直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運(yùn)用的知識(shí)：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則，。常見題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（-2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0，1），橢圓過動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)：證明直線過定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。練習(xí)1、過點(diǎn)P(3,2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。A4B3C2D1題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。分析：過點(diǎn)T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的倍。運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時(shí)。思維規(guī)律：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長(zhǎng)的倍，將k確定，進(jìn)而求出的坐標(biāo)。練習(xí)2：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。練習(xí)3：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：，這樣計(jì)算量就減少了許多，在考場(chǎng)上就節(jié)省了大量的時(shí)間。接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量會(huì)增加許多。直接計(jì)算、，就降低了計(jì)算量?？傊绢}有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。練習(xí)4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題5、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出來。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點(diǎn)消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)即 由韋達(dá)定理得：即 由得，代入，整理得，解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時(shí)，易知或。總之實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡(jiǎn)單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計(jì)算量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。練習(xí)5：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值題型六：面積問題例題6、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)6、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問題例題7、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)7：（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。題型八：角度問題例題8、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：()由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 ()由得 因?yàn)椴粸闄E圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得 故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上. 由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)8、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，2）和橢圓C：(a>b>0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點(diǎn)E（2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cotMON0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.問題九：四點(diǎn)共線問題例題9、（08安徽理）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上練習(xí)9、（08四川理）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線為，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（）若，求、的值；（）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例10、（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或練習(xí)10、已知直線相交于A、B兩點(diǎn)。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值。問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例11、(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.練習(xí)11：設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.