Chapter 3 電阻電路的一般分析方法,等效變換法：只適用于簡單或特殊電路，且只能分析某一 支路的電壓或電流。,一般分析法：求解任意電路中所有支路電壓和電流的通用 方法。具體有支路電流法、網(wǎng)孔電流法、回 路電流法和結(jié)點電壓法。,中心任務： 1）如何選擇分析電路的變量。 2）如何建立相應的獨立方程。,電阻電路的一般分析,本章重點,重點,1. KCL、KVL的獨立方程數(shù),返 回,2. 回路電流法，結(jié)點電壓法,線性電路的一般分析方法,普遍性：對任何線性電路都適用。,復雜電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件的電壓與電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和結(jié)點電壓法。,元件的電壓、電流關(guān)系特性。,電路的連接關(guān)系KCL，KVL定律。,方法的基礎,系統(tǒng)性：計算方法有規(guī)律可循。,下 頁,上 頁,返 回,引 言,圖論是拓撲學的一個分支，是應用廣泛的一門學科。最早由瑞士數(shù)學家歐拉提出，并應用圖論的方法討論了哥尼斯堡七橋難題，見圖a和圖b所示。,除用于研究一些游戲問題或古老難題（如四色問題）外，1847年，基爾霍夫用圖論來分析電路網(wǎng)絡。如今已廣泛應用于電工和計算機網(wǎng)絡等領域。,一個元件作為一條支路,元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條支路,下 頁,上 頁,返 回,3-1 電路的圖,圖的定義(Graph),G=支路，結(jié)點,電路的圖是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點與電路的支路和結(jié)點一一對應。,圖中的結(jié)點和支路各自是一個整體。,移去圖中的支路，與它所連接的結(jié)點依然存在，因此允許有孤立結(jié)點存在。,如把結(jié)點移去，則應把與它連接的全部支路同時移去。,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,從圖G的一個結(jié)點出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動到達另一結(jié)點所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。,(2)路徑,下 頁,上 頁,返 回,1、電路的圖與大家熟知的電路圖的那個“圖”不同。電路的圖通常用G表示，它沒有任何電路元件，只有抽象的線段（把它畫成直線或曲線都無關(guān)緊要）和點。,2、對一個給定的電路，很容易畫出它的圖，但是從電路的圖不可能畫出它的原電路。因此，畫圖的目的是表達給定電路的結(jié)點和支路的互相鏈接的約束關(guān)系，即所謂電路的拓撲結(jié)構(gòu)。,注意：,2、有向圖：標有電流或電壓參考方向的圖。反之稱無向圖。,3、連通圖：如果在圖的任意兩結(jié)點之間至少存在一條由支路構(gòu)成的路徑，則這樣的圖稱連通圖。反之稱非連通圖。,4、子圖：若圖G1中的每個結(jié)點和支路都是另一圖G中的一 部分結(jié)點和支路，稱圖G1為圖G的子圖。,5、樹：連通圖G的一個子圖，滿足下列條件稱 “樹”： 不含任何回路 包含G全部結(jié)點 所有結(jié)點連通,結(jié)論：, 當選定一個樹后，b條支路分兩類： 其一，樹支：構(gòu)成樹的支路； 其二，連支：除去樹支以外的支路。 若電路的結(jié)點數(shù)為n，盡管樹的形式很多，但 樹支數(shù)必為（n-1）。連支數(shù)為b -（n-1）,6、回路(Loop),L是連通圖的一個子圖，構(gòu)成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通;(2)每個結(jié)點關(guān)聯(lián)2條支路。,不是回路,回路,基本回路的數(shù)目是一定的，為連支數(shù)。,對應一個圖有很多的回路。,對于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)等于基本回路數(shù)。,下 頁,上 頁,明 確,返 回,4,6,1,2,3,5,7,8,9,如：基本回路: （7、6、4）,（1、3、6、7）,7、基本回路（單連支回路）： 僅含有一個連支，其余均為 樹支的回路稱基本回路。,證明：一個具有n結(jié)點，b條支路的連通圖G ： 若任取一種樹后，必有（n-1）個樹支、 b-(n-1) 個連支。由于每一個連支唯一對應著一個基本回路， 所以必有 b-(n-1)個基本回路。,結(jié)論：,定理：一個具有n個結(jié)點和b條支路的連通圖G，若任取一種樹T，必有 b-(n-1)個基本回路。,8、平面電路：除結(jié)點外，無任何支路相交叉的電路。,9、網(wǎng)孔：平面圖的一個網(wǎng)孔是它的一個自然 “孔”，它限定 的區(qū)域內(nèi)不再有支路。,例1-1,圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路。,下 頁,上 頁,注意,網(wǎng)孔數(shù)為基本回路數(shù)。,返 回,解,定理：若連通平面電路具有b條支路、n個結(jié)點，則它具有的網(wǎng)孔數(shù)為 m= b-(n-1)。,平面圖的全部網(wǎng)孔是一組基本回路，所以平面圖的網(wǎng)孔數(shù)也就是基本回路數(shù)。,結(jié)論：,3-2 KCL和KVL的獨立方程數(shù),1.KCL的獨立方程數(shù),1,4,3,2,n個結(jié)點的電路, 獨立的KCL方程為 n-1個。,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,每個電流均在方程中出現(xiàn)2次，一次為正，一次為負。 原因：每一支路必與2個結(jié)點相連接，該支路電流對其中一個結(jié)點為流入，對另一結(jié)點必為流出。,結(jié)論：一個具有n個結(jié)點的連通圖G，在任意(n-1)個結(jié)點上可列出(n-1)個獨立的KCL方程。這(n-1)個結(jié)點稱為獨立結(jié)點。,u1+ u3+ u6 =0,u2 + u4 u3 =0,u1+ u2+ u4 + u6 =0,這3個方程不是相互獨立的；,以選取1、2、3作樹支為例：,這3個基本回路方程是相互獨立的。,結(jié)論：一個具有n個結(jié)點、b條支路的連通圖G，必有b-(n-1)個基本回路（獨立回路），可列b-(n-1)個獨立的KVL方程。,一個有n個結(jié)點、b條支路的連通圖G，具有N=n-1個獨立結(jié)點和L=b-(n-1)個獨立回路，必能建立起n-1個獨立的KCL方程和b-(n-1)個獨立的KVL方程。 由KCL及KVL可以得到獨立方程總數(shù)等于支路數(shù)b。,綜上所述：,獨立結(jié)點：去掉n個結(jié)點中的一個，其余結(jié)點都是獨立的。 獨立回路： 1.觀察法： （1）選擇第1個回路，這個回路必是獨立的。 （2）選擇第2個回路，該回路中至少要有一條“新”的支路。 （3）依次類推，選擇第k個回路，該回路中至少要有一條 “新”的支路。,三、獨立結(jié)點及獨立回路的選擇方法,2.基本回路（單連支回路）法：首先選擇一種樹，確定單連支 回路，則 b-(n-1)個單連支回路是獨立的。 3.網(wǎng)孔選擇法：選擇每個網(wǎng)孔作獨立回路，網(wǎng)孔數(shù)=b-(n-1)。,對于有 n個結(jié)點、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有 b個。只要列出b個獨立的電路方程，便可以求解這b個未知量。,1. 支路電流法,2. 獨立方程的列寫,下 頁,上 頁,以各支路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。,從電路的 n個結(jié)點中任意選擇 n-1個結(jié)點列寫KCL方程。,選擇基本回路列寫 b-( n -1)個KVL方程。,返 回,3-3 支路電流法 ( Branch current ),例3-1,1,3,2,有6個支路電流，需列寫6個方程。KCL方程為,取網(wǎng)孔為獨立回路，沿順時針方向繞行列寫KVL方程如下,回路1,回路2,回路3,下 頁,上 頁,返 回,解,應用歐姆定律消去支路電壓得,下 頁,上 頁,這一步可以省去,回路1,回路2,回路3,返 回,KVL的第二種形式：沿回路繞行方向，電阻電位降代數(shù)和等于電源電位升代數(shù)和：,下 頁,上 頁,返 回,基本思想: 以支路電流作為電路的未知量，直接應用KCL、KVL，列出總數(shù)與支路數(shù)目相等的獨立結(jié)點電流方程和獨立回路電壓方程，然后聯(lián)立解出各支路電流的一種方法。,1、標定各支路電流（電壓）的參考方向（一般選支路電流，電壓取關(guān)聯(lián)參考方向）,b=6 n=4,出為正進為負,2、對（n-1）個獨立結(jié)點，根據(jù) KCL列方程,(3) 選定 b-(n-1）個獨立回路，根據(jù)KVL列回路電壓方程。,(4) 聯(lián)立上兩式求出各支路電流，進而求各支路電壓。,支路電流法分析電路的步驟為：,1）選定各個支路電流的參考方向，各無源支路元件上電壓與電流都取關(guān)聯(lián)方向。 2）根據(jù)KCL，建立 N=(n-1)個獨立電流方程。 3）選出獨立回路（平面電路中，可選網(wǎng)孔為獨立回路），并規(guī)定其繞向，根據(jù)KVL建立 L= b-(n-1)個獨立電壓方程。 4）求解方程組，得出支路電流。, 如需要，進而根據(jù)元件約束方程計算支路電壓。,獨立結(jié)點 N= n-1=1 獨立回路 L=b-(n-1)=2,根據(jù)KVL，有 網(wǎng)孔： 5i1 + 20i3 20 =0 網(wǎng)孔： 10i2 20i3 +10 =0,例：如圖所示，分別求出流過三個電阻上的電流,解：標出未知量，假定參考方向。該電路 n=2，b=3,解得：i1 = 1.143A i2= -0.439A i3= -0.714A,例2-8 已知Us1=12V，Us2=24V， R1=R2=20，R3=50 求：1）通過R3的電流I3。 2）R1、R2的功率。 3）Us1、Us2的功率。,Us1,Us2,+,+,R1,R2,R3,I3,解：標出未知量，假定參考方向。該電路 n=2，b=3,根據(jù)KCL，對“上”結(jié)點有： i1 + i2+ i3= 0,根據(jù)KVL，網(wǎng)孔： -12 +20i2 24 20i1 =0 網(wǎng)孔： -20i2 + 50i3 +24 =0,解得：i1 = -0.85A i2= 0.95A i3= -0.1A,電路的支路中出現(xiàn)電流源的情況？,-50i2 + 80i3 =,處理方法1：先假定電流源兩端有1個電壓。,處理方法2：選好回路，少列1個方程。,+,24,60,80,50,Us1,Is,a,b,c,d,i1,i3,i2,i6,i5,i4,例：采用支路電流法列寫方程,解法一：,（2）b(n1)=2個KVL方程：,11I2+7I3-U= 0,7I111I2 +U-70=0,A,70V,6A,7,B,+,I1,I3,I2,7,11,增補方程：I2=6A,+ U -,由于I2已知，故只列寫兩個方程,結(jié)點A：I1+I3=6,避開電流源支路取回路：,7I17I3-70=0,解：結(jié)點A：I1I2+I3=0,例：列寫下圖中的支路電流方程,11I2+7I3= 5U,7I1-11I2=70-5U,增補方程：U=7I3,+ 5U -,含有受控源的電路，方程列寫分兩步：,(1)先將受控源看作獨立源列方程； (2)將控制量用未知量表示，代入(1)所列方程消去中間變量。,A,70V,7,B,+,I1,I3,I2,7,11,+ U -,例：圖示電路，US1=1V，R1=1 ，R2=2 ，R3=3，=3，求各支路電流。,解：電路中存在受控電壓源，則： 受控源先當作獨立電源，列結(jié)點和網(wǎng)孔方程 I1I2I3=0 I1R1I2R2US1=0 I2R2 U1I3R3=0 補充受控源控制變量關(guān)系式（控制變量表示為支路電流） U1=R1I1,US1,I1,R1,R2,I2,aU1,R3,I3,U1,解得： I1=1A，I2=0A，I3=1A,支路電流法綜述,優(yōu)點：未知變量可直接標定，具有物理直觀性。 缺點：獨立方程的數(shù)目等于電路的支路數(shù)，對較復雜電路來說，計算量太大。 問題：在用電流或電壓作未知變量時，能否使必須的變量數(shù)目最少？使相應的獨立方程數(shù)目也最少？如果能找到這樣的變量組，它們應具備什么樣的條件？ 解答：由數(shù)學概念可知：為了用最少數(shù)目的未知變量去描述一個電路，選擇的變量應當具有完備性和獨立性。,