第 8 章8-1 目前可獲得的極限真空為，求此真空度下體積內(nèi)有多少個(gè)分子?(設(shè)溫度為27)解 由理想氣體狀態(tài)方程得 ，故 (個(gè))8-2 使一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)按圖中的曲線沿箭頭所示的方向發(fā)生變化，圖線的段是以橫軸和縱軸為漸近線的雙曲線。(1)已知?dú)怏w在狀態(tài)時(shí)的溫度是，求氣體在B、C、D時(shí)的溫度。(2)將上述狀態(tài)變化過程在 圖(為橫軸)中畫出來，并標(biāo)出狀態(tài)變化的方向。解 (1)由理想氣體狀態(tài)方程PV/T恒量，可得：由AB這一等壓過程中則 (K)因BC段為等軸雙曲線，所以BC為等溫過程，則 600 (K)CD為等壓過程，則 (K)(2) 8-3 有容積為V的容器，中間用隔板分成體積相等的兩部分，兩部分分別裝有質(zhì)量為m的分子 和個(gè), 它們的方均根速率都是，求： (1)兩部分的分子數(shù)密度和壓強(qiáng)各是多少?(2)取出隔板平衡后最終的分子數(shù)密度和壓強(qiáng)是多少?解 (1) 分子數(shù)密度 由壓強(qiáng)公式：，可得兩部分氣體的壓強(qiáng)為 (2) 取出隔板達(dá)到平衡后，氣體分子數(shù)密度為 混合后的氣體，由于溫度和摩爾質(zhì)量不變，所以方均根速率不變，于是壓強(qiáng)為：8-4 在容積為的容器中，儲(chǔ)有個(gè)氧分子，個(gè)氮分子，氫分子混合氣體，試求混合氣體在時(shí)的壓強(qiáng)。解 由 則 (Pa)8-5 有剛性雙原子理想氣體，其內(nèi)能為。 (1)試求氣體的壓強(qiáng)。(2)設(shè)有個(gè)分子，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體，溫度。解 (1)理想氣體的內(nèi)能 (1)壓強(qiáng) (2)由(1)、(2)兩式可得 (Pa)(2) 由 則 (K)又 (J)8-6 一容積為的電子管，當(dāng)溫度為300K時(shí)，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強(qiáng)為的真空，問此時(shí)管內(nèi)有多少個(gè)空氣分子?這些分子的總平動(dòng)動(dòng)能是多少?總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是多少?總動(dòng)能是多少?解 由理想氣體狀態(tài)方程 得一個(gè)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為： 所以總的平均動(dòng)能為： (J)將空氣中的分子看成是由雙原子剛性分子組成，而每一個(gè)雙原子分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： 所以總的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： (J)總動(dòng)能 (J) 8-7 某些恒星的溫度可達(dá)的數(shù)量級(jí)，在這溫度下原子已不存在，只有質(zhì)子存在。試求：(1)質(zhì)子的平均動(dòng)能是多少電子伏?(2)質(zhì)子的方均根速率是多少?解 質(zhì)子只有3個(gè)平動(dòng)自由度，所以其平均動(dòng)能也就是它的平均平動(dòng)動(dòng)能(eV)質(zhì)子的方均根速率為：() 8-8 容器內(nèi)某理想氣體的溫度，壓強(qiáng),密度為,求： (1)氣體分子的方均根速率； (2)氣體的摩爾質(zhì)量，是何種氣體? (3)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能； (4)單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能；(5)氣體的內(nèi)能。設(shè)該氣體有。解 (1) 由 得 所以 所以 ()(2) 氣體的摩爾質(zhì)量 所以該氣體是或(3) 氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 氣體分子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 (4) 單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能(5) 該氣體的內(nèi)能 8-9 容積為的容器以速率勻速運(yùn)動(dòng),容器中充有質(zhì)量為50g，溫度為18的氫氣。設(shè)容器突然靜止，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，若容器與外界沒有熱交換，達(dá)到平衡時(shí)氫氣的溫度增加了多少?壓強(qiáng)增加了多少?氫分子視為剛性分子。解 由能量守恒定律知 又因 所以 由 8-10 一摩爾水蒸氣分解成同溫度的氫氣和氧氣，內(nèi)能增加了百分之幾(不計(jì)振動(dòng)自由度)?解 由水的分解方程知，1mol水蒸氣分解為1mol氫氣和mol氧氣。設(shè)溫度為T，1mol水蒸氣的內(nèi)能 1mol氫氣的內(nèi)能 mol氧氣的內(nèi)能 所以 所以內(nèi)能增加的百分比為 8-11 求速度與最概然速率之差不超過最概然速率1%的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比。解 根據(jù)題意，由麥克斯韋分布定律又 所以 在附近， 8-12 速率分布函數(shù)的物理意義是什么?試說明下列各量的意義：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5)。答 表示在熱力學(xué)溫度T時(shí)，處于平衡狀態(tài)的給定氣體中，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。(1) 表示某分子的速率在vv+dv間隔內(nèi)的概率；或者說速率在vv+dv間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；(2) 表示分子速率在vv+dv間隔內(nèi)的分子數(shù)；(3) 表示分子速率在間隔內(nèi)的概率，或者說該分子速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；(4) 表示分子速率在間隔內(nèi)的分子數(shù)；(5) 無直接明顯的物理意義，只能表示在間隔內(nèi)分子對(duì)速率算術(shù)平均值的貢獻(xiàn)。8-13 由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，其速率分布曲線如圖所示，當(dāng)>時(shí)，求： (1)常數(shù)a； (2)速率大于和小于的粒子數(shù)；(3)分子的平均速率。解 (1) 由歸一化條件知曲線下的面積 所以 得到 (2) v<時(shí)，曲線下的面積 ，所以粒子數(shù)為 v>時(shí)，曲線下的面積 ，所以粒子數(shù)為 (3) 由圖知 所以 8-14 容積為 的容器中，貯有的氣體，其壓強(qiáng)為。求氣體分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。解 設(shè)容器內(nèi)氣體分子總數(shù)為N，則有該氣體分子質(zhì)量為 最概然速率為 平均速率為 方均根速率8-15 質(zhì)量為的粒子懸浮于27的液體中，觀測(cè)到它的方均根速率為。 (1)計(jì)算阿佛加德羅常數(shù)。(2)設(shè)粒子遵守麥克斯韋分布律，求粒子的平均速率。解 (1) 由方均根速率公式 得到 阿佛加德羅常數(shù)為 (2) 而 所以 8-16 由麥克斯韋分布律求速率倒數(shù)的平均值 。解 8-17 大氣壓強(qiáng)隨高度的變化規(guī)律為。拉薩海拔約3600m，設(shè)大氣溫度為27，而且處處相同，求拉薩的大氣壓是多少?空氣的摩爾質(zhì)量是。海平面處大氣壓為1atm。解 拉薩大氣壓強(qiáng)為 atm=0.663atm8-18 實(shí)驗(yàn)測(cè)得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低1mmHg，試用恒溫度氣壓公式證明此結(jié)果(海平面處大氣壓按760 mmHg計(jì)，溫度取273K)。證明 因?yàn)榇髿鈮簭?qiáng)隨高度變化規(guī)律為 升高后大氣壓為 所以 8-19 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布為。設(shè)大氣中溫度隨高度的變化忽略不計(jì)，在27時(shí)，升高多大高度，大氣壓強(qiáng)減為原來的一半。解 由知，當(dāng)大氣壓強(qiáng)減為原來的一半時(shí)，由 得，即 8-20 試計(jì)算空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均自由程和平均碰撞頻率。取分子的有效直徑為，空氣平均摩爾質(zhì)量為 。解 平均自由程平均碰撞頻率 8-21 一定量的理想氣體貯于固定體積的容器中，初態(tài)溫度為，平均速率為，平均碰撞頻率為，平均自由程為。若溫度升高為時(shí)，求、和各是多少?解 平均速率 故當(dāng)時(shí)，平均碰撞頻率 因?yàn)槿萜黧w積不變，分子數(shù)密度不變，所以 平均自由程 由于n不變，所以 8-22 設(shè)氣體放電管中氣體分子數(shù)密度為n。 電子不斷與氣體分子碰撞，因電子速率遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以氣體分子可以認(rèn)為是不動(dòng)的，設(shè)電子的“有效直徑”比起氣體分子的有效直徑d來可忽略不計(jì)。求電子與氣體分子碰撞的平均自由程。 解 因?yàn)殡娮拥挠行е睆娇梢院雎圆挥?jì)，所以電子與氣體分子碰撞的有效班級(jí)功能為，所以一秒鐘時(shí)間內(nèi)電子和其他分子碰撞的平均次數(shù)為所以平均自由程為 8-23 在質(zhì)子回旋加速器中，要使質(zhì)子在的路徑上不和空氣分子相撞，真空室內(nèi)的壓強(qiáng)應(yīng)為多大?設(shè)溫度為300K，空氣分子的有效直徑為，質(zhì)子的有效直徑可忽略不計(jì)，空氣分子可認(rèn)為靜止不動(dòng)。 解 空氣分子的有效直徑為，因?yàn)橘|(zhì)子的有效直徑可以忽略不計(jì)，所以質(zhì)子與空氣分子碰撞的有效半徑為，碰撞的有效面積為 按題意，要求在體積 最多有一個(gè)分子才能滿足條件，所以單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為 所以空氣壓強(qiáng)為 8-24 真空管的線度為，其中真空度為，設(shè)空氣分子的有效直徑為，求27時(shí)單位體積內(nèi)的分子數(shù)，平均自由程和平均碰撞頻率。 解 由 知平均自由程 >而真空管的線度為，所以分子間很難碰撞，空氣分子與器壁碰撞，所以其自由程為 。平均碰撞頻率 由 知 10教資材料