2012年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)題 號一二三四五總 分分 值602050128150一、選擇題（每小題2分，共60分）在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號1函數(shù)的定義域是ABCD解：.選C.2下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是ABCD解：A、D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)。選B.3當(dāng)時，下列無窮小量中與等價的是ABCD解：時，.選D.4設(shè)函數(shù)，則是的A連續(xù)點(diǎn)B可去間斷點(diǎn)C跳躍間斷點(diǎn)D第二類間斷點(diǎn)解：處沒有定義，顯然是間斷點(diǎn)；又時的極限不存在，故是第二類間斷點(diǎn)。選D.5函數(shù)在點(diǎn)處A極限不存在B間斷C連續(xù)但不可導(dǎo)D連續(xù)且可導(dǎo)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然是連續(xù)的；又，因此在該點(diǎn)處不可導(dǎo)。選C.6設(shè)函數(shù)，其中在處連續(xù)且，則A不存在B等于C存在且等于0D存在且等于解：易知，且，.故不存在。選A.7若函數(shù)可導(dǎo)，則ABCD解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：.選B.8曲線有水平漸近線的充分條件是ABCD解：根據(jù)水平漸近線的求法可知：當(dāng)時，即時的一條水平漸近線，選B.9設(shè)函數(shù)，則ABCD解：對兩邊同時求微分有：，所以.選D.10曲線在點(diǎn)處的切線斜率是ABCD解：易知，故.選B.11方程（其中為任意實(shí)數(shù)）在區(qū)間內(nèi)實(shí)根最多有A個B個C個D個解：令，則有，即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，故最多只有一個實(shí)根。選D.12若連續(xù)，則下列等式正確的是ABCD解：B、C的等式右邊缺少常數(shù)C，D選項(xiàng)是求微分的，等式右邊缺少dx.選A.13如果的一個原函數(shù)為，則ABCD解：的一個原函數(shù)為，那么所有的原函數(shù)就是.所以.選C.14設(shè)，且，則ABCD解：因?yàn)?，所以，又，?選B.15ABCD解：本題是變下限積分的題。利用公式可知.選B.16ABCD解：.選C.17下列廣義積分收斂的是ABCD解：A選項(xiàng)中，故發(fā)散；B選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論，當(dāng)時發(fā)散，本題中，故發(fā)散；C選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論，當(dāng)時發(fā)散，本題中，故發(fā)散；D選項(xiàng)中，故收斂。選D.18微分方程是A二階非線性微分方程B二階線性微分方程C一階非線性微分方程D一階線性微分方程解：最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)，并且不是線性的。選A.19微分方程的通解為ABCD解：這是可分離變量的方程。有，兩邊同時積分有，即.選B.20在空間直角坐標(biāo)系中，若向量與軸和軸正向的夾角分別為和，則向量與軸正向的夾角為ABCD或解：對空間的任意一個向量有，現(xiàn)有，從而解得，所以為或.選D.21直線與平面的位置關(guān)系是A直線在平面內(nèi)B平行C垂直D相交但不垂直解：直線的方向向量為，平面的法向量為，且，直線上的點(diǎn)不在平面內(nèi)，所以故該直線和平面平行。選B.22下列方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是ABCD解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)，有兩個平方項(xiàng)的系數(shù)相同，故選C.23ABCD解：.選B.24函數(shù)在點(diǎn)處可微是在該點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)和存在的A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解：可微可以退出偏導(dǎo)數(shù)存在，但是僅有偏導(dǎo)數(shù)存在退不出可微，故是充分而非必要條件。選A.25已知，則ABCD解：.選C.26冪級數(shù)的和函數(shù)為ABCD解：由，可知.選B.27下列級數(shù)發(fā)散的是ABCD解：A選項(xiàng)中一般項(xiàng)趨于，故發(fā)散；B、C選項(xiàng)是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故收斂；D選項(xiàng)根據(jù)結(jié)論中時收斂，本題中，故收斂。選A.28若級數(shù)在點(diǎn)處條件收斂，則在，中使該級數(shù)收斂的點(diǎn)有A個B個C個D個解：該級數(shù)的中心點(diǎn)是2，又在點(diǎn)處條件收斂，所以可以確定收斂區(qū)間為.故在，處收斂。選C.29若是曲線上從點(diǎn)到的一條連續(xù)曲線段，則曲線積分的值為ABCD解：，且有，因此該積分與積分路徑無關(guān)。令該積分沿直線上點(diǎn)到積分，可有.選C.30設(shè)，則交換積分次序后，可化為ABCD解：積分區(qū)域可寫為：，在圖象中表示為121xy由此可知，積分區(qū)域還可表示為.因此積分可表示為.選A.二、填空題（每小題2分，共20分）31已知，則 解：，因此.32設(shè)函數(shù)，則 解：，.33如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且為的極小值，則 解：因?yàn)闃O值點(diǎn)是或者不存在的點(diǎn)，現(xiàn)已知函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以.34曲線的拐點(diǎn)是 解：，.令，可得，此時；并且當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此拐點(diǎn)為.35不定積分 解：36微分方程滿足的特解為 解：原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為，可解得.用常數(shù)變易法，可求得非齊次線性微分方程的通解為.將代入有.所以對應(yīng)的特解為.37向量在上的投影為 解：，故向量在向量上的投影.38設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為，則 解：令.則有，所以.由于時，.代入可知.39設(shè)積分區(qū)域?yàn)椋?，則 解：，而積分區(qū)域表示的是以為圓心，2為半徑的圓，所以，即.40若（），則正項(xiàng)級數(shù)的斂散性為 解：，由比較判別法的極限形式可知，級數(shù)和有相同的斂散性，故正項(xiàng)級數(shù)是發(fā)散的。三、計算題（每小題5分，共50分）41求極限解：原式42已知參數(shù)方程（為參數(shù)），求解：因?yàn)?所以 43求不定積分解：令，則，且于是原式44求解：原式45求微分方程的通解解：原方程的特征方程為特征方程的根為 所以原方程的通解為 46求函數(shù)的極值解：由解得駐點(diǎn)又 對于駐點(diǎn)，因?yàn)樗?，于是點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)對于駐點(diǎn)有于是 所以函數(shù)在點(diǎn)處取極大值為47求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程解：因?yàn)樗笾本€平行于直線所以所求直線的方向向量為由直線的點(diǎn)向式方程可得，所求的直線方程為48求函數(shù)的全微分解：由于所以49計算，其中為圓環(huán)：解：在極坐標(biāo)系下，區(qū)域（如第49題圖所示）可以表示為所以50求冪級數(shù)的收斂域解：因?yàn)樗栽墧?shù)的收斂半徑為 也就是，當(dāng)，即時，原級數(shù)收斂當(dāng)時，原級數(shù)為是交錯級數(shù)且滿足，所以它是收斂的；當(dāng)時，原級數(shù)為，這是一個的級數(shù)，所以它是發(fā)散的；所以，原級數(shù)的收斂域?yàn)樗摹?yīng)用題（每小題6分，共12分）51求函數(shù)在時的最大值，并從數(shù)列，中選出最大的一項(xiàng)（已知）解：因?yàn)?令，解得唯一駐點(diǎn)又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，嚴(yán)格單調(diào)增加；在區(qū)間內(nèi)，嚴(yán)格單調(diào)減少；而又在區(qū)間連續(xù)，所以在處取最大值已知，由上知于是數(shù)列的第三項(xiàng)是此數(shù)列中最大的一項(xiàng)52過點(diǎn)作曲線的切線，該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積解：設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)（如第52題圖所示），第52題圖由于則切線方程為 因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以將代入上式得切點(diǎn)坐標(biāo)為從而切線方程為因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為五、證明題（8分）53證明不等式：，其中為正整數(shù)證明：設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，于是，至少存在一點(diǎn)，使得又因?yàn)?，故，從而有所?15