一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第三十講 一元微積分的應(yīng)用(六),腳本編寫(xiě)：劉楚中,教案制作：劉楚中,, 微積分在物理中的應(yīng)用,第七章 常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念. 了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法. 會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程. 知道下列高階方程的降階法：,了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法. 熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法. 掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方 程的解法.,第二節(jié) 一階微分方程,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,一、變量可分離方程,如果一階微分方程可以化為下列形式：,則稱原方程為變量可分離的方程。,運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：,其中C 為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。,解,原方程即,對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解,解,對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解,隱函數(shù)形式,經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為,你認(rèn)為做完了沒(méi)有？,原方程的解為,解,兩邊同時(shí)積分，得,故所求通解為,你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么？,解,原方程即,兩邊積分，得,故通解為,曲線族的包絡(luò)。,,,二、齊次方程,,變量代換,代入原方程，得,解,于是，原方程化為,兩邊積分，得,即,,,三、可化為齊次方程的方程,,,變量代換,變量代換,三、可化為齊次方程的方程,,,變量代換,變量代換,解,于是，原方程變?yōu)?聯(lián)立方程組,,解之，得,兩邊積分，得,即,,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,,,,四、一階線性微分方程,形如,的方程稱為一階線性微分方程。,方程稱為一階齊線性方程。,方程稱為一階非齊線性方程。,,習(xí)慣上，稱,為方程,所對(duì)應(yīng)的齊方程。,,一階齊線性方程的解,運(yùn)用分離變量法，得,兩邊積分，得,故,,的解存在，且唯一，其通解為,解,故該一階齊線性方程的通解為,套公式！,解,先求此一階齊線性方程的通解：,故該初值問(wèn)題的解為,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,,,,,一階非齊線性方程的解,比較兩個(gè)方程：,請(qǐng)問(wèn)，你有什么想法？,請(qǐng)問(wèn)，你有什么想法？,,行嗎 ?!,,故,即,上式兩邊積分，求出待定函數(shù),解,所以，方程的通解為,解,原方程可以改寫(xiě)為,這是一個(gè)以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中,故原方程的通解為,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,,,,,,五、伯努利方程,形如,的方程稱為伯努利方程。,代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程,于是，原方程的通解為,,,解,故,從而，原方程的通解為,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,,,,,,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數(shù)變易,,變量代換,,解,原方程即,于是，原方程化為,運(yùn)用分離變量法，解得,故原方程的通解為,