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1、第2章 機器人學(xué)的基礎(chǔ)理論 （一）,2.1剛體的位姿描述 2.2齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.3機器人的位姿分析 2.4機器人正向運動學(xué)和逆向運動學(xué),2.1剛體的位姿描述2.1.1剛體的旋轉(zhuǎn)運動,2.1剛體的位姿描述2.1.2旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì),B相對于A的旋轉(zhuǎn)矩陣Rab： 滿足6個約束方程： 因此3個獨立變量決定一個旋轉(zhuǎn)運動。,2.1剛體的位姿描述2.1.3旋轉(zhuǎn)矩陣（算子）相乘法則,相對于固定坐標(biāo)系進(jìn)行運動變換時，旋轉(zhuǎn)變換的順序從右到左； 相對于運動坐標(biāo)系進(jìn)行運動變換時，旋轉(zhuǎn)變換的順序從左到右。 矩陣相乘運算不滿足交換率。,2.1剛體的位姿描述2.1.4歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣,ZYZ歐拉角： 在初始時刻

2、，坐標(biāo)系A(chǔ)和B重合； 坐標(biāo)系B首先繞A的Z軸旋轉(zhuǎn)角，形成新的坐標(biāo)系A(chǔ)； 坐標(biāo)系B首先繞A的Y軸旋轉(zhuǎn)角，形成新的坐標(biāo)系A(chǔ) ； 坐標(biāo)系B首先繞A 的Z軸旋轉(zhuǎn)角，達(dá)到B的最終狀態(tài)。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換2.2.1齊次坐標(biāo),一、空間任意點的坐標(biāo)表示 在選定的直角坐標(biāo)系A(chǔ)中，空間任一點P的位置可以用31的位置矢量AP表示，其左上標(biāo)表示選定的坐標(biāo)系A(chǔ)，此時有 ,式中：PX、PY、PZ是點P在坐標(biāo)系A(chǔ)中的三個位置坐標(biāo)分量，如圖1.1所示。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換2.2.1齊次坐標(biāo),一、空間任意點的坐標(biāo)表示,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換2.2.1齊次坐標(biāo),二、齊次坐標(biāo)表示 將一個n維空

3、間的點用n+1維坐標(biāo)表示，則該n+1維坐標(biāo)即為n維坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)。 取 w為比例因子： 當(dāng)取w=1時，其表示方法稱為齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式，即,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換2.2.1齊次坐標(biāo),三、坐標(biāo)軸的方向表示,w=0：向量 w0：標(biāo)量,原點o 如何表示？,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換2.2.1齊次坐標(biāo),三、坐標(biāo)軸的方向表示 例1.1 用齊次坐標(biāo)表示圖1.3中所示的矢量u、v、w的坐標(biāo)方向。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,在機器人坐標(biāo)系中 運動時相對于連桿不動的坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系，簡稱靜系； 跟隨連桿運動的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系，簡稱為動系； 動系位置與姿態(tài)的描述稱為動系的位

4、姿表示，是對動系原點位置及各坐標(biāo)軸方向的描述。 何為位置？何為姿態(tài)？,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,一、連桿的位姿表示 OXYZ為與連桿固接的一個動坐標(biāo)系 位置： 姿態(tài)：,N---X O----Y A----Z,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,一、連桿的位姿表示 連桿的位姿可用下述齊次矩陣表示 ：,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,圖1.5表示固連于連桿的坐標(biāo)系B位于OB點，XB=2，YB=1， ZB=0。在XOY平面內(nèi)，坐標(biāo)系B相對固定坐標(biāo)系A(chǔ)有一個30的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示連桿位姿的坐標(biāo)系B的44矩陣表達(dá)式。,2.2

5、齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,,,n o a p,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,二、手部的位姿表示 機器人手部的位置和姿態(tài)可以用固連于手部的坐標(biāo)系B的位姿來表示: 取手部的中心點為原點OB； 關(guān)節(jié)軸為ZB軸，ZB軸的單位方向矢量a稱為接近矢量，指向朝外； 兩手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量o稱為姿態(tài)矢量，指向可任意選定；,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,二、手部的位姿表示 關(guān)節(jié)軸為ZB軸，ZB軸的單位方向矢量a稱為接近矢量，指向朝外； 兩手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量o稱為姿態(tài)矢量，指向可任意選定； X

6、B軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法向矢量，且n=oa，指向符合右手法則。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,二、手部的位姿表示,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,三、目標(biāo)物齊次矩陣表示 (例),,,,,圖1.8 楔塊Q的齊次矩陣表示,1 讓楔塊繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，用Rot(Z，90)表示 2 再沿X軸方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.2 動系的位姿表示,,若讓楔塊繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，用Rot(Z，90)表示，再沿X軸方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，則楔塊成為圖1.8(b)所示的情

7、況。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,旋轉(zhuǎn)的齊次變換 如圖所示，空間某一點A，坐標(biāo)為(XA，YA，ZA)，當(dāng)它繞Z軸旋轉(zhuǎn)角后至A ，坐標(biāo)為(XA，YA，ZA)。A點和A點的坐標(biāo)關(guān)系為,,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,旋轉(zhuǎn)的齊次變換 Rot(Z，)表示齊次坐標(biāo)變換時繞Z軸的轉(zhuǎn)動齊次變換矩陣，又稱旋轉(zhuǎn)算子，旋轉(zhuǎn)算子左乘表示相對于固定坐標(biāo)系進(jìn)行變換，旋轉(zhuǎn)算子的內(nèi)容為:,,繞X軸、Y軸如何？見P36,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,旋轉(zhuǎn)的齊次變換 算子左、右乘規(guī)則 若相對固定坐標(biāo)系進(jìn)行變換，則算子左乘；若相對動坐標(biāo)系進(jìn)行變換，則算子右

8、乘。 例1.4 已知坐標(biāo)系中點U的位置矢量U=7 3 2 1，將此點繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90，如圖1.11所示，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點W。,,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,1.2.1 旋轉(zhuǎn)的齊次變換 例1.4 已知坐標(biāo)系中點U的位置矢量U=7 3 2 1，將此點繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90，如圖1.11所示，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點W。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,平移的齊次變換,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,復(fù)合變換 平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一個齊次變換中，稱為復(fù)合變換 例1.7 如圖1.8所示的楔塊Q，試求

9、楔塊經(jīng)過繞固定坐標(biāo)系OXYZ的Z軸旋轉(zhuǎn)90，再沿X軸方向平移4后的齊次矩陣表達(dá)式及其復(fù)合變換矩陣H。,2.2 齊次坐標(biāo)與齊次變換 2.2.3 齊 次變 換,復(fù)合變換 例1.7,,=,2.3 機器人的位姿分析 2.3.1 桿件坐標(biāo)系的建立,一、坐標(biāo)系號的分配方法:由低到高,各連桿的坐標(biāo)系Z軸方向與關(guān)節(jié)軸線重合(對于移動關(guān)節(jié)，Z軸線沿此關(guān)節(jié)移動方向),2.3 機器人的位姿分析 2.3.1 桿件坐標(biāo)系的建立,二、各坐標(biāo)系的方位的確定 D-H方法: 由Denauit和Hartenbery于1956年提出，它嚴(yán)格定義了每個坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，并對連桿和關(guān)節(jié)定義了4個參數(shù)。 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的D-H坐標(biāo)系,2.3 機

10、器人的位姿分析 2.3.1 桿件坐標(biāo)系的建立,二、各坐標(biāo)系的方位的確定 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的D-H坐標(biāo)系,Zi坐標(biāo)軸; Xi坐標(biāo)軸; Yi坐標(biāo)軸; 連桿長度ai; 連桿扭角i; 兩連桿距離di; 兩桿夾角i,2.3 機器人的位姿分析 2.3.1 桿件坐標(biāo)系的建立(解釋圖),2.3 機器人的位姿分析 2.3.1 桿件坐標(biāo)系的建立,Zi坐標(biāo)軸:沿著i+1關(guān)節(jié)的運動軸; Xi坐標(biāo)軸:沿著Zi和Zi-1的公法線,指向離開Zi-1軸的方向; Yi坐標(biāo)軸:按右手直角坐標(biāo)系法則制定; 連桿長度ai; Zi和Zi-1兩軸心線的公法線長度; 連桿扭角i: Zi和Zi-1兩軸心線的夾角; 兩連桿距離di:相鄰兩桿三軸心線的

11、兩條公法線間的距離; 兩桿夾角i :Xi和Xi-1兩坐標(biāo)軸的夾角;,2.3 機器人的位姿分析 2.3.2 桿件坐標(biāo)系間的變換矩陣,建立D-H坐標(biāo)系后,可通過兩個旋轉(zhuǎn)、兩個平移建立相鄰連桿i-1和i間的相對關(guān)系。 繞Zi-1軸轉(zhuǎn)i角，使Xi-1轉(zhuǎn)到與Xi同一平面內(nèi)； 沿Zi-1軸平移di，把Xi-1移到與Xi同一直線上； 沿i軸平移ai-1,把連桿i-1的坐標(biāo)系移到使其原點與連桿i的坐標(biāo)系原點重合的位置； 繞Xi-1軸轉(zhuǎn)i角，使Zi-1轉(zhuǎn)到與Zi同一直線上； 這四個齊次變換形成的矩陣叫Ai矩陣： Ai,2.3 機器人的位姿分析 2.3.2 桿件坐標(biāo)系間的變換矩陣,對旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),Ai=Rot(Z,

12、i)Trans(ai, 0, di)Rot(X, i),2.3 機器人的位姿分析 2.3.2 桿件坐標(biāo)系間的變換矩陣,對棱柱關(guān)節(jié) 其變換過程，課后作為練習(xí)題。,Ai=,,2.4 機器人運動學(xué)機器人手部到基坐標(biāo)系的變換,Ai能描述連桿坐標(biāo)系之間相對平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。A1描述第一個連桿對于機身的位姿，A2描述第二個連桿坐標(biāo)系相對于第一個連桿坐標(biāo)系的位姿。如果已知一點在最末一個坐標(biāo)系(如n坐標(biāo)系)的坐標(biāo)，要把它表示成前一個坐標(biāo)系(如n1)的坐標(biāo)，那么齊次坐標(biāo)變換矩陣為An，依此類推，可知此點到基礎(chǔ)坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換矩陣為： AA1A2A3An1An,2.4 機器人運動學(xué)2.4.1 斯坦福機

13、器人運動方程,斯坦福機器人由球面坐標(biāo)臂和手腕組成。 由于各關(guān)節(jié)軸線彼此正交，可以將各桿件坐標(biāo)系的 X 軸都安排在同一方向。 暫不計終端操作裝置的位移。,STANFORD機器人操作機,機構(gòu)運動簡圖,坐標(biāo)系設(shè)置,2.4 機器人運動學(xué)2.4.1 斯坦福機器人運動方程,表1.1 斯坦福機器人的D-H參數(shù),,,,,,2.4 機器人運動學(xué)2.4.1 斯坦福機器人運動方程,,,,,,,,,,,,,,2.4 機器人運動學(xué)2.4.1 斯坦福機器人運動方程,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.2機器人逆向運動學(xué)逆問題的引出,對于具有n個自由度的操作臂，其運動學(xué)方程可以寫成: 上式左邊表示末端連桿相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿。

14、給定末端連桿的位姿計算相應(yīng)關(guān)節(jié)變量的過程叫做運動學(xué)逆解。,,,,=A1A2A3A4A5A6,一、多解性,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.2機器人逆向運動學(xué)逆問題的引出,,圖1.20 機器人運動學(xué)逆解多解性示意圖,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.2逆向運動學(xué)的解,運動學(xué)逆解具有多解的原因：解反三角函數(shù)方程。對于一個真實的機器人，只有一組解與實際情況對應(yīng)，為此必須做出判斷，以選擇合適的解。通常采用剔除多余解的方法： (1) 根據(jù)關(guān)節(jié)運動空間來選擇合適的解。 (2) 選擇一個最接近的解。 (3) 根據(jù)避障要求選擇合適的解。 (4) 逐級剔除多余解。,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.2逆向運動學(xué)的解,二、可

15、解性 能否求得機器人運動學(xué)逆解的解析式是機器人的可解性問題。 所有具有轉(zhuǎn)動和移動關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)，在一個單一串聯(lián)鏈中共有6個自由度(或小于6個自由度)時是可解的。其通解是數(shù)值解，不是解析表達(dá)式，是利用數(shù)值迭代原理求解得到的，其計算量比求解析解大得多。,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.2逆向運動學(xué)的解,二、可解性 能否求得機器人運動學(xué)逆解的解析式是機器人的可解性問題。 所有具有轉(zhuǎn)動和移動關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)，在一個單一串聯(lián)鏈中共有6個自由度(或小于6個自由度)時是可解的。其通解是數(shù)值解，不是解析表達(dá)式，是利用數(shù)值迭代原理求解得到的，其計算量比求解析解大得多。,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.3逆向運動學(xué)

16、求解實例,斯坦福機器人逆運動學(xué)求解 1) 求1 ： A T6=A2A3A4A5A6=1T6(1.27),,,T6=A1A2A3A4A5A6,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.3逆向運動學(xué)求解實例,斯坦福機器人逆運動學(xué)求解,,,,,,,,,式中：,f11(i)=c1iX+s1iY； f12(i)=iZ； f13(i)=s1iX+c1iY； i=n, o, a。 1T6=A2A3A4A5A6,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.3逆向運動學(xué)求解實例,斯坦福機器人逆運動學(xué)求解,,,,,,,,,,,,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.3逆向運動學(xué)求解實例,斯坦福機器人逆運動學(xué)求解,,,,,,,,,,,,,,,,式

17、中：正、負(fù)號對應(yīng)的兩個解對應(yīng)于1的兩個可能解。,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,解析解的存在性與機器人的結(jié)構(gòu)有關(guān)； 1968年pieper提出使逆運動學(xué)有解的一個充分條件：若一個6自由度機器人的后三個關(guān)節(jié)的軸線始終將于一點，則此機器人的逆運動學(xué)問題必有解析解； 基于以上充分條件，現(xiàn)在幾乎所有6自由度機器人均設(shè)計成使得后3個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)； 即：前3 個關(guān)節(jié)確定腕的位置，后三個關(guān)節(jié)確定手端的指向。,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,二、SCARA結(jié)構(gòu)： 由兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和1 個移動關(guān)節(jié)組成(RRT結(jié)構(gòu)),2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,三、球坐標(biāo)結(jié)構(gòu)(另一種RRT結(jié)構(gòu)),2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,四、柱坐標(biāo)結(jié)構(gòu)(RTT結(jié)構(gòu)),2.4 機器人運動學(xué) 2.4.4機器人前3桿的結(jié)構(gòu)形式,五、直角坐標(biāo)結(jié)構(gòu)(TTT結(jié)構(gòu)),