱錐，再利用體積計(jì)算公式得到關(guān)于x的方程，即可解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考（201501）】5已知某三棱錐的三視圖均為腰長(zhǎng)為 2的等腰直角三角形（如圖），則該棱錐的表面積為（ ）A BC D【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】A【解析】由三視圖得，該幾何體為底面和兩個(gè)側(cè)面為直角邊邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，另外一個(gè)側(cè)面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故該棱錐的表面積為S=3××2×2+×(2)2=.【思路點(diǎn)撥】先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長(zhǎng)度，然后利用三棱錐的表面積公式求出該幾何體的表面積【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】11若某棱錐的三視圖(單位：)如圖所示，則該棱錐的體積等于。正視圖左視圖俯視圖5343（第11題圖）【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 G2【答案】【解析】解析：由三視圖知幾何體為三角形削去一個(gè)三棱錐如圖：棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4，幾何體的體積故答案為.【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為直三削去一個(gè)三棱錐，畫出其直觀圖，根據(jù)棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4，計(jì)算三棱柱與三棱錐的體積，再求差可得答案G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線G4 空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版】17（本小題滿分12分）如圖，為正三角形，平面，為的中點(diǎn)，（）求證：平面；（）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值【知識(shí)點(diǎn)】線面平行，空間向量解決線面位置關(guān)系 G4 G10【答案】【解析】（）略（）（）證明：作的中點(diǎn)，連結(jié) 在中，又據(jù)題意知， ，四邊形為平行四邊形 ，又平面，平面 平面4分（），平面 在正中，三線兩兩垂直 分別以為軸，建系如圖 則， ， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，即，令，則 平面的一個(gè)法向量為 又平面的一個(gè)法向量為 平面與平面所成的銳二面角的余弦值8分【思路點(diǎn)撥】（）求證線面平行，可以利用線線平行，本題很容易找出；（）分別求平面與平面的法向量， ，即可求出余弦值【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版】8已知，是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則下列敘述正確的是 （A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則【知識(shí)點(diǎn)】線線關(guān)系，線面關(guān)系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D.【思路點(diǎn)撥】熟悉空間中線線，線面關(guān)系的判斷，逐一排除即可.【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖南省衡陽(yáng)市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】9如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓直徑為1.雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.【思路點(diǎn)撥】先求出球心到截面的距離為，再求球心到底面的距離為。【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖南省衡陽(yáng)市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】9如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( ) A B C D【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓直徑為1.雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.【思路點(diǎn)撥】先求出球心到截面的距離為，再求球心到底面的距離為?！緮?shù)學(xué)文卷·2015屆四川省綿陽(yáng)中學(xué)高三上學(xué)期第五次月考（201412）】18（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為的中點(diǎn)。（1）若，求證：平面平面；（2）點(diǎn)在線段上，試確定的值，使平面；【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定 直線與平面平行的性質(zhì)及直線與直線平行的性質(zhì) G4 G5【答案】（1）證明詳見解析;（2）.【解析】解析：(1)連四邊形菱形,   ，正三角形,  為中點(diǎn), 的中點(diǎn), 又平面平面平面平面(2)當(dāng)時(shí),平面 下面證明,若平面,連交于 由可得, 平面,平面,平面平面,    即:     【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件可證根據(jù)平面與平面垂直的判定定理即可求證平面平面（2）連結(jié)交于，由可證,即得,由直線與平面平行的性質(zhì)，可證,即得，所以即.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且 （）若，求證： （）求三棱錐體積最大值【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7【答案】【解析】（）見解析；（） 解析：（）分別取和中點(diǎn)、，連接、，則,所以,四邊形為平行四邊形,又4分（）在平面內(nèi)作,因?yàn)閭?cè)棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因?yàn)?所以,10分12分的最大值為【思路點(diǎn)撥】（）分別取和中點(diǎn)、，連接、，然后利用線面平行的判定定理即可；（）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即可?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且 （）若，求證： （）求三棱錐體積最大值【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7【答案】【解析】（）見解析；（） 解析：（）分別取和中點(diǎn)、，連接、，則,所以,四邊形為平行四邊形,又4分（）在平面內(nèi)作,因?yàn)閭?cè)棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因?yàn)?所以,10分12分的最大值為【思路點(diǎn)撥】（）分別取和中點(diǎn)、，連接、，然后利用線面平行的判定定理即可；（）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即可?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分）正方形與梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。（1）求證：BM/平面ADEF；（2）求三棱錐的體積.【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，在EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BMAN，又因?yàn)锳N平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因?yàn)镋C的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?且DE與CD相交于D所以 因?yàn)?所以AB/平面CDE ，到面的距離,即為 .【思路點(diǎn)撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明，求三棱錐體積時(shí)，若以所給底面求體積不方便時(shí)，可考慮換底面求體積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分）正方形與梯形所在平面互相垂直，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。（1）求證：BM/平面ADEF；（2）求三棱錐的體積.【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，在EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BMAN，又因?yàn)锳N平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因?yàn)镋C的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?且DE與CD相交于D所以 因?yàn)?所以AB/平面CDE ，到面的距離,即為 .【思路點(diǎn)撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明，求三棱錐體積時(shí)，若以所給底面求體積不方便時(shí)，可考慮換底面求體積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】20（本小題滿分15分）如圖，在幾何體中， 平面，平面，又，。 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 （第20題圖）【知識(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí) G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系,又,則點(diǎn)到軸的距離為1,到軸的距離 為。則有,。 （4分） （1）設(shè)平面的法向量為， 則有，取，得，又，設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為。 （5分） （2）設(shè)平面的法向量為， ， 則有，取，得。 ， 故平面與平面所成的銳二面角的余弦值是. （5分）【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到平面的法向量，利用線面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】4在空間給出下面四個(gè)命題(其中、為不同的兩條直線,、為不同的兩個(gè)平面),/ /,/,/ ,/,/,/,/其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ）。A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5【答案】C【解析】解析：由線面垂直及線面平行的性質(zhì)，可知,/，故正確；，故錯(cuò)誤根據(jù)線面垂直的性質(zhì)；兩平行線中的一個(gè)垂直于平面，則另一個(gè)也垂直于平面可知：若，則，又，故正確由,可得平面都與直線確定的平面平行，則可得，故正確綜上知，正確的有，故選擇C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面垂直、線面平行的性質(zhì)，可判斷；由可判斷；根據(jù)兩平行線中的一個(gè)垂直于平面，則另一個(gè)也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判斷；由已知可得平面都與直確定的平面平行，則可得，可判斷.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）A若則 B若則C若則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）A若則 B若則C若則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）A若則 B若則C若則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試（201501）】20已知在如圖的多面體中，底面，,是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面 （3）求此多面體的體積.【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；幾何體的體積.G4 G5G7【答案】【解析】（1）見解析；（2）見解析；（3） 解析：（1）， 又,是的中點(diǎn)， 四邊形是平行四邊形， 平面，平面，平面 （2）連結(jié)，四邊形是矩形，底面，平面，平面， ，四邊形為菱形， 又平面，平面，平面 ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路點(diǎn)撥】（1）先結(jié)合已知條件證明出四邊形是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可；（2）直接利用線面垂直的判定定理即可；（3）先對(duì)原幾何體分解，再分別求出體積相加即可?！久＞方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)文卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】6設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面下列命題中，正確的是（ ）。 A若與所成的角相等，則B若，則 C若，則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5【答案】C【解析】解析：當(dāng)兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等時(shí)，這兩條直線的關(guān)系不能確定，故A不正確，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線與另一個(gè)平面的關(guān)系都有可能，故B不正確，當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面之間的關(guān)系是垂直，故C正確，當(dāng)兩條直線分別和兩個(gè)平面平行，這兩條直線之間沒有關(guān)系，故D不正確故選擇C.【思路點(diǎn)撥】當(dāng)兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等時(shí)，這兩條直線的關(guān)系不能確定，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線與另一個(gè)平面的關(guān)系都有可能，當(dāng)兩條直線分別和兩個(gè)平面平行，這兩條直線之間沒有關(guān)系，得到結(jié)論【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】19如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)。該四棱錐的正（主）側(cè)圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示。（I）證明：平面；（II）證明：平面平面?！局R(shí)點(diǎn)】線面平行 面面垂直G4 G5【答案】【解析】（I）略；（II）略 解析：（I）證明：取PC中點(diǎn)Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q由正（主）視圖可得E為PD的中點(diǎn)，所以EQCD,又因?yàn)锳FCD,AF=CD, 所以AFEQ,AF=EQ,所以四邊形AFEQ為平行四邊形，所以AEFQ因?yàn)?所以 直線AE平面PFC;（II）證明：因?yàn)镻A平面ABCD，所以PACD,因?yàn)槊鍭BCD為正方形，所以ADCD,所以CD平面PAD，因?yàn)?，所以CDAE,因?yàn)镻A=AD，E為PD中點(diǎn)，所以AEPD,所以AE平面PCD因?yàn)锳EFQ，所以FQ平面PCD因?yàn)椋?所以平面PFC平面PCD.【思路點(diǎn)撥】證明線面平行及面面垂直問題，通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6已知是平面，是直線，則下列命題正確的是（）A若則 B若則C若則 D若，則【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】 B 解析：選項(xiàng)A，直線n還可能在平面內(nèi)，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)閚,所以在一定存在直線an，而m,所以ma,得mn，所以B正確，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)正確選項(xiàng)，則答案只能為B.【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.G5 空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版】8已知，是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則下列敘述正確的是 （A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則【知識(shí)點(diǎn)】線線關(guān)系，線面關(guān)系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D.【思路點(diǎn)撥】熟悉空間中線線，線面關(guān)系的判斷，逐一排除即可.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，（）求證：平面平面；（）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題G5 G11【答案】【解析】（）見解析；（） 解析：（） 因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD2分又ABCD為菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分從而平面PBD平面PAC 6分（）方法1 過O作OHPM交PM于H，連HD因?yàn)镈O平面PAC，可以推出DHPM,所以O(shè)HD為O-PM-D的平面角8分又，且10分從而11分所以，即 12分法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則, 8分從而9分因?yàn)锽D平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為10分 設(shè)平面PMD的法向量為,由得取，即 11分設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等從而，得從而，即 12分【思路點(diǎn)撥】（）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD平面PAC;（）過O作OHPM交PM于H，連HD，則OHD為APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值為，即可求a：b的值【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.（）證明：ACB1D；（）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)證明如圖，因?yàn)锽B1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因?yàn)锽1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故，即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因?yàn)锳CBD，所以·t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因?yàn)?#183;3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x1，則n(1，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.（）證明：ACB1D；（）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)證明如圖，因?yàn)锽B1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因?yàn)锽1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故，即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因?yàn)锳CBD，所以·t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因?yàn)?#183;3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x1，則n(1，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.（）證明：ACB1D；（）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)證明如圖，因?yàn)锽B1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因?yàn)锽1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A1B1平面ADD1A1，從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190°，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故，即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因?yàn)锳CBD，所以·t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因?yàn)?#183;3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即令x1，則n(1，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】20（本小題滿分15分）如圖，在幾何體中， 平面，平面，又，。 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 （第20題圖）【知識(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí) G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系,又,則點(diǎn)到軸的距離為1