五年級奧數(shù) 加法原理
加法原理【例1】從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船。一天中火車有4班,汽車有3班,輪船有2班。問:一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地,共有多少種不同走法?分析與解:一天中乘坐火車有4種走法,乘坐汽車有3種走法,乘坐輪船有2種走法,所以一天中從甲地到乙地共有:432=9(種)不同走法。以上利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。加法原理:如果完成一件任務(wù)有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法 在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務(wù)共有N=m1+m2+mn種不同的方法。乘法原理和加法原理是兩個重要而常用的計(jì)數(shù)法則,在應(yīng)用時一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成,這幾步缺一不可,所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積;加法原理是把完成一件事的方法分成幾類,每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù),所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和?!纠?】有紅、黃、藍(lán)小旗各一面,從中選用1面、2面或3面升上旗桿,做出不同的信號,一共可以做出多少種不同的信號?分析:因?yàn)檫x一面符合要求,選2面或3面都符合要求,這三類之間是單獨(dú)成立的,事獨(dú)成則加;而選兩面時,第一步確定第一面,第二步確定第2面,要分步才能完成選兩面這件事,事分步則乘。這道題是加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用。解:如一次升一面,則有3種信號;如一次升兩面,則有3×2=6種信號;如一次升三面,則有3×2×1=6種信號;一共有:3+6+6=15種。【例3】兩次擲一枚骰子,兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種?分析與解:兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類,即兩數(shù)都是奇數(shù),或者兩數(shù)都是偶數(shù)。因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€奇數(shù),所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9(種)情況;同理,兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理,兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9918(種)?!九e一反三】從19、20、21、22、93、94這76個數(shù)中,選取兩個不同的數(shù),使其和為偶數(shù)的選法共有多少種?【例4】從2、3、4、5、6、10、11、12這8個數(shù)中,取出兩個數(shù)組成一個最簡真分?jǐn)?shù)有多少種取法?【舉一反三】有5家英國公司,6家日本公司,8家中國公司參加某國際會議洽談貿(mào)易,彼此都希望與異國的每個公司洽談一次,問要安排多少次會談場次?【例5】1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24,問:小于2000的四位數(shù)中,數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個?解:小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1,要它數(shù)字和為24,只需其余三位數(shù)數(shù)字和是23。因?yàn)槭?、個位數(shù)字和最多為9+9=18,因此百位數(shù)字至少是5,于是可以根據(jù)百位數(shù)字為5時,為6時,為7時,為8時,為9時這五類情況考慮。百位數(shù)字為5時,只有1599一個。百位數(shù)字為6時,只有1689、1698兩個。百位數(shù)字為7時,只有1779、1788、1797三個。百位數(shù)字為8時,只有1869、1878、1887、1896四個。百位數(shù)字為8時,只有1959、1968、1977、1986、1995五個。總計(jì)共:1+2+3+4+5=15個。【舉一反三】從1-9這九個數(shù)中,每次取2個數(shù),這兩個數(shù)的和必須大于10,能有多少種取法。【例6】從3名男生與2名女生中選出3名三好學(xué)生,其中至少有一名女生,共有多少種選法?分析:因?yàn)橹辽儆幸幻从兄挥幸幻陀袃擅畠深惽闆r,需要用到加法原理。又因?yàn)榭梢苑窒冗x女生,再選男生兩步進(jìn)行,所以需用到乘法原理。解:只有一名女生,女生的選法有2種;相應(yīng)的男生要選出2名,在3名男生中選兩名有3種選法。共有2×3=6種。兩名女生都是三好學(xué)生,女生的選法只有1種;相應(yīng)的在3名男生中選出一名三好學(xué)生有3種選法。共有:1×3=3種。 總種數(shù):6+3=9(種)【舉一反三】從8個班選12個三好學(xué)生,每班至少1名,共有多少種不同的選法。【例7】有3個工廠共訂300份南方日報(bào),每個工廠最少訂99份,最多訂101份,一共有多少種不同的訂法?解:三個工廠都訂100份,有1種情況;三個工廠分別訂99、100、101份,有6種情況,所以三個工廠共有1+6=7種不同的訂法?!九e一反三】把12支鉛筆分給3個人,每人分得偶數(shù)支,且最少得2支,共有多少種分法?【例8】一位小朋友橫著一排畫了6個蘋果,其中至少有3個蘋果連在一起畫的方法有多少種?解:6個蘋果連在一起1種,5個蘋果連在一起1+5,5+1,共2種。4個蘋果連在一起有2+4,4+2,1+1+4,1+4+1,4+1+1共5種,3個蘋果連在一起有3+3,3+2+1,3+1+2,2+1+3,2+3+11+3+2,1+2+3,3+1+1+1,1+3+1+1,1+1+3+1,1+1+1+3共11種。合計(jì):19種。我們通常解題,總是要先列出算式,然后求解??墒菍τ行╊}目來說,這樣做不僅麻煩,而且有時根本就列不出算式。下面我們介紹利用加法原理在“圖上作業(yè)”的解題方法?!纠?】在左下圖中,從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn),共有多少條不同路線? 分析與解:題目要求從左下向右上走,所以走到任一點(diǎn),例如右上圖中的D點(diǎn),不是經(jīng)過左邊的E點(diǎn),就是經(jīng)過下邊的F點(diǎn)。如果到E點(diǎn)有a種走法(此處a6),到F點(diǎn)有b種走法(此處b4),根據(jù)加法原理,到D點(diǎn)就有(ab)種走法(此處為64=10)。我們可以從左下角A點(diǎn)開始,按加法原理,依次向上、向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)(見右上圖),最后得到共有35條不同路線?!九e一反三】左下圖是某街區(qū)的道路圖。從A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn),其中經(jīng)過C點(diǎn)和D點(diǎn)的不同路線共有多少條? 【例10】小明要登上10級臺階,他每一步只能登1級或2級臺階,他登上10級臺階共有多少種不同的登法?分析與解:登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去,或者從平地跨2級上去,故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去,或者從第2級臺階上去,所以登上第3級臺階的方法數(shù)是登上第1級臺階的方法數(shù)與登上第2級臺階的方法數(shù)之和,共有1+23(種)一般地,登上第n級臺階,或者從第(n-1)級臺階跨一級上去,或者從第(n-2)級臺階跨兩級上去。根據(jù)加法原理,如果登上第(n-1)級和第(n-2)級分別有a種和b種方法,則登上第n級有(ab)種方法。因此只要知道登上第1級和第2級臺階各有幾種方法,就可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有1種方法,登上第2級有2種方法,可得出下面一串?dāng)?shù):1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。其中從第三個數(shù)起,每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。登上第10級臺階的方法數(shù)對應(yīng)這串?dāng)?shù)的第10個,即89。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級臺階的方法數(shù)(見下圖)?!九e一反三】小明要登15級臺階,每步登1級或2級臺階,共有多少種不同登法?同步測試姓名: 得分:1、由A村去B村有2條路可走,由B村去C村有4條路可走,問從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法?CAB2、數(shù)字和是4的三位數(shù)有多少個?3、16、書桌上有10本不同的音樂書,5本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的外語書。(1)從中任取1本有多少種取法?(2)從三種書中各取1本有多少種取法? 4、十把鑰匙開十把鎖,但不知道那把鑰匙開哪把鎖,問最多試多少次,就能把鎖和鑰匙配起來?5、有4本不同的書,一個人去借,共有多少種不同的借法?6、小明全家五口人到郊外春游,由其中一人輪換給其他人拍照,如果單人各照一張,每兩人合影一張,每三人合影一張,每四人合照一張。用36張的彩色膠卷拍照最后還剩幾張?7、用1、9、9、5四張數(shù)字卡片,可以組成多少個不同的四位數(shù)?8、小明要登20級臺階,每步登2級或3級臺階,共有多少種不同登法? 9、在下圖中,從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn),共有多少條不同的路線?10、甲組有6人,乙組有8人,丙組有9人。從三個組中各選一人參加會議,共有多少種不同選法? 6 / 6