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川大繼續(xù)教育《工程數(shù)學》復習資料2020.pdf

上傳人:小** 文檔編號:15424391 上傳時間:2020-08-10 格式:PDF 頁數(shù):16 大?。?30.89KB
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1、工程數(shù)學復習資料 1、填空。 ( 1)已知 1 ( ) co s sine ik, 2 ( ) sin co se ij,則內(nèi)積 )()( 21 ee ____0 (求解過程: 0s ins ins inc o s ) ________ ,外積 )()( 21 ee __ j kji c o s 0c o ss i n s i n0c o s ________。 ( 2) ( ) 2 cos 3F 的傅立葉逆變換 ()ft __ ( 3) ( 3)tt (查閱傅立葉變 換的性質) ______________________。 ( 3)已知

2、( ) ( )f t F F ,設 1 ( ) 2 ( ) * ( )g t f t f t , 20( ) 3 ( ) * ( )g t f t f t t則 11( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,G g t F 22( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _G g t F 。 解: 02212( ) 2 ( ) , ( ) 3 ( )itG i F G e F (查閱傅立葉變換的性質) (4)如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ,則 )3( tf 的傅立葉變換為 )3(31 wF , )6( tf 的 傅立葉變換為 )(

3、6 wFeiw 。 (5)如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ,則 )(5 tfeit 的傅立葉變換為 )5( wF , )(tF 的傅立葉 變換為 )(2 wf 。 (6) )(t 為單位脈沖函數(shù),則 dttt )21s in ()2( , dttt )sin()( -1 。 2、求 kjiA )1(s in4c o s3)( tttt 在 0t 處的極限 . 解: ki3 (求解過程: kitimltimltimltiml tttt 3)1(s i n4c o s3)( 0000 kjiA ) 3、已知 kjiA 232)( ttt ,求

4、 dtt)(A2 0 。 解: kji 842 (求解過程 2 0 22 0 2 0 2 0 22 0 32)32()(A kjikji dtttd tdtdtttdtt = kji 842 ) 4、設 kjir ttt sincos 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解: kji ttdtdr c o ss in , ji ttdt rd s inco s 2 2 5、設數(shù)量場 zxyzzxM 223)( 22 ,求 )(M 在點 )3,2,1(0M 處沿著矢量 ,, xyzxyz 的方向導數(shù)。 解: 762 求解過程: zxxM 26)( 將

5、)3,2,1(0M 代入 1226)( )3,2,1( zxxM zyM 2)( 將 )3,2,1(0M 代入 62)( )3,2,1( zyM xyzzM 222)( 將 )3,2,1(0M 代入 4222)( )3,2,1( xyzzM )3,2,1(0M 處沿著矢量 ,, xyzxyz 為 6,3,2, l 方向余弦 76236 6c o s 222 73236 3c o s 222 72236 2c o s 222 則方向導數(shù) 7627247367612c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 6、設 kjiA )(

6、)()( zxzxyxyxzxyzzy 223232322 ,求 A 的散度 Adiv 。 解: 0 求解過程: 02222223232322 xxz zxzxyy xyxzx xyzzyd iv )()()(A 7、已知矢量場 kjiA 222 xyzxyz ,求 A 的旋度 Arot 。 解: kji )2()2()2( zxzyzyxyx kji kji A )2()2()2( 222 zxzyzyxyx xyzxyz zyxr o t 8、證明 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A x y z y x z z x y i j

7、 k為有勢場,并求其勢函數(shù)。 證明略,勢函數(shù) 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C kjiA )2()2()2( 222 xyzxzyyzx 求解過程: 先求 A 的旋度 0)22()22()22( 222 222 kji kji A zzyyxx xyzxzyyzx zyxr o t 旋度為 0,則是 A是有勢力場。 令 yzxzyxP 2),,( 2 , xzyzyxQ 2),,( 2 , xyzzyxR 2),,( 2 取 ),,( 0000 zyxM 為坐標原點 )0,0,0(O ,帶入下公式 zzyyxx dzzyx

8、RdyzyxQdxzyxPzyxu 000 ),,(),,(),,(),,( 000 則 xyzzyx dzxyzdyydxxu zyx 2)(31 )2()0()0( 333 0 2 0 2 0 2 所以勢函數(shù) uv ,所有勢函數(shù)的全體為 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C 9、證明。設 u 和 v 是數(shù)性函數(shù), 是哈密頓算子,求證 uvvuuv )( 。 證明: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9、( ) ( ) uv uv x y z uv uv uv x y z v u v u v u u v u v u v x x y y z z v v v u u u uv x y z x y z u v v u i j k i j k i j k i j k i j k 10、求矩形脈沖 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier變換。 解: )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 4 0 4 0 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 3 3

10、3 1 3 3 cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) 3 ( 2 sin( 2 )) 6 sin 2 it it it i i i i i i i F f t f t e dt e dt e i e i e e e i e i i i ei i e F 11、求函數(shù) )cos()( wttf 的 Laplace變換。 解: 22 ws s )0(Re s 解題過程:當 Re S0 時,有 0 0 ( ) ( ) 00 22 cos 1 ()

11、2 1 2 1 1 1 2 st st i t i t s i t s i t e tdt e e e dt ee s i s i s i s i s s 12、已知 ki)(1 e , ji)(2 e ,求 : )()( 21 ee 。 解: kji 求解過程: kji kji 011 101 13、求 kjiA ttett tttt 1)(5s i n43s i ns i n3)( 在 0t 處的極限 . 解: kjiA 2 0 54)(lim ett 求解過程: 111 3 3s i n s i

12、 n 3s i n s i n 33s i ns i n3 000 t t t t iml t t t t imlttiml ttt 4s in4s in4 00 t timlt timl tt 14、已知 kjiA ttt 23)( 2 ,求 dtt)(A3 0 。 解: kji 3927 kjikjiA 392723)( 3 0 3 0 3 0 23 0 dttd tdttdtt 15、設 kjir ttt 4s in3c o s2 求 dtdr 和 2 2dtdr 解: kji 4c o s3s in2 ttdtdr , ji ttdt

13、rd s in3c o s2 2 2 16、設數(shù)量場 22 zxyzxy(M ) ,求 )(M 在點 )2,1,1(0M 處沿著矢量 2, 2,1 的方 向導數(shù)。 解: 方向導數(shù)為 34)31,32,32()2,4,5( 先求三個偏導數(shù) 21 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1lim )1(lim)1(lim)(lim eee t e e e t e e t eet t t et e tt t tt t t t t tt t xzyxM 2)( 2 將 )2,1,1(0M 代入 52)( 2 )2,1,1( xzyxM zxyyM

14、 2)( 將 )2,1,1(0M 代入 42)( )2,1,1( zxyyM 2)( xyzM 將 )2,1,1(0M 代入 2)( 2 )2,1,1( xyzM 再求矢量 1,2,2 的方向余弦 321)2(2 2c o s 222 3 21)2(2 2c o s 222 311)2(2 1c o s 222 則方向導數(shù) 343123 24325c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 17、設 kjiA 224 zxyx ,求 A 的散度 Adiv ,并求 Adiv 在 )3,1,1(M 處的值。 解: 8224

15、 zx 求解過程: zxzzyxyxxd iv 22424 2 A 將 )3,1,1(M 代入 Adiv ,得 8624 Adiv 18、已知矢量場 kjiA xyzxyz 762 ,求 A 的旋度 Arot 。 解: kji zyx 45 19 、 證 明 。 設 u 是 數(shù) 性 函 數(shù) , A 是 矢 性 函 數(shù) , 是 哈 密 頓 算 子 , 求 證 AAA uuu )( 。 解: ()( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxz y

16、x y z yxz x y z uAuA uA u x y z AAAu u u A u A u A u x x y y z z AAA u u u u u u A A A x y z x y z uu A AA 20、求函數(shù) ttf 3sin)( 的傅立葉變換。 答案: ( 3 ) 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 ) 4 i 求解過程: )3s ins in3(41s in s in4s in33s in 3 3 ttt ttt 由 )()( s i n 000 itF 和傅立葉變換的性質 )3(3)3(3)1(3)1(341)3

17、s i ns i n3(41 s i n 3 ittt FF 21、證明(卷積定理)。若給定兩個函數(shù) 1()ft, 2()ft,記 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( ),F f t F f tFF, kji kji A zyx xyzxyz zyxr o t 45 762 則有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )f t f t F FF 。 證明:由卷積與傅里葉變換定義,有 1 2 1 2 () 12 12 12 12 12 ( ) * ( ) ( )

18、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) it i t i t ii i i f t f t f f t d e dt f f t e dt e d f e f e d d f e d f e d F F F FF 令 22、已知矢量 3 10A i j , 54B i j ,求( 1)點乘 BA ,( 2)叉乘 BA 。 答案:點乘 25BA ,( 2)叉乘 kBA 62 求解過程: 3 5+10( -4) =-25 k kji 62 045 0103 23、已知 k

19、jiA 22 1 111)( ttttt ,求 dtt)( 。 答案 Cttt kji a r c t a nln1 2 求解過程 Ctttdt ttttdtt kjikji a r c t a nln11 111)(A 222 , C 為常 數(shù)。 24、設 kjir tte t co sln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解: kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 2222 25、求函數(shù) 223u x y y在點 (2,3)M 處沿曲線 2 1yx朝 x 增大一方的方向導數(shù)。 解:方向導數(shù)為

20、 60 17 求解過程: xyxu 6)( 將 )3,2(,M 代入 36)( )3,2( xM yxyu 23)( 2 將 )3,2(M 代入 6)( )3,2( yM 由 12 xy ,得 jiji )1( 2 xxyxr , jiji xyxr 2 將 )3,2(M 代入 r ji 4 r , r 方向余弦 17141 1c o s 22 17441 4c o s 22 則方向導數(shù) 1760174617136c o sc o s)( 00 MM yuxulu 26、設 kjiA )()()( zxzxyxyxzxyzzy 22323

21、2322 ,求 A 的散度 Adiv 和旋度 Arot 。 解: 0Adiv 0rot A 27、證明。設 u 是數(shù)性函數(shù), 是哈密頓算子,請根據(jù) 的定義,求證 0)( u 。 解: 證明 (略 ) 證明過程: 0)( zyx uuu zyxu kji 28、根據(jù) Fourier 變換的定義,求函數(shù) 2 1|| 0 2 1|| 2 )( || t te tf t 的 Fourier變換。 答案: )2s i n2( c o s11 4)( 21 2 wwweww F 。

22、 1 0 2 1 0 2 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 0 2 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 2 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 22 2( ) 2 1 ( 1 1 2 2 - ( - ) 1 4 1 it t i t t i t i t i t it it i i i i F F f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e ii e e i e e i e ) 1 2 2 1 (cos sin ) 22 e 29、根據(jù) Laplace 變

23、換的定義,求函數(shù) 2)( ttf 的 Laplace 變換。 答案: 32s 。 22 0 stt t e d tL 令 st z , z 為復變量,則 2 2 2 2100 1 s t zt t e d t z e d z sL 根據(jù)柯西積分定理 22 2 1 3 00 3 3 11 1 ( 3 ) 2 ztz e dz t e dt ss s s 30、已知 )(5)(1 tutf , )(2)( 22 tuetf t , )(tu 是單位階躍函數(shù),求 )(1tf 和 )(2tf 的卷 積 )(*)( 21 tftf 答案: )1(

24、5 2te 31、設 kjir tte t co s4ln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 答案 : kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 222 2 32、已知 kjiA 2313 和 kjiB 564 ,判斷 A與 B的位置關系是正交、平行還是 其它,并請證明結論。 答案:正交 33、 如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ,則 )3(tf 的傅立葉變換為 , )6( tf 的傅立葉 變換為 。 1 2 1 2

25、2( ) 0 22 0 22 0 22 2 ( ) * ( ) ( ) ) 52 10 1 10 2 5 ( 1 ) 5( 1 ) t t t t tt tt t f t f t f f t d ed e e d ee ee e ( 答案 : )3(31 wF , )(6 wFeiw 。 34、若函數(shù) ),( yxf 在點 )2,1(M 沿 i1L 的方向導數(shù)為 2,沿 ji2L 的方向導數(shù)為 21 , 求 ),( yxf 在 )2,1(M 處的梯度。 答案: 2i-j 35、設 kjiA 423 22 yzyzxxz ,求 A 在點 )1,2,1(M0 處的

26、散度 Adiv 和旋度 Arot 。 答案 : 323 8 y zz2xz Adiv )8,3,2( 4x y z3x yy2x2z 2y z yz2x- z 224 423 kji kji A x zyx r ot 36、求矩形脈沖 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier變換。 答案: )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 37、證明 kjiA 22323 32 yzxzxxyz 為保守場,并計算曲線積分。 答案 : 0)2xz-(2xz4xyz)-(4xyz)2-(2 2222 kjiA zxzxrot ,因此是保 守場。 38、根據(jù) Laplace 變換的定義,求函數(shù) 2)( ttf 的 Laplace 變換。 答案: 3/2S 求解過程:參見教程第 8 章例題 8.1.5

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