第3課時圓的切線的性質(zhì)及判定定理【課標(biāo)要求】1理解切線的性質(zhì)定理、判定定理及兩個推論，能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾何問題2能歸納并正確表述由圓的切線性質(zhì)定理和兩個推論整合而成的定理【核心掃描】1圓的切線的判定定理、性質(zhì)定理的理解(重點)2用切線的判定定理、性質(zhì)定理解決問題(難點)自學(xué)導(dǎo)引1圓的切線的性質(zhì)定理及推論(1)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的(2)推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 (3)推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 半徑切點圓心推敲引申：(1)本定理及其兩個推論可以用一個定理敘述出來，即：如果圓的一條直線滿足以下三個條件中的任意兩條，那么就一定滿足第三條它們是：垂直于切線；過切點；過圓心(2)本定理題設(shè)為：一條直線既過圓心又過切點，結(jié)論為：這條直線與圓的切線垂直如圖所示，若直線l切O于A，直線l經(jīng)過點O、A，則直線ll.2圓的切線的判定定理(1)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于的直線是圓的切線(2)圓的切線的判斷方法這條半徑判斷方法語言描述定義法和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線數(shù)量關(guān)系法圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線切線的判定定理過半徑的外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線推敲引申：(1)圓的切線的判定定理還可表述為：如果一條直線經(jīng)過圓的一條半徑的外端點，并且垂直于這條半徑，那么這條直線就是這個圓的切線(2)判斷一條直線是否是切線的三種方法中：是由推出的；是用數(shù)量關(guān)系來判斷；是用位置關(guān)系來判斷名師點睛1直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果 O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么(1)直線l和 O相交dr(如圖(3)所示)說明：(1)命題左邊反映的是兩個圖形(直線和圓)的位置關(guān)系，右邊反映的是兩個數(shù)量的大小關(guān)系(2)對于兩個圖形(直線l和 O)的位置關(guān)系，或兩個數(shù)(d和r)的大小關(guān)系，有且僅有一種情況是成立的(3)從左端推出右端是直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線和圓的位置關(guān)系的判定2圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合運用在解決有關(guān)圓的切線問題(無論是計算還是證明)時，通常需要添加輔助線一般地，添加輔助線有以下規(guī)律：(1)已知一條直線是圓的切線時，通常連接圓心和切點，這條半徑垂直于切線(2)要證明某條直線是圓的切線時，若已知直線經(jīng)過圓上的某一點，則需作出經(jīng)過這一點的半徑，證明直線垂直于這條半徑，簡記為“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，得到垂線段，再證明這條垂線段的長等于半徑，簡記為“作垂直，證半徑”題型一圓的切線的判斷【例1】如圖所示，在ABC中，已知ABAC，以AB為直徑的 O交BC于點D，DEAC于點E.求證：DE是 O的切線思維啟迪 利用圓的切線的判定定理進(jìn)行切線的證明，關(guān)鍵是找出定理的兩個條件：過半徑的外端；該直線與某一條半徑所在的直線垂直證明連接OD和AD，如圖所示AB是 O的直徑，ADBC.ABAC，BDCD.AOOB，ODAC.DEAC，DEOD，DE是 O的切線反思感悟判斷一條直線是圓的切線時，常用輔助線的作法如果已知這條直線與圓有公共點，則連接圓心與這個公共點，設(shè)法證明連接所得到的半徑與這條直線垂直，簡記為“連半徑，證垂直”；若題目未說明這條直線與圓有公共點，則過圓心作這條直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長等于半徑，簡記“作垂直，證半徑”【變式1】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，C90，且ADBCAB，AB為 O的直徑求證：O與CD相切題型二圓的切線性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，OA和OB是 O的半徑，并且OAOB，P是OA上任意一點，BP的延長線交 O于Q，過Q作 O的切線交OA的延長線于R，求證：RPRQ.思維啟迪 已知QR是O的切線，可利用切線的性質(zhì)定理，即OQRQ.另外，要證RPRQ，只要證RPQRQP即可，只要證BPOPQR即可，再結(jié)合OQRQ.證明連接OQ.因為QR是 O的切線，所以O(shè)QQR.因為OBOQ，所以BOQB.因為BOOA，所以BPO90BRPQ，PQR90OQP.所以RPQPQR.所以RPRQ.反思感悟題目中若有圓的切線，首先可以連接圓心和切點，出現(xiàn)垂直關(guān)系【變式2】如圖所示，在 O中，AB是 O的直徑，AD是弦，過點B的切線與AD的延長線交于點C，且ADDC，求ABD的度數(shù)解BC是 O的切線，ABBC.ABC是直角三角形CDAD，BDAD.AB是 O的直徑，ADBD.ABD是等腰直角三角形ABD45.反思感悟(1)用切線的性質(zhì)定理求解線段的長度時，應(yīng)注意的問題觀察圖形，作輔助線；利用相關(guān)知識，如圓周角定理、圓的切線性質(zhì)定理、判定定理等(2)在應(yīng)用切線的性質(zhì)定理及其推論進(jìn)行幾何證明和求解時，如果已知切點，則連接圓心和切點構(gòu)成垂直是一種常用的方法方法技巧圓內(nèi)接四邊形與圓的切線綜合的求解策略【示例1】如圖所示，已知AP是 O的切線，P為切點，AC是 O的割線，與 O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點(1)證明：A、P、O、M四點共圓；(2)求OAMAPM的大小(1)證明連接OP，OM，因為AP與 O相切于點P，所以O(shè)PAP.因為M是 O的弦BC的中點，所以O(shè)MBC.于是OPAOMA180，由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓(2)解由(1)得，A，P，O，M四點共圓，所以O(shè)AMOPM.由(1)得OPAP.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知OPMAPM90，所以O(shè)AMAPM90.單擊此處進(jìn)入單擊此處進(jìn)入 知能達(dá)標(biāo)演練知能達(dá)標(biāo)演練單擊此處進(jìn)入單擊此處進(jìn)入 課后習(xí)題解答課后習(xí)題解答