第二十八講等差數(shù)列,1,回歸課本,2,1.等差數(shù)列的定義及等差中項 (1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.定義的表達式為an+1-an=d(nN*).,3,(2)對于正整數(shù)m、n、p、q,若m+n=p+q,則等差數(shù)列中am、an、ap、aq的關系為am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項,其中,4,2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式 等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d;前n項和公式為Sn= 或,5,3.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)等差數(shù)列的通項是關于自然數(shù)n的一次函數(shù)(d0).(n,an)是直線上的一群孤立的點,an=an+b(a、b是常數(shù))是an成等差數(shù)列的充要條件. (2)等差數(shù)列an的首項是a1,公差為d.若其前n項之和可以寫成Sn=An2+Bn,則 當d0時它表示二次函數(shù),數(shù)列an的前n項和Sn=An2+Bn是an成等差數(shù)列的充要條件.,6,(3)等差數(shù)列的增減性,d0時為遞增數(shù)列,且當a10時前n項和Sn有最大值.,7,4.與等差數(shù)列有關的結論 (1)若數(shù)列an和bn是等差數(shù)列,則man+kbn仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). (2)等差數(shù)列中依次k項和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差數(shù)列,且公差為k2d(d是原數(shù)列公差). (3)項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an,有 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項); S偶-S奇=nd;,8,(4)項數(shù)為奇數(shù)2n-1的等差數(shù)列an,有 S2n-1=(2n-1)an(an為中間項);S奇-S偶=an; S奇S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和.,9,5.與等差數(shù)列有關的規(guī)律 (1)等差數(shù)列an中,若an=m,am=n(mn),則am+n=0. (2)等差數(shù)列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),則Sm+n=-(m+n). (3)等差數(shù)列an中,若Sn=Sm(mn),則Sm+n=0. (4)若an與bn均為等差數(shù)列,且前n項和分別為Sn與Sn,則,10,6.等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)中項公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列. (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列.,11,考點陪練,12,1.設an是等差數(shù)列,若a2=3,a7=13,則數(shù)列an前8項的和為( ) A.128 B.80 C.64 D.56,答案:C,13,2.(2010·山東煙臺高三診斷)在等差數(shù)列an中,若前5項和S5=20,則a3等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.a3=4. 答案:A,14,3.(2010·遼寧大連高三一模)在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9- a11的值為( ) A.14 B.15 C.16 D.17,答案:C,15,4.在數(shù)列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),則a1000等于( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得該數(shù)列為1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4, 由此可得a1000=-1.,16,解法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(nN*),兩式相加可得an+3=-an,an+6=an, a1000=a166×6+4=a4=-a1=-1. 答案:D,17,答案:C,18,類型一 等差數(shù)列的判斷與證明 解題準備:證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種: (1)利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中項證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*). 注意:在選擇方法時,要根據(jù)題目的特點,如果能夠求出數(shù)列的通項公式,則可以利用定義法,否則,可以利用等差中項法.,19,【典例1】已知數(shù)列an的通項公式an=pn2+qn(p、qR,且p、q為常數(shù)). (1)當p和q滿足什么條件時,數(shù)列an是等差數(shù)列; (2)求證:對任意實數(shù)p和q,數(shù)列an+1-an是等差數(shù)列. 解(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差數(shù)列,則2pn+p+q應是一個與n無關的常數(shù),所以只有2p=0,即p=0. 故當p=0時,數(shù)列an是等差數(shù)列.,20,(2)證明:an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p為一個常數(shù). an+1-an是等差數(shù)列.,21,類型二 等差數(shù)列的基本量運算 解題準備:等差數(shù)列an中,a1和d是兩個基本量,用它們可以表示數(shù)列中的任何一項,利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,列方程組解a1和d,是解決等差數(shù)列問題的常用方法; 由a1,d,n,an,Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量,需選用恰當?shù)墓?利用方程組觀點求解.,22,【典例2】已知等差數(shù)列an中,a2=8,前10項和S10=185. (1)求數(shù)列an的通項公式an; (2)若從數(shù)列an中依次取出第2,4,8,2n,項,按原來的順序排成一個新的數(shù)列,試求新數(shù)列的前n項和An.,23,24,(2)An=a2+a4+a8+a2n =(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+(3×2n+2) =3×(2+4+8+2n)+2n =3× +2n=3×2n+1+2n-6. 反思感悟先求出數(shù)列的通項公式,然后用通項公式表示出新數(shù)列中的各項,再求和.,25,類型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 解題準備:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,構成的是公差為k2d的等差數(shù)列,從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷,應注意運用.,26,【典例3】在等差數(shù)列中,Sn表示an的前n項和, (1)a3+a17=10,求S19的值; (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求項數(shù)n; (3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.,27,28,(3)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差數(shù)列,又S4=1,S8-S4=3. 新的數(shù)列前5項分別為1,3,5,7,9. S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.,29,類型四 等差數(shù)列前n項和的最值問題 解題準備:求等差數(shù)列前n項和Sn的最值問題,主要有以下方法:二次函數(shù)法:將Sn看作關于n的二次函數(shù),運用配方法,借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結合,使問題得解; 通項公式法:求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值;,30,不等式法:借助Sn最大時,有 解此不 等式組確定n的范圍,進而確定n的值和對應Sn的值(即Sn的最值).,31,【典例4】已知數(shù)列an滿足2an+1=an+an+2(nN*),它的前n項和為Sn,且a3=10,S6=72. 若bn= an-30,求數(shù)列bn的前n項和的最小值. 分析先判斷an是等差數(shù)列,求an,再求bn,由bn的通項研究數(shù)列bn的前n項和的最值.,32,解2an+1=an+an+2, an是等差數(shù)列, 設an的首項為a1,公差為d, 由a3=10,S6=72,得,33,34,反思感悟除上面方法外,還可將an的前n項和的最值問題看作Sn關于n的二次函數(shù)問題,利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解.,35,錯源一 忽略數(shù)列項數(shù) 【典例1】已知數(shù)列an的前n項和Sn=10n-n2(nN+),求數(shù)列|an|的前n項和Tn. 錯解當n=1時,a1=S1=9; 當n2時,an=Sn-Sn-1=11-2n. 由于n=1時,a1=9也滿足an=11-2n, 因此an=11-2n. 由11-2n0,得,36,即從第6項開始數(shù)列各項為負,那么 Tn=|a1|+|a2|+|an| =-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52) =n2-10n+50. 剖析錯解中忽視了“項數(shù)”,默認了n5,事實上,n完全可以小于或等于5.顯然,當n5時,結論就是錯的.,37,正解對n進行分類: (1)由上述可知an=11-2n. 當n5時,同上述錯解,得Tn=n2-10n+50; (2)當n5時, Tn=|a1|+|a2|+|an| =a1+a2+an=10n-n2.,38,39,錯源二 忽略為零的項 【典例2】在等差數(shù)列an中,已知a1=10,前n項和為Sn,且S10=S15,求n取何值時,Sn有最大值,并求出最大值.,40,41,剖析這是一個首項為正的遞減的等差數(shù)列,零是這個數(shù)列的項嗎?由于a1=10,d= ,得10+(13-1)× 也就是說零是這個數(shù)列的第13項,于是答案就出錯了.,42,正解由于a1=100,d= 即數(shù)列an是一個首項為正的遞減的等差數(shù)列,又由于a13=0,由上述解法可知,該數(shù)列的前12或13項的和最大,其值為65.,43,錯源三 對數(shù)列的有關概念理解有誤 【典例3】已知數(shù)列an是遞增數(shù)列,且對于任意的nN+,an=n2+n恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_.,44,錯解因為an=n2+n是關于n的二次函數(shù),且n1,所以 1,解得-2. 剖析數(shù)列是以正整數(shù)N+(或它的有限子集1,2,)為定義域的函數(shù),因此它的圖象只是一些孤立的點,滿足條件的此數(shù)列的點分布如圖.,45,正解解法一:由圖分析得, ,所以-3. 解法二:由an是遞增數(shù)列,得an-(2n+1). 而-(2n+1)-3,所以-3. 答案(-3,+),46,技法一 活用變式,出奇制勝 【典例1】已知等差數(shù)列an中,ap=q,aq=p(qp),求ap+q. 解題切入點由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d可得變式:an=am+(n-m)d或 (nm),利用此變式可快速求解.,47,解解法一:由變式得:q=p+(p-q)d, 所以d=-1. 所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. 解法二:由變式得: 所以 所以ap+q=0.,48,解法三:因為an=a1+(n-1)d,所以點(n,an)在一條直線上.,49,不妨設pq時,同理可得ap+q=0.,50,方法與技巧在解題時,巧妙地利用等差數(shù)列的變式,常常能出奇制勝,達到簡捷明快的目的.,51,技法二 設而不求,化繁為簡 【典例2】在等差數(shù)列an中,Sm=Sn(mn),求Sm+n.,52,方法與技巧在解有關等差數(shù)列習題時,設出其基本量a1,d,利用設而不求,整體代入能使題目避繁就簡.,53,