圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）1.如圖 1,一副直角三角板滿足 AB=BC,AC=DE, ABC= DEF=90 °, EDF=30°操作：將三角板 DEF 的直角頂點(diǎn) E 放置于三角板 ABC 的斜邊 AC 上，再將三角板 DEF 繞 點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)，并使邊 DE 與邊 AB 交于點(diǎn) P，邊 EF 與邊 BC 于點(diǎn) Q.探究一：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，(1)如圖 2,當(dāng) CE：EA=1 時(shí)，EP與 EQ 滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并給出證明；(2)如圖 3,當(dāng) CE：EA=2 時(shí)，EP與 EQ 滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由；(3)根據(jù)你對(duì)(1)、(2)的探究結(jié)果,試寫(xiě)出當(dāng) CE：EA=m 時(shí),EP 與 EQ 滿足的數(shù)量關(guān)系式為 ,其中 m 的取值范圍是 .(直接寫(xiě)出結(jié)論, 不必證明) 探究二：若 CE：EA=2 且 AC=30cm, 連接 PQ, EPQ 的面積為 S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中： (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由。 (2)隨著 S 取不同的值，對(duì)應(yīng) EPQ 的個(gè)數(shù)有哪些變化，求出相應(yīng) S 的值或取值范圍。2.在矩形 ABCD 中，AD>AB，點(diǎn) P 是 CD 邊上的任意一點(diǎn)（不含 C，D 兩端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn) P 作 PF/BC，交對(duì)角線 BD 于點(diǎn) F（1）如圖 1，將 PDF 沿對(duì)角線 BD 翻折得到 QDF，QF 交 AD 于點(diǎn) E求證 DEF 是等腰三角形；（2）如圖 2，將 PDF 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到 PDF ，連接 PC，F(xiàn)B設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 (0°<<180°)若 0°<< BDC，即 DF在 BDC 的內(nèi)部時(shí)，求證： DPC DFB如圖 3，若點(diǎn) P 是 CD 的中點(diǎn) DFB 能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí) tan DBF 的值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 1 頁(yè) 共 8 頁(yè)3.如圖 1，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中點(diǎn)，以點(diǎn) E 為直角頂點(diǎn)的直角三角形 EFG 的兩邊 EF，EG 分別過(guò)點(diǎn) B，C，F(xiàn)=30°.（1）求證：BC=CE；（2）將EFG 繞點(diǎn) E 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 EF 與 AD 重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，若 EF，EG 分別與 AB，BC 相交于點(diǎn) M，N（如圖 2）.求證：BEMCEN；若 AB=2，求BMN 面積的最大值； 當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn) B 恰好在 FG 上（如 圖 3），求 sinEBG 的值.4.將一副三角尺按圖 1 擺放，等腰直角三角尺的直角邊 DF 恰好垂直平分 AB，與 AC 相交 于點(diǎn) G，BC=2 3 cm(1)求 GC 的長(zhǎng)；(2)如圖 2，將DEF繞點(diǎn) D 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使直角邊 DF 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊 DE 與AC 相交于點(diǎn) H，分別過(guò) H、C 作 AB 的垂線，垂足分別為 M、N，通過(guò)觀察，猜想 MD 與 ND 的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想(3)在(2)的條件下，將DEF 方向平移得到D'E'F'，都能夠 D'E'恰好經(jīng)過(guò)(1)中的點(diǎn) G 時(shí)， 請(qǐng)直接寫(xiě)出 DD' 的長(zhǎng)度圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 2 頁(yè) 共 8 頁(yè)5.如圖,在等腰 RtABC 中,ACB=90°,AB=14 2 ,點(diǎn) D,E 分別在邊 AB,BC 上,將線段 ED 繞點(diǎn) E 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°得到 EF.(1)如圖 1，若 AD=BD，點(diǎn) E 與點(diǎn) C重合，AF 與 DC 相交于點(diǎn) O.求證：BD=2DO.(2)已知點(diǎn) G 為 AF 的中點(diǎn)。如圖 2，若 AD=BD ，CE=2 ，求DG 的長(zhǎng)。若 AD=6BD，是否存在點(diǎn) E，使得DEG 是直角三角形?若存在，求 CE 的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由。6.如圖，已知等邊ABC 的邊長(zhǎng)為 8，點(diǎn) P 是邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) A，B 不重合）直 線 l 是經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 的一條直線，把ABC 沿直線 l 折疊，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) B（1）如圖 1，當(dāng) PB=4 時(shí)，若點(diǎn) B恰好在邊 AC 邊上，則 AB的長(zhǎng)度為 （2）如圖 2，當(dāng) PB=5 時(shí)，若直線 lAC，則 BB的長(zhǎng)度為 （3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在邊 AB 上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線 l 始終垂直于 AC，ACB的面積是 否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出面積（4）當(dāng) PB=6 時(shí)，在直線 l 變化過(guò)程中，求ACB面積的最大值7.如圖 1,菱形 ABCD 的頂點(diǎn) A,D 在直線上,BAD=60 °,以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心將菱形 ABCD 順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<30°),得到菱形 ABCD,BC交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) M,CD交直 線 l 于點(diǎn) N，連接 MN.(1)當(dāng) MNBD時(shí)，求的大小。(2)如圖 2,對(duì)角線 BD交 AC于點(diǎn) H,交直線 l 與點(diǎn) G,延長(zhǎng)CB交 AB 于點(diǎn) E,連接 EH.當(dāng)HEB的周長(zhǎng)為 2 時(shí)，求菱形 ABCD 的周長(zhǎng)。圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 3 頁(yè) 共 8 頁(yè)8.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖 1,ACB 和DCE 均為等腰直角三角形,ACB=90°，B，C，D 在一條直線上。 填空：線段 AD，BE 之間的關(guān)系為(2)拓展探究如圖 2,ACB 和DCE 均為等腰直角三角形,ACB=DCE=90 °，請(qǐng)判斷 AD ，BE 的關(guān)系， 并說(shuō)明理由。(3)解決問(wèn)題如圖 3,線段 PA=3,點(diǎn) B 是線段 PA 外一點(diǎn),PB=5,連接 AB,將 AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 °得到 線段 AC，隨著點(diǎn) B 的位置的變化，直接寫(xiě)出 PC 的范圍。9.如圖(1)，已知點(diǎn) G 在正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上，GEBC，垂足為點(diǎn) E，GFCD，垂 足為點(diǎn) F.(1)證明與推斷：求證：四邊形 CEGF 是正方形；推斷：AG:BE 的值為 :(2)探究與證明：將正方形 CEGF 繞點(diǎn) C 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 角(0°<<45 °),如圖(2)所示，試探究線段 AG 與 BE 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)拓展與運(yùn)用：正方形 CEGF 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng) B,E,F 三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng) CG 交 AD 于點(diǎn) H.若 AG=6,GH=2 2 ，則 BC=圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 4 頁(yè) 共 8 頁(yè)1 2 1 21 2 210.我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底” 三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”(1)概念理解：如圖 1，在ABC 中，AC=6，BC=3，ACB=30°，試判斷ABC 是否是”等高底”三角 形，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)問(wèn)題探究：如圖 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底”，作ABC關(guān)于 BC 所在直線的對(duì)稱圖形得到ABC，連結(jié) AA'交直線 BC于點(diǎn) D. 若點(diǎn) B 是AA'C 的重心，求 AC:BC 的值(3)應(yīng)用拓展：如圖 3，已知 l /l ，l 與 l 之間的距離為 2.“等高底”ABC 的“等底”BC 在直線 l 上， 點(diǎn) A 在直線 l 上，有一邊的長(zhǎng)是 BC 的 2 倍。將ABC 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 45°得 到ABC，A'C 所在直線交 l 于點(diǎn) D. 求 CD 的值11.在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 AOBC 是矩形,點(diǎn) O(0,0),點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3).以點(diǎn) A 為中心， 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC，得到矩形 ADEF ，點(diǎn) O，B，C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 D，E，F(xiàn).()如圖，當(dāng)點(diǎn) D 落在 BC 邊上時(shí)，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；()如圖，當(dāng)點(diǎn) D 落在線段 BE 上時(shí)，AD與 BC 交于點(diǎn) H.求證ADBAOB；求點(diǎn) H 的坐標(biāo)。()記 K 為矩形 AOBC 對(duì)角線的交點(diǎn),S 為KDE 的面積,求 S 的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).12.已知MAN=135°，正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)。 (1)當(dāng)正方形 ABCD 旋轉(zhuǎn)到MAN 的外部(頂點(diǎn) A 除外)時(shí)，AM ，AN 分別圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 5 頁(yè) 共 8 頁(yè)與正方形 ABCD 的邊 CB，CD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M，N，連接 MN.如圖 1，若 BM=DN ，則線段 MN 與 BM+DN 之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 如圖 2，若 BMDN，請(qǐng)判斷中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不 成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖 3,當(dāng)正方形 ABCD 旋轉(zhuǎn)到MAN 的內(nèi)部(頂點(diǎn) A 除外)時(shí)，AM，AN 分別與直線 BD 交于點(diǎn) M，N，探究：以線段 BM，MN ，DN 的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是何種三角形，并 說(shuō)明理由。13.【問(wèn)題提出】如圖,已知ABC 是等腰三角形,點(diǎn) E 在線段 AB 上,點(diǎn) D 在直線 BC 上, 且 ED=EC, 將BCE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 °至ACF 連接 EF試證明：AB=DB+AF【類比探究】(1)如圖，如果點(diǎn) E 在線段 AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段 AB，DB，AF 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由(2)如果點(diǎn) E 在線段 BA 的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出AB，DB，AF 之間的數(shù) 量關(guān)系，不必說(shuō)明理由。14.如圖,等邊ABC 與等腰三角形EDC 有公共頂點(diǎn) C,其中EDC=120°,AB=CE=2 6 ，連 接 BE，P 為 BE 的中點(diǎn)，連接 PD 、AD(1)為了研究線段 AD 與 PD 的數(shù)量關(guān)系，將圖 1 中的EDC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌龋?使 CE 與 CA 重合，如圖 2，請(qǐng)直接寫(xiě)出 AD 與 PD 的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖 1,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)如圖 3,若ACD=45°，求PAD 的面積。圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 6 頁(yè) 共 8 頁(yè)15.已知：ABC 和ADE 均為等邊三角形，連接 BE，CD，點(diǎn) F，G，H 分別為 DE ，BE， CD 中點(diǎn).（1）當(dāng)ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖 1，則FGH 的形狀為 ，說(shuō)明理由；（2）在ADE 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，D，E 三點(diǎn)共線時(shí)，如圖 2，若AB=3，AD=2 ，求線段 FH 的長(zhǎng)；（3）在ADE 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若AB=a，AD=b（ab0），則FGH 的周長(zhǎng)是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫(xiě)出 最大值和最小值；若不存在，說(shuō)明理由.16.我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”(1)概念理請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；(2)問(wèn)題探究；如圖 1，在等鄰角四邊形 ABCD中，DAB=ABC，AD，BC 的中垂線恰好交于 AB 邊上一點(diǎn) P，連結(jié) AC，BD，試探究 AC 與 BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用拓展；如圖 2,在 RtABC 與 RtABD 中,C=D=90°,BC=BD=3,AB=5, 將 ABD 繞著點(diǎn) A 順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)角(0°<<BAC)得到 RtABD (如圖 3),當(dāng)凸四邊形 ADBC 為等鄰角四 邊形時(shí)，求出它的面積。17.如圖，在 RtABC 中，ACB=90°，A=30°，點(diǎn) O 為 AB 中點(diǎn)，點(diǎn) P 為直線 BC 上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B、 點(diǎn) C 重合），連接 OC、OP，將線段 OP 繞點(diǎn) P 順時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 60°，得到線段 PQ，連接 BQ.圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 7 頁(yè) 共 8 頁(yè)（1）如圖，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BC 上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 BQ 與 CP 的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn) P 在 CB 延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明； 若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn) P 在 BC 延長(zhǎng)線上時(shí)，若BPO=15°，BP=4，請(qǐng)求出 BQ 的長(zhǎng).18.如圖,在ABC 中,ACB=90°,CD 是中線,AC=BC,一個(gè)以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)的 45 °角繞點(diǎn) D 旋 轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與 AC、BC 的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn) E，F(xiàn)，DF 與 AC 交于點(diǎn) M， DE 與 BC 交于點(diǎn) N.(1)如圖 1，若 CE=CF，求證：DE=DF ；(2)如圖 2，在EDF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中：探究三條線段 AB，CE，CF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；若 CE=4，CF=2，求 DN 的長(zhǎng)。圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折綜合題（相似必考）第 8 頁(yè) 共 8 頁(yè)