加法原理【例1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：432=9（種）不同走法。以上利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有N=m1+m2+mn種不同的方法。乘法原理和加法原理是兩個重要而常用的計(jì)數(shù)法則，在應(yīng)用時一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和?！纠?】有紅、黃、藍(lán)小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，做出不同的信號，一共可以做出多少種不同的信號？分析：因?yàn)檫x一面符合要求，選2面或3面都符合要求，這三類之間是單獨(dú)成立的，事獨(dú)成則加；而選兩面時，第一步確定第一面，第二步確定第2面，要分步才能完成選兩面這件事，事分步則乘。這道題是加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用。解：如一次升一面，則有3種信號；如一次升兩面，則有3×2=6種信號；如一次升三面，則有3×2×1=6種信號；一共有：3+6+6=15種。【例3】兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？分析與解：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9918（種）?！九e一反三】從19、20、21、22、93、94這76個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法共有多少種？【例4】從2、3、4、5、6、10、11、12這8個數(shù)中，取出兩個數(shù)組成一個最簡真分?jǐn)?shù)有多少種取法？【舉一反三】有5家英國公司，6家日本公司，8家中國公司參加某國際會議洽談貿(mào)易，彼此都希望與異國的每個公司洽談一次，問要安排多少次會談場次？【例5】1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24，問：小于2000的四位數(shù)中，數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個？解：小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)數(shù)字和是23。因?yàn)槭?、個位數(shù)字和最多為9+9=18，因此百位數(shù)字至少是5，于是可以根據(jù)百位數(shù)字為5時，為6時，為7時，為8時，為9時這五類情況考慮。百位數(shù)字為5時，只有1599一個。百位數(shù)字為6時，只有1689、1698兩個。百位數(shù)字為7時，只有1779、1788、1797三個。百位數(shù)字為8時，只有1869、1878、1887、1896四個。百位數(shù)字為8時，只有1959、1968、1977、1986、1995五個。總計(jì)共：1+2+3+4+5=15個。【舉一反三】從1-9這九個數(shù)中，每次取2個數(shù)，這兩個數(shù)的和必須大于10，能有多少種取法。【例6】從3名男生與2名女生中選出3名三好學(xué)生，其中至少有一名女生，共有多少種選法？分析：因?yàn)橹辽儆幸幻从兄挥幸幻陀袃擅畠深惽闆r，需要用到加法原理。又因?yàn)榭梢苑窒冗x女生，再選男生兩步進(jìn)行，所以需用到乘法原理。解：只有一名女生，女生的選法有2種；相應(yīng)的男生要選出2名，在3名男生中選兩名有3種選法。共有2×3=6種。兩名女生都是三好學(xué)生，女生的選法只有1種；相應(yīng)的在3名男生中選出一名三好學(xué)生有3種選法。共有：1×3=3種。 總種數(shù)：6+3=9（種）【舉一反三】從8個班選12個三好學(xué)生，每班至少1名，共有多少種不同的選法。【例7】有3個工廠共訂300份南方日報(bào)，每個工廠最少訂99份，最多訂101份，一共有多少種不同的訂法？解：三個工廠都訂100份，有1種情況；三個工廠分別訂99、100、101份，有6種情況，所以三個工廠共有1+6=7種不同的訂法?！九e一反三】把12支鉛筆分給3個人，每人分得偶數(shù)支，且最少得2支，共有多少種分法？【例8】一位小朋友橫著一排畫了6個蘋果，其中至少有3個蘋果連在一起畫的方法有多少種？解：6個蘋果連在一起1種，5個蘋果連在一起1+5,5+1，共2種。4個蘋果連在一起有2+4,4+2,1+1+4,1+4+1,4+1+1共5種，3個蘋果連在一起有3+3,3+2+1,3+1+2,2+1+3,2+3+11+3+2,1+2+3,3+1+1+1,1+3+1+1，1+1+3+1，1+1+1+3共11種。合計(jì)：19種。我們通常解題，總是要先列出算式，然后求解?？墒菍τ行╊}目來說，這樣做不僅麻煩，而且有時根本就列不出算式。下面我們介紹利用加法原理在“圖上作業(yè)”的解題方法?！纠?】在左下圖中，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同路線？                   分析與解：題目要求從左下向右上走，所以走到任一點(diǎn)，例如右上圖中的D點(diǎn)，不是經(jīng)過左邊的E點(diǎn)，就是經(jīng)過下邊的F點(diǎn)。如果到E點(diǎn)有a種走法（此處a6），到F點(diǎn)有b種走法（此處b4），根據(jù)加法原理，到D點(diǎn)就有（ab）種走法（此處為64=10）。我們可以從左下角A點(diǎn)開始，按加法原理，依次向上、向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)（見右上圖），最后得到共有35條不同路線?！九e一反三】左下圖是某街區(qū)的道路圖。從A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn)，其中經(jīng)過C點(diǎn)和D點(diǎn)的不同路線共有多少條？                        【例10】小明要登上10級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上10級臺階共有多少種不同的登法？分析與解：登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去，或者從平地跨2級上去，故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去，或者從第2級臺階上去，所以登上第3級臺階的方法數(shù)是登上第1級臺階的方法數(shù)與登上第2級臺階的方法數(shù)之和，共有1+23（種）一般地，登上第n級臺階，或者從第（n-1）級臺階跨一級上去，或者從第（n-2）級臺階跨兩級上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n-1）級和第（n-2）級分別有a種和b種方法，則登上第n級有（ab）種方法。因此只要知道登上第1級和第2級臺階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有1種方法，登上第2級有2種方法，可得出下面一串?dāng)?shù)：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。其中從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。登上第10級臺階的方法數(shù)對應(yīng)這串?dāng)?shù)的第10個，即89。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級臺階的方法數(shù)（見下圖）?！九e一反三】小明要登15級臺階，每步登1級或2級臺階，共有多少種不同登法？同步測試姓名： 得分：1、由A村去B村有2條路可走，由B村去C村有4條路可走，問從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？CAB2、數(shù)字和是4的三位數(shù)有多少個？3、16、書桌上有10本不同的音樂書，5本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的外語書。（1）從中任取1本有多少種取法？（2）從三種書中各取1本有多少種取法？ 4、十把鑰匙開十把鎖，但不知道那把鑰匙開哪把鎖，問最多試多少次，就能把鎖和鑰匙配起來？5、有4本不同的書，一個人去借，共有多少種不同的借法？6、小明全家五口人到郊外春游，由其中一人輪換給其他人拍照，如果單人各照一張，每兩人合影一張，每三人合影一張，每四人合照一張。用36張的彩色膠卷拍照最后還剩幾張？7、用1、9、9、5四張數(shù)字卡片，可以組成多少個不同的四位數(shù)？8、小明要登20級臺階，每步登2級或3級臺階，共有多少種不同登法？ 9、在下圖中，從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同的路線？10、甲組有6人，乙組有8人，丙組有9人。從三個組中各選一人參加會議，共有多少種不同選法？ 6 / 6