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1、勻速圓周運動 呂叔湘中學(xué) 龐留根,,,一.描述圓周運動的物理量v、、T、 f、 n、 a向 v= r T=2/ T=1/f = 2n a向= v2 / r = r2 = r 42/T2,二勻速圓周運動：物體在圓周上運動；任意相等的時 間內(nèi)通過的圓弧長度相等。,三.勻速圓周運動的向心力：F = m a向= mv2 / r,四. 做勻速圓周運動的物體，受到的合外力的方向一 定沿半徑指向圓心(向心力)，大小一定等于mv2 / r .,五. 做變速圓周運動的物體，受到的合外力沿半徑指 向圓心方向的分力提供向心力，大小等于mv2 / r ； 沿切線方向的分力產(chǎn)生切向加速度,改變物體的速度

2、 的大小。,例1、如圖所示，兩個輪通過皮帶傳動，設(shè)皮帶與輪之間不打滑，A為半徑為R的O1輪緣上一點，B、C為半徑為2R的O2輪緣和輪上的點，O2C=2R/3，當皮帶輪轉(zhuǎn)動時，A、B、C三點的角度之比 A：B：C = ; A、B、C三點的線速度之比v A ：vB：vC = ; 及三點的向心加速度之比aA：aB：aC= .,注意：皮帶傳動的兩個輪子邊緣上各點的線速度相等；同一個輪子上各點的角速度相等。,2：1：1,3：3：1,6：3：2,例2下列關(guān)于向心加速度的說法中，正確的是（ ） A向心加速度的方向始終與速度的方向垂直 B向心加速度的方向可能與速度方向不垂直

3、 C向心加速度的方向保持不變 D向心加速度的方向與速度的方向平行,A,例3用細線拴著一個小球，在光滑水平面上作勻速圓周運動，有下列說法,其中正確的是 （ ） A小球線速度大小一定時，線越長越容易斷 B小球線速度大小一定時，線越短越容易斷 C小球角速度一定時，線越長越容易斷 D小球角速度一定時，線越短越容易斷,B C,例4、人造衛(wèi)星的天線偶然折斷，那么 ( ) (A)天線將作自由落體運動，落向地球； (B)天線將作平拋運動，落向地球； (C)天線將沿軌道切線方向飛出，遠離地球； (D)天線將繼續(xù)和衛(wèi)星一起沿軌道運轉(zhuǎn)。,D,例5、如圖所示，直徑為d的紙制圓筒，正以角速度繞軸O勻速轉(zhuǎn)

4、動，現(xiàn)使槍口對準圓筒，使子彈沿直徑穿過，若子彈在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時在筒上留下a，b兩彈孔，已知aO與Ob夾角為，則子彈的速度為 .,解： t=d/v= (-）/ ,v=d/ (-）,d/ (-）,例6、如圖所示, 在半徑為R的水平圓盤的正上方高h處水平拋出一個小球, 圓盤做勻速轉(zhuǎn)動,當圓盤半徑OB轉(zhuǎn)到與小球水平初速度v0方向平行時,小球開始拋出, 要使小球只與圓盤碰撞一次, 且落點為B, 求小球的初速度v0和圓盤轉(zhuǎn)動的角速度.,解：由平拋運動規(guī)律 R=v0t h=1/2gt2,,,t =2n/ ,,（n= 1、2、3、4、）,例7. 圓桶底面半徑為R，在頂部有個入口A，在A的

5、正下方h處有個出口B，在A處沿切線方向有一個斜槽，一個小球恰能沿水平方向進入入口A后，沿光滑桶壁運動，要使小球由出口B飛出桶外，則小球進入A時速度v必須滿足什么條件？,解：,小球的運動由兩種運動合成：a. 水平面內(nèi)的勻速圓周運動；b. 豎直方向的自由落體運動,自由落體運動 h=1/2 gt2,,圓周運動的周期設(shè)為T，T=2R/v,當t=nT時，小球可由出口B飛出桶外,,（n= 1、2、3、4、）,例8、如圖所示，光滑的水平圓盤中心有一小孔，用細繩穿過小孔，兩端分別系有A、B物體，定滑輪的摩擦不計，物體A隨光滑圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動，懸掛B的細線恰與圓盤的轉(zhuǎn)動軸OO重合，下列說法中正確的是（

6、） （A）使物體A的轉(zhuǎn)動半徑變大一些，在轉(zhuǎn)動過程中半徑會自動恢復(fù)原長 （B）使物體A的轉(zhuǎn)動半徑變大一些，在轉(zhuǎn)動過程中半徑會越來越大 （C）使物體A的轉(zhuǎn)動半徑變小一些，在轉(zhuǎn)動過程中半徑會隨時穩(wěn)定 （D）以上說法都不正確,B,例9如圖所示，一根輕彈簧和一根細繩拴住一重2N的小球，平衡時細繩恰好水平，若突然燒斷細繩，小球運動到懸點正下方時彈簧長度恰好等于燒斷細繩時的長度，則線燒斷瞬間彈簧的拉力大小為 N.,解：線燒斷前，小球受力如圖示：,由平衡條件得 mg= Tcos (1),線燒斷后運動到最低點時，小球受力如圖示：,由圓周運動規(guī)律得 T-mg= mv2 / l (2),由機械能守恒定律得

7、 mgl(1-cos)= 1/2mv2 (3),聯(lián)列解(1) (2) (3)式得 cos= 1/2,代入(1)式 得 T=4N,4,一小球用輕繩懸掛在某固定點，現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球考慮小球由靜止開始運動到最低位置的過程 ( ) A小球在水平方向的速度逐漸增大 B小球在豎直方向的速度逐漸增大 C到達最低位置時小球線速度最大 D到達最低位置時繩子的拉力等于小球重力,2000年上海,分析小球釋放后水平方向受力為繩拉力的水平分力，該力與水平分速度同方向，因此在水平方向上速度逐漸增大， A正確.,在初始位置豎直速度為0，最低位置豎直速度也為0，在豎直方向上小球顯然先

8、加速運動，后減速運動，B 錯誤,線速度即小球運動的合速度，小球位置越低，勢能轉(zhuǎn)化為動能就越多，速度也就越大，C正確.,小球在最低位置時速度為水平速度，由于小球做圓周運動 ，繩拉力與球重力的合力提供向心力，即 D錯誤,,A C,重力、繩的拉力,,,重力、桿的拉力或支持力,,,重力、外管壁的支持力或內(nèi)管壁的支持力,,,豎直平面內(nèi)的變速圓周運動,例10長度為0.5m的輕質(zhì)細桿，A端有一質(zhì)量為3kg的小球，以O(shè)點為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖所示，小球通過最高點時的速度為2m/s，取g=10m/s2，則此時輕桿OA將（ ） A受到6.0N的拉力 B受到6.0N的壓力 C受到24N的拉力D受到5

9、4N的拉力,解：設(shè)球受到桿向上的支持力N， 受力如圖示：,則 mg-N=mv2 /l,得 N=6.0N,由牛頓第三定律，此時輕桿OA將受到球?qū)U向下的壓力，大小為6.0N.,B,練習(xí)1桿長為L，球的質(zhì)量為m，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為F=1/2mg，求這時小球的即時速度大小。,解：小球所需向心力向下，本題中 F=1/2mgmg， 所以彈力的方向可能向上，也可能向下。,若F 向上，則,,,若F 向下，則,,,練習(xí)2用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環(huán)（管徑遠小于R）豎直放置，一小球（可看作質(zhì)點，直徑略小于管徑）質(zhì)量為m=0.2kg在環(huán)內(nèi)做圓周運動，求

10、:小球通過最高點A時，下列兩種情況下球?qū)鼙诘淖饔昧? 取g=10m/s2 (1) A的速率為1.0m/s (2) A的速率為4.0m/s,解：,先求出桿的彈力為0 的速率v0,mg=mv02/l,v02=gl=5,v0=2.25 m/s,(1) v1=1m/s< v0 球應(yīng)受到內(nèi)壁向上的支持力N1，受力如圖示：,mg-N1=mv12 /l,得 N1=1.6 N,(2) v2=4m/s v0 球應(yīng)受到外壁向下的支持力N2如圖示：,則 mg+N2=mv22 /l,得 N2=4.4 N,由牛頓第三定律，球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e 為 (1) 對內(nèi)壁1.6N向下的壓力 (2)對外壁4.4N向上的

11、壓力.,例11.如圖所示，在質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑的圓形軌道，有一質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)沿圓軌道做圓周運動，A與C兩點分別道的最高點和最低點，B、D兩點與圓心O在同一水平面上。在小球運動過程中，物體M靜止于地面，則關(guān)于物體M對地面的壓力N和地面對物體M的摩擦力方向，下列正確的說法是 ( ) A.小球運動到B點時，NMg，摩擦力方向向左 B.小球運動到B點時，N=Mg，摩擦力方向向右 C.小球運動到C點時，N=(M+m)g，地面對M無摩擦 D.小球運動到D點時，N=(M+m)g，摩擦力方向向右,點撥：畫出各點的受力圖如圖示：,B,例12、如圖，細繩一端系著質(zhì)量M=0.6千克的物體，靜止在

12、水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3千克的物體，M的中點與圓孔距離為0.2米，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2牛，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度在什么范圍m會處于靜止狀態(tài)？(g取10米/秒2),解：設(shè)物體M和水平面保持相對靜止。,當具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2牛。,隔離M有：Tfm=M12r,0.3102=0.6120.2,1 =2.9(弧度/秒),當具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，大小也為2牛。,隔離M有：Tfm=M22r,0.3102=0.6220.2,2=6.5(弧度/秒),故

13、范圍是：2.9弧度/秒 6.5弧度/秒。,例13、A、B 兩球質(zhì)量分別為m1與m2，用一勁度系數(shù)為k的彈簧相連，一長為l1 的細線與A相連，置于水平光滑桌面上，細線的另一端拴在豎直軸OO上，如圖所示，當m1與m2均以角速度繞OO 做勻速圓周運動時，彈簧長度為l2。 求：（1）此時彈簧伸長量多大？繩子張力多大？ （2）將線突然燒斷瞬間兩球加速度各多大？,解：（1）B球只受彈簧彈力，設(shè)彈簧伸長l ，滿足,f=kl=m2 2(l 1 l 2),彈簧伸長量 l =m2 2(l 1 l 2) / k,對A球，受繩拉力T和彈簧彈力f 做勻速圓周運動，,滿足：Tf=m1 2 l 1,繩子拉力T=m1 2 l

14、 1m2 2(l 1 l 2),（2）線燒斷瞬間A球加速度,a1=f/m1=m2 2(l 1 l 2)/m1,B球加速度,a2=f/m2= 2(l 1 l 2),例14小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v 、周期T 的關(guān)系。（小球的半徑遠小于R）,解：,小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在 半球的球心），向心力F 是重力G 和支持力N 的合力， 所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示：,由牛頓運動定律，有：,,由此可得：,,,（式中h 為小球軌道平面到球心的高度）,可見，越大,即h越小, v 越

15、大,T 越小。,本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、 飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周 運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力， 向心力方向水平。,例15 長為2L的輕桿AB兩端各固定有質(zhì)量為m1和m2的小球，且m1m2 ，過桿的中點O處有光滑的水平轉(zhuǎn)動軸。桿可繞軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,當桿到達豎直位置時，轉(zhuǎn)動的角速度為, A球正好位于上端,B球位于下端,則沿豎直方向,桿作用于固定軸的力的方向一定向上的條件是什么?,解：,由牛頓第三定律, 桿作用于固定軸的力的方向向上, 則桿受到軸的作用力N一定向下, 如圖示: 對桿由平衡條件, 桿受到A球的作用力一定大于B

16、球?qū)U的作用力, F1 F2,對A 球: F1 +m1 g = m12 L ,對B 球: F2 - m2 g = m22 L ,F1 = m12 L- m1 g,F2 = m22 L+ m2 g,F1 - F2 0, 2 L (m1 +m2 )g (m1 -m2 ),練習(xí)4長L的輕桿兩端分別固定有質(zhì)量為m的小鐵球，桿的三等分點O處有光滑的水平轉(zhuǎn)動軸。用手將該裝置固定在桿恰好水平的位置，然后由靜止釋放，當桿到達豎直位置時，求軸對桿的作用力F的大小和方向。,解：根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒可求出小球1在最高點的速度v ：,0=mg1/3L-mg2/3L+1/2mv2+1/2m(2v)2，,在豎直位置對系

17、統(tǒng)用牛頓第二定律，以向下為正方向，設(shè)軸對系統(tǒng)的作用力F 向上，,,得到 F = 2.4mg,例16、如圖示，支架質(zhì)量為M、始終靜止在水平地面上，轉(zhuǎn)軸O處用長為l 的線懸掛一個質(zhì)量為m 的小球， （1）把線拉至水平后靜止釋放小球，當小球運動到最低處時，水平面對支架的支持力N為多大？ （2）若使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，對小球運動到最高點處時，支架恰好對水平地面無壓力，則小球在最高點處的速度v 為多大？,解：,（1）對小球，由機械能守恒定律1/2mv12=mgl,最低點處：T-mg = mv12 / l,T =3mg,對支架受力如圖示 N=Mg+T=(M+3m)g,（2）小球運動到最高點處時，支

18、架恰好對水平地面無壓力,則支架受到球向上的拉力 T1=Mg,對小球: T1+mg=mv2 /l,,練習(xí)5、如圖示，質(zhì)量為M的電動機始終靜止于地面，其飛輪上固定一質(zhì)量為m的物體，物體距輪軸為r，為使電動機不至于離開地面，其飛輪轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)如何？,解：當小物體轉(zhuǎn)到最高點時，,對底座,受到重力Mg和物體對底座的拉力T,為使電動機不至于離開地面，必須 TMg,對物體,受到重力mg和底座對物體的拉力T,由圓周運動規(guī)律有 mg+T = m r2,即 m r2(M+m)g,,解：車受重力mg及路面的彈力FN作用這兩個力的合力F水平 并指向圓周彎道的圓心，充當向心力，由圖可知Fmgtan，,依據(jù)牛頓第二定律有,,B,2000年江西省、山西省、天津市,練習(xí)3、如圖所示，將一根光滑的細金屬棒折成V形，頂角為2，其對稱軸豎直，在其中一邊套上一個金屬環(huán)P。當兩棒繞其對稱軸以每秒n 轉(zhuǎn)勻速轉(zhuǎn)動時，小環(huán)離軸的距離為（ ）,解：分析小環(huán)的受力如圖示：,F=mg ctg =m 2r,=2n,,A,