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題目： 函數(shù)傅里葉變換在物理中的應(yīng)用 姓名 董昊煜 鄭意南 劉書琬 成夢 左晏寧 國志浩 指導(dǎo)教師 蘇德礦教授 年級 大一年級 第一部分 函數(shù)傅里葉變換在電路通信中的應(yīng)用 一、 概述： 傅里葉變換是指對某一區(qū)域內(nèi)（或周期函數(shù)）分段光滑的函數(shù)用正、余弦函數(shù)的線性組合來近似原函數(shù)。當(dāng)組合的函數(shù)項n→∞時，便得到一組形如 n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL 的數(shù)項級數(shù)，稱之為傅里葉級數(shù)。其和函數(shù)Sx滿足Sx=fx-0+fx+02 ，fx-0和fx+0分別表示fx在x 處的左、右極限，故可見當(dāng)fx在x處連續(xù)時，Sx=fx。 由于傅里葉變換可將一些復(fù)雜的函數(shù)表示成為某區(qū)域上的若干簡單三角函數(shù)（正、余弦函數(shù)）的線性組合，使原函數(shù)簡單化，故可利用傅里葉變換來處理一些復(fù)雜的函數(shù)。另外，又由于正余弦函數(shù)的奇偶性、周期性及其特殊的和差化積與函數(shù)變換特性，使得原函數(shù)經(jīng)傅里葉變換后出現(xiàn)許多“好”的性質(zhì)，便于我們更方便地研究與原函數(shù)相關(guān)的一些問題。 在物理學(xué)上，傅里葉變換由于其獨(dú)特的性質(zhì)而成為了許多物理技術(shù)的理論根據(jù)，在如電路及通信方面有著非常廣泛的應(yīng)用。 二、 傅里葉級數(shù)在電信號中的應(yīng)用： 1. 事實(shí)上，在物理學(xué)中，我們常用T表示一個電流或電壓信號的周期，用n表示其角頻率，則fx（周期為T）又可表示為： fx=a02+n=1∞ancosnωt+bnsinnωt 其中a0=2Tt0t0+Tftdt，an=2Tt0t0+Tftcos(nωt)dt，bn=2Tt0t0+Tftsin(nωt)dt； （T = 2l, ω=2πT=2π2l=πl(wèi)） 為了便于研究，常將fx的上述傅里葉展開式寫成僅含一種三角函數(shù)的形式，則由三角函數(shù)加減運(yùn)算法則有： fx=a02+n=1∞an2+bn2cos(nωt+φn)，其中φn=-arctanbnan； 圖1 或者fx=a02+n=1∞an2+bn2sin(nωt+θn)，其中θn=-arctananbn。 2. 一些典型電信號的傅里葉級數(shù)： （1） 周期函數(shù)矩形脈沖信號（圖1）： 可利用傅里葉變換將周期矩形脈沖信號轉(zhuǎn)換為如下形式的傅里葉變換： fx~2Ετ2Τ+2ΕτΤn=1∞SanπτΤcosnωt 其中Τ為周期，τ為脈寬，Ε為脈幅。 該電路信號具有如下特點(diǎn)：頻譜離散，相鄰兩譜線間隔為1個ω=2πΤ；其直流分量、基波及各諧波分量、大小正比于Ε而反比于Τ；各譜線的幅度按照SanπτΤ規(guī)律而變化；且有無窮多條譜線，從而周期矩形脈沖信號可分解為無限個三角脈沖信號的線性組合。 在上述例子中，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用三角形式的傅里葉變換，我們將難以求得的周期矩形脈沖信號分解成了若干個余弦電信號的線性疊加。眾所周知，我們?nèi)粘Ｓ玫降碾娀径际钦嘞医涣麟?，因此，利用傅里葉展開，我們便能通過對交流電的線性組合來合成周期矩形電波，當(dāng)然隨n值的增加，合成波的近似度也會隨之提高。理論上，當(dāng)n→∞時，誤差充分小，周期矩形波便可由這無限個容易獲得的正弦波合成。 （2） 周期鋸齒波信號 示波器是實(shí)驗室中的常用儀器，其工作原理想必大家都不陌生：X軸方向具有掃描電壓，作用是將待測電信號“拉開”以便清晰分析其特征。如圖，掃描電壓即為一種鋸齒波電壓（當(dāng)從左到右掃描時，掃至最右須立即返回左側(cè)，減少遞程成像使整個圖像連續(xù)不斷）。掃描電壓雖然也是周期電壓卻不能直接由直流電得到，我們?nèi)孕杞柚道锶~展開來合成，類似可推導(dǎo)出：ft=E/π×n=1∞（-1）n+1sin（nwt）。由傅里葉展開可知，周期鋸齒波狀脈沖電壓的信號頻譜只有正弦分量，諧波幅度以1/n規(guī)律收斂。這些特征為電信號設(shè)計及分析提供了的幫助與指導(dǎo)。 （3） 周期半波余弦信號（半波整流信號） 同理，可得出半波整流信號的傅里葉展開：ft=Eπ+E2sinωt-n=1∞Eπ(1+-1n)（n2-1）cos（nwt），其圖像如圖。 （4） 周期全波信號 同理，周期全波信號的傅里葉展開為：ft=2Eπ-n=1∞4Eπ14n2-1cos（2nwt），其圖像如圖。 以上4種電信號為物理研究中常用的周期脈沖電信號，此外還有很多脈沖信號也是利用傅里葉展開進(jìn)而進(jìn)行合成。可見，傅里葉級數(shù)在物理中有著廣泛應(yīng)用，對物理學(xué)的發(fā)展尤其是通訊電信號的傳遞發(fā)面發(fā)揮了卓越的作用。 第二部分 波形的傅里葉分析與應(yīng)用 一、 在物理中，因為波的疊加我們可以把復(fù)雜的波拆分成簡單的波。傅里葉的研究告訴我們，簡諧波使我們能用來構(gòu)成一般波形的最簡單波。任何周期波都可以表示為簡諧波的疊加。像脈沖波這樣的非周期波可以用傅里葉積分表示。所以任何周期運(yùn)動都可以表示為簡諧運(yùn)動的疊加。 應(yīng)用舉例：1.傅里葉變換紅外光譜儀,簡稱為傅里葉紅外光譜儀。它不同于色散型紅外分光的原理，是基于對干涉后的紅外光進(jìn)行傅里葉變換的原理而開發(fā)的紅外光譜儀。光源發(fā)出的光被分束器（類似半透半反鏡）分為兩束，一束經(jīng)透射到達(dá)動鏡，另一束經(jīng)反射到達(dá)定鏡。兩束光分別經(jīng)定鏡和動鏡反射再回到分束器，動鏡以一恒定速度作直線運(yùn)動，因而經(jīng)分束器分束后的兩束光形成光程差，產(chǎn)生干涉。干涉光在分束器會合后通過樣品池，通過樣品后含有樣品信息的干涉光到達(dá)檢測器，然后通過傅里葉變換對信號進(jìn)行處理，最終得到透過率或吸光度隨波數(shù)或波長的紅外吸收光譜圖。 傅里葉變換紅外光譜儀采用的傅里葉變換對光的信號進(jìn)行處理，避免了電機(jī)驅(qū)動光柵分光時帶來的誤差，所以重現(xiàn)性比較好。 2.音樂分析 1　樂理知識介紹 樂音的基本特征可以用基波頻率、諧波頻譜和包絡(luò)波形3個方面來描述。 1. 1　基波頻率 每個指定音調(diào)的唱名都對應(yīng)固定的基波信號頻率。所謂唱名是指平日讀樂譜唱出的1(do)、2(re)、3(mi) ……, 每個唱名并未固定基波頻率。當(dāng)指定樂曲的音調(diào)時才知道此時唱名對應(yīng)的頻率值。如C調(diào)“1”的基波頻率為261. 63Hz, F調(diào)“1”的基波頻率為349. 23Hz, F調(diào)“5”的基波頻率為523. 25Hz。 1. 2　諧波頻譜 在音樂領(lǐng)域中稱諧波為“泛音”,由諧波產(chǎn)生的作用稱為音色變化。當(dāng)指定音調(diào)之后,僅指定了樂音信號的基波頻率,諧波情況并未說明。各種樂器,如鋼琴或單簧管,都可以發(fā)出某一音調(diào)下的唱名,而人的聽覺會明顯感覺兩者不同,這是由于諧波成分有所區(qū)別,頻譜結(jié)構(gòu)各異。 1. 3　包絡(luò)波形 不同類型的樂器,包絡(luò)形狀也不相同。在音樂合成實(shí)驗中,為簡化編程描述,通常把復(fù)雜的包絡(luò)函數(shù)用少量直線近似。于是,樂音波形的包絡(luò)呈拆線。有時為了保證在樂音的鄰接處信號幅度為零,也可以用指數(shù)衰減的包絡(luò)來表示,這也是最簡單的辦法。 2　基于MATLAB的音樂分析與合成實(shí)驗 2. 1　實(shí)驗要求 該實(shí)驗采用MATLAB軟件仿真來實(shí)現(xiàn)。首先,通過編程對一段真實(shí)的音樂進(jìn)行分析、處理,求得這段音樂的基頻、諧波分量、頻帶寬度等數(shù)據(jù);然后,通過對樂理的研究,根據(jù)分析中求得的數(shù)據(jù)編寫程序,進(jìn)行基于傅里葉分析的音樂合成設(shè)計。 2. 2　實(shí)驗原理 傅里葉變換建立了信號頻譜的概念。所謂傅里葉分析即分析信號的頻譜(頻率構(gòu)成)、頻帶寬度等。要想合成出一段音樂,就要了解該段音樂的基波頻率、諧波構(gòu)成等。因此,必須采用傅里葉變換這一工具。對于連續(xù)時間信號f (t),其傅里葉變換為F(ω):F(ω) =∫∞ - ∞f(t) e- j ωtdt。 由于其變換兩邊的函數(shù)f (t)和F(ω)都是連續(xù)函數(shù),不適合于計算機(jī)處理。MATLAB語言提供了符號函數(shù)fourier來實(shí)現(xiàn)傅里葉變換,但該函數(shù)需要信號的解析表達(dá)式。而工程應(yīng)用中經(jīng)常需要對抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉分析,這種情況下往往無法得到信號的解析表達(dá)式,必須采用傅里葉變換的數(shù)值計算方法。如果f(t)的主要取值區(qū)間為[t1, t2],定義T=t2- t1 為區(qū)間長度。在該區(qū)間內(nèi)抽樣N個點(diǎn),抽樣間隔為△t =TN,則有F(ω) =∑N- 1n=0 f (t1+n△t) e- j ω( t1+n△t) △t =△t· ∑N- 1 n=0 f(t1+n△t) e- j ω( t1+n△t)。 可以計算出任意頻點(diǎn)的傅里葉變換值,假設(shè) F(ω)的主要取值區(qū)間位于[ω1,ω2],要計算其間均勻抽樣的k個值,則有 F(ω1+k△ω) =△t ·∑N- 1n=0 f ( t1+n△t)e- j(ω1+k△ω) ·( t1+n△t),式中, △ω=ω2-ω1k為頻域抽樣間隔。 2. 3　音樂分析與合成的MATLAB實(shí)現(xiàn) 2. 3. 1　相關(guān)的MATLAB函數(shù)及其功能 相關(guān)的幾個聲音信號分析與處理的MATLAB函數(shù)及其功能,見表1 相關(guān)的MATLAB函數(shù)及其功能函數(shù)功能wavread 讀. wav文件sound 將向量轉(zhuǎn)換成聲音kron 矩陣的張量積(叉乘)resample 改變信號的采樣率interp 上采樣(提高采樣率)decimate 下打樣(降低采樣率) 2. 3. 2　實(shí)現(xiàn)過程中的難點(diǎn)處理 (1)音樂的時間分割。在對音樂信號進(jìn)行分析時,要充分考慮采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)是否為MATLAB軟件所能承受。如對音樂信號以8000Hz進(jìn)行采樣,那么在1s的時間范圍內(nèi),采樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)就有8000個,再對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算,其運(yùn)行時間很長,出現(xiàn)類似死機(jī)的現(xiàn)象。因此,如果音樂文件時間達(dá)數(shù)秒鐘,則應(yīng)將該文件進(jìn)行時間分割,分成幾個小段進(jìn)行分析,每小段的時間越少,分析速度越快。建議每小段的時間盡量不超過0. 5s。在對每小段音樂進(jìn)行分析時,只需分析每段音樂的最高幅度處,其他處可看成是其幅度的衰減,頻率成分不變,這樣可以減少對音樂的分析時間,以免做無謂的分析。為防止漏掉基波頻率,最好參考該音樂的時域波形,捕捉到每個音的起始時間和持續(xù)時間。 (2)音樂的節(jié)拍。每個音的起始時間和持續(xù)時間在合成音樂的時候也是到至關(guān)重要的。因為每個音調(diào)都有持續(xù)時間,該持續(xù)時間就是通常意義上的“拍子”,一拍大約是0. 5s。只有了解了每個音的起始時間和持續(xù)時間,在音樂合成時才能正確地掌握各基波頻率出現(xiàn)的前后順序及其節(jié)拍,以減少失真。 (3)音樂的波形包絡(luò)。樂音波形包絡(luò)是描述樂音特性的一個重要因素。通過音樂的時域波形可以判斷該樂音是否在下一個樂音開始時衰減為零,以減小音樂合成的誤差。包絡(luò)既可用折線形也可采用指數(shù)衰減的方法,關(guān)鍵的問題是如何選擇衰減系數(shù)。采用折線方法麻煩一些,但折線的斜率可以根據(jù)時域波形來判斷;若采用指數(shù)衰減方法,如能確定衰減系數(shù),就非常簡單。本設(shè)計采用指數(shù)衰減方法,衰減系數(shù)可根據(jù)電容充放電理論,即工程上認(rèn)為,當(dāng)t≥3τ以后,可認(rèn)為電路已趨穩(wěn)定,其中,τ為RC電路的時間常數(shù),τ=RC。設(shè)某段音樂的持續(xù)時間為T,且幅度在T時間內(nèi)衰減為零,當(dāng)包絡(luò)采用指數(shù)e^at時,則衰減因子a=3/T。 (4)參與音樂合成的頻率分量?？紤]到計算 容量和計算速度,并不使用所有的頻率分量進(jìn)行音樂的合成,而只是選用那些真實(shí)音樂頻譜中超過0. 35倍最大幅度的頻率分量,否則數(shù)據(jù)量太大,會超出計算機(jī)所能承受的范圍,從而導(dǎo)致程序運(yùn)行錯誤。 2. 3. 3　程序?qū)崿F(xiàn)框圖及誤差分析 用MATALB語言編程實(shí)現(xiàn)音樂的分析與合成實(shí)驗程序框圖如圖1以一段3s的吉它曲為例,運(yùn)行該程序,得到該吉它曲的真實(shí)音樂與合成音樂的時域波形如圖2。從圖2中可以看出,合成音樂與真實(shí)音樂存在著一定的誤差。一是合成時只選用了真實(shí)音樂頻譜中那些超過0. 35倍最大幅度的頻率分量,舍棄了某些頻率成分;二是為了簡化程序的編制,對音樂的波形形狀選用指數(shù)衰減包絡(luò)進(jìn)行合成,并不完全符合真實(shí)音樂的波形形狀。 （圖一：試驗程序） （圖三：音樂頻譜分析——真實(shí)音樂頻譜） （圖四：通過傅里葉變換合成的頻譜，模擬原音樂頻譜）