第3章 機械振動與機械波3-1判斷下列運動是否為簡諧振動？（1） 小球沿半徑很大的水平光滑圓軌道底部小幅度擺動；（2） 活塞的往復運動；（3） 質(zhì)點的運動方程為（4） 質(zhì)點的運動方程為（5） 質(zhì)點擺動角度的微分方程為 答：（1）是簡諧振動，類似于單擺運動；（2）不是簡諧振動； （3）是簡諧振動，為同頻率、同振動方向的兩個簡諧振動的合成； （4）不是簡諧振動，為不同頻率、同振動方向的兩個簡諧振動的合成； （5）不是簡諧振動。3-2物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12，周期T=2。當時，物體的位移x=0.06，且向x軸正方向運動。求：(1)此簡諧振動的表達式；(2)時物體的位置、速度和加速度；(3)物體從向軸負方向運動第一次回到平衡位置所需的時間。解：（1）設此簡諧振動的表達式為：，則振動速度,振動加速度由題意可知：m，s，則(rad/s) 又因為時m且，把初始運動狀態(tài)代入有： ，則 又因為時，所以時 故此簡諧振動的表達式為： m(2) 把代入簡諧振動表達式：（m） 把代入簡諧振動速度表達式：(m/s) 把代入簡諧振動加速度表達式：(m/s2)(3) 由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，物體在向軸負方向運動時，相位為，而物體從向軸負方向運動第一次回到平衡位置時，相位為，旋轉(zhuǎn)的角度，則所需的時間為：=0.83(s)k2v習題3-3 圖3-3 如圖示，質(zhì)量為的子彈以速度水平射入木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓縮而作簡諧振動。設彈簧的勁度系數(shù)，木塊的質(zhì)量為，桌面摩擦不計，試求：（1）振動的振幅；（2）振動方程。解：（1）子彈進入木塊后，與木塊一起做簡諧振動，子彈與木塊的作用時間短，在水平方向動量守恒且彈簧沒有形變，設子彈進入木塊后木塊的位置為坐標原點，水平向右的方向為正方向，子彈進入木塊后與木塊的共同速度為，則，代入數(shù)據(jù)得：(m/s)，子彈與木塊相互作用時，彈簧沒有形變，即該簡諧振動的初始位置，彈簧簡諧振動的圓頻率，代入數(shù)據(jù)得：(rad/s)，所以代入數(shù)據(jù)得：m。(2) 由時，且向X軸的正方向運動，所以，所以振動方程為： m34一重為p的物體用兩根彈簧豎直懸掛，如圖所示，各彈簧的勁度系數(shù)標明在圖上。試求圖示兩種情況下，系統(tǒng)沿豎直方向振動的固有頻率。解：a圖中兩彈簧是串聯(lián)的，總勁度系數(shù)， 彈簧振子的固有頻率為。b圖中兩彈簧是并聯(lián)的，總勁度系數(shù)，彈簧振子的固有頻率為。CRmgO3-5 一勻質(zhì)細圓環(huán)質(zhì)量為，半徑為，繞通過環(huán)上一點而與環(huán)平面垂直的水平軸在鉛垂面內(nèi)作小幅度擺動，求擺動的周期。解：設轉(zhuǎn)動軸與細圓環(huán)的交點為坐標原點，過原點的豎直軸為Y軸，由轉(zhuǎn)動軸定理可知，該圓環(huán)的小幅度擺動的平衡位置為圓環(huán)的質(zhì)心在Y軸時，由平行軸定理可知，圓環(huán)對通過環(huán)上一點而與環(huán)平面垂直的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為：把圓環(huán)沿逆時針方向拉離平衡位置轉(zhuǎn)動，則圓環(huán)對轉(zhuǎn)軸的重力矩為，方向為增大的反方向，由轉(zhuǎn)動軸定理：，即，由于環(huán)做小幅度擺動，所以sin，可得微分方程，擺動的圓頻率為：，周期為：3-6 橫截面均勻的光滑的U型管中有適量液體如圖所示，液體的總長度為L，求液面上下微小起伏的自由振動的圓頻率。解：如圖所示建立坐標，兩邊液面登高時為坐標原點，向上為Y軸正方向，左邊液面上升y，則右邊液面下降y，U型管的橫截面面積為，液體的密度為，則左右液面的壓力差為：，方向為Y軸的負方向，由牛頓第二定律：可知，即，故液面上下微小起伏的運動為簡諧振動，其振動的圓頻率3-7 如圖一細桿AB一端在水平槽中自由滑動，另一端與連接圓盤上，圓盤轉(zhuǎn)軸通過o點且垂直圓盤和OX軸，當圓盤以角速度做勻速圓周運動時，寫出槽中棒端點B的振動方程，自行設計參數(shù)，利用mathematica軟件或matlab軟件畫出振動圖線。解：在óAOB中，AB長度不變，設為l，圓半徑OA不變設為R，OA與OB的夾角設為，則B點的坐標x滿足關系式：上式表明，x是時間t的周期函數(shù)，但不是諧振動函數(shù)。取,畫圖如下。3-8質(zhì)量為kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作振動，式中以秒計，以米計。求：（1）振動的圓頻率、周期、振幅、初位相；（2）振動的速度、加速度的最大值；（3）最大回復力、振動能量、平均動能和平均勢能；畫出這振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖中指明、2、10等各時刻的矢量位置。解：（1）由振動的運動學方程可知：振幅m，圓頻率rad/s，周期(s)，初相位。（2）振動的速度：，振動速度的最大值為：(m/s)，振動的加速度：，振動加速度的最大值為：(m/s2)（3）最大回復力：(N)，振動能量：(J)平均動能和平均勢能：(J)3-9 質(zhì)量為的物體，在彈性力作用下作簡諧振動，勁度系數(shù)，如果開始振動時具有勢能和動能，求：（1） 振幅多大？經(jīng)過平衡位置的速度。（2） 位移為多大時，動能恰等于勢能？解：（1）簡諧振動能量守恒，其總能等于任意時刻的動能與勢能之和，即，所以振幅(m)，在平衡位置時，彈簧為原長（假設彈簧座水平方向諧振動），此時只有動能，即(J)，所以速度(m/s).（2）要使(J)，即(J)，則位移(m)。3-10 兩個質(zhì)點平行于同一直線并排作同頻率、同振幅簡諧振動。在振動過程中，每當它們經(jīng)過振幅一半的地方時相遇，而運動方向相反。求它們的位相差，并作旋轉(zhuǎn)矢量圖表示之。解：設它們的振動方程為，OxA當時，可得位相為由于它們在相遇時反相，可取，它們的相差為，同理當時，可得位相為，它們的相差為矢量圖如圖所示3-11 已知兩個同方向簡諧振動如下：，（1） 求它們合成振動的振幅和初位相；（2） 另有一同方向簡諧振動，問為何值時，的振幅為最大？為何值時，的振幅為最??？為何值時，的振幅最??？解：（1）由同頻率、同方向的簡諧振動合成可知：，其中m，m，所以它們的合振動振幅為：m，它們合振動的初相位：。（2）由同頻率、同方向的簡諧振動合成可知，同相位振動，其合成振幅最大；反相位振動，其合成振幅最小。所以要使的振幅為最大，則；要使的振幅為最小，則時；要使的振幅最小，則。3-12 三個同方向，同頻率的簡諧振動為,求：（1）合振動的圓頻率、振幅、初相及振動表達式；（2）合振動由初始位置運動到所需最短時間（為合振動振幅）。解：（1）合振動的圓頻率為(rad/s)，(m)，根據(jù)公式得(m）合振幅為：= 0.16(m)，初位相為：。 合振動的方程為：（2）當時，可得，解得或由于，所以只能取第二個解，可得所需最短時間為t = 0.0125(s)313 將頻率為的標準音叉振動和一待測頻率的音叉合成，測得拍頻為，在待測音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測音叉的固有頻率。01212解：標準音叉的頻率為：(Hz)，拍頻為：(Hz)，待測音叉的固有頻率可能是：(Hz)，也可能是：(Hz)。在待測音叉上加一小塊物體時，相當于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于，可知其頻率將減小如果待測音叉的固有頻率，加一小塊物體后，其頻率將更低，與標準音叉的拍頻將增加；實際上拍頻是減小的，所以待測音叉的固有頻率，即387Hz。3-14 火車提速是社會發(fā)展的必然趨勢。假如你是火車提速的決策者之一，試問：從物理學角度，你會考慮哪些問題？答：鐵軌的抗震能力、鐵軌與火車共振時鐵軌的耐壓力等。3-15 說明以下幾組概念的區(qū)別和聯(lián)系： (1) 振動和波動；（2）振動曲線和波動曲線；（3）振動速度和波動速度；解：（1）振動是物體在平衡位置做往復運動；波動是振動在介質(zhì)中的傳播； （2）振動曲線表示的是物體運動的位移隨時間函數(shù)關系，用曲線表示；波動曲線表示的某一時刻不同質(zhì)元離開平衡位置的位移，用曲線表示。 （3）振動速度是描述物體運動的快慢，用表示；波動速度表示振動傳播的的快慢，與介質(zhì)和波的類型有關。3-16 已知一波的波函數(shù)為()（1）求波長、頻率、波速及傳播方向；（2）說明時波函數(shù)的意義,并作圖表示。解： （1）與波函數(shù)的標準方程進行對比可知：波長(m)，t/sy/cm500.10.20.3頻率(Hz)，波速(m)，傳播方向沿X軸的正方向。（2）當時波動方程就成為該處質(zhì)點的振動方程：，振動曲線如圖3-17 已知波的波函數(shù)為（SI）（1）寫出時各波峰位置的坐標表示式，并計算此時離原點最近的波峰的位置，該波峰何時通過原點？（2）畫出時的波形曲線。解：（1）波峰位置時，則時，波峰位置的坐標為：；當時，為離原點最近的波峰位置。由波函數(shù)為可知波速為m/s，則該波從坐標原點傳播到所用時間為(s)，該波峰在s時通過坐標原點。（2），該波動函數(shù)為：A-Au0.15 555555555555Ox/my/m3-18 一平面波在介質(zhì)中以速度 m·s-1沿負方向傳播。已知在傳播路徑上的某點的振動方程為。（1）如以點為坐標原點，寫出波函數(shù)；（2）如以距點5米處的點為坐標原點，寫出波函數(shù)；（3）計算B、C兩點振動的相差。解：（1）以A點為坐標原點，波動方程為：。（2）以B點為坐標原點，波動方程為：。（3）以A點為坐標原點，則m、m，、兩點的振動方程分別為，則、兩點的振動的相差為：。3-19 一列簡諧波沿軸正向傳播，在，時刻的波形如圖所示。試求：(1)點的振動表達式；(2)波動表達式；(3)畫出點的振動曲線。解：（1）設P點的振動方程為：由題設可知：振幅m，波長m，由、時刻的波形圖，可知該波在s內(nèi)，波向右傳播了，則可知該波的周期s，波速m/s，波的圓頻率rad/s。當時，即，由于波沿x軸正向傳播，所以P點在此時向上運動，速度大于零，所以P點的振動表達式為：（2）P點的位置是m，所以波動方程為：t/sy/m0.2O0.51（3）在x = 0處的振動方程為：曲線如圖所示3-20一平面簡諧波沿X軸正向傳播，其振幅、圓頻率分別為A和，波速為U，設t0時的波形曲線如圖所示。（1）寫出波函數(shù) 求距0點分別為/8，和3/8兩處質(zhì)點在t0時的振動速度。解：（1）設該波的波函數(shù)為：，由時刻的波形圖可知，且向下振動，故，所以波函數(shù)為：（2）振動速度：，把、和、分別代入振動速度表達式，則有：，3-21 一平面簡諧波沿X軸正向傳播，其振幅A=10cm，波的圓頻率=7rad·s-1，當t=1.0s時，x=10cm處的a質(zhì)點正通過其平衡位置向Y軸負方向運動，而x=20cm處的B質(zhì)點正通過Y=5.0cm點向Y軸正方向運動。設該波的波長10cm，求該平面波的表達式。解：由題意和旋轉(zhuǎn)矢量法可知在s時，質(zhì)點的相位為，質(zhì)點相位為，、兩質(zhì)點為相差為，所以該波的波長：，即cm，設該平面波的的表達式為：，因為s時，質(zhì)點的相位為，所以，所以該平面波的的表達式為：3-22 一簡諧波沿正向傳播，波長，周期，已知處質(zhì)點的振動曲線如圖所示。（1）寫出處質(zhì)點的振動方程；（2）寫出波的表達式；（3）畫出時刻的波形曲線。解：（1）設處的質(zhì)點的振動方程為：，其中，由振動曲線圖可知，當時，因此，且時，處質(zhì)點向下振動，即，所以x/my/m1O-10.5u2/3所以處的質(zhì)點的振動方程為：。（2）波的表達式為：（3）時刻的波形方程為：，波形曲線如圖所示3-23 比較簡諧振動能量與簡諧波波動能量特征，若簡諧波傳播時某體積元的的動能為0.2J,則勢能多少？總能量多少？答：簡諧振動的能量守恒，即振動的動能與勢能的代數(shù)和不變；而簡諧波傳播時某體積元的動能與勢能總是相等，固當某質(zhì)元的動能為時，其勢能也為，其總能為動能與勢能的代數(shù)和，即。3-24 一平面簡諧聲波在空氣中傳播，波速，頻率為。到達人耳時，振幅，試求人耳接收到聲波的聲強的大??？此時聲強相當于多少分貝？已知空氣密度。解：質(zhì)點的圓頻率為：(rad/s)，聲波的平均能量密度為：(J/m3)，平均能流密度為：(W/m2)，標準聲強為：(W/m2)，此聲強的分貝數(shù)為：(dB)。3-25 與為兩相干波源，光強均為I0,相距波長，比的位相超前。問、連線上在外側各點的合成波的光強如何？又在外側各點的光強如何？xS1xS2/4x解：合成波的光強正比于振幅的平方，即如圖所示，設S1在其左側產(chǎn)生的波的波動方程為：，那么S2在S1左側產(chǎn)生的波的波動方程為：，由于兩波源在任意點x產(chǎn)生振動反相，所以合振幅為零，所以合成波的光強為0。S1在S2右側產(chǎn)生的波的波動方程為：，那么S2在其右側產(chǎn)生的波的波動方程為：，由于兩波源在任意點x產(chǎn)生振動同相，所以合振幅為單一振動的兩倍，所以合成波的光強為。3-26 簡述駐波的形成條件和特點（提示：突出駐的含義）；查找資料，探索駐波在本專業(yè)的應用有哪些？答：在同一介質(zhì)中兩列振幅相同的相干波，沿同一直線相向傳播時，產(chǎn)生特殊的干涉現(xiàn)象，疊加形成的波叫駐波。駐波沒有波形和能量的傳播，其實質(zhì)為各質(zhì)元做振幅不等的簡諧振動，振幅最大的質(zhì)元位置為波腹，振幅最小的質(zhì)元位置為波節(jié)，波腹只有動能，波節(jié)只有勢能，能量只在相鄰波節(jié)與波腹間相互轉(zhuǎn)化。3-27 一條琴弦上產(chǎn)生駐波，相鄰節(jié)點間的距離為65cm，弦的振動頻率為，求波的傳播速度和波長。解：相鄰波節(jié)之間的距離為，所以波長(cm)，波速：(m/s)3-28 兩波在一很長的弦線上傳播，設其表達式為， 用厘米、克、秒（cm、g、s）制單位，求： （1）各波的頻率、波長、波速；（2）節(jié)點的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？解：（1）對比波函數(shù)的標準形式：可知，波的頻率：(Hz)；波長：(cm)；波速：(cm/s)。（2）駐波方程為：波節(jié)位置為：，則(cm), 其中（3）振幅最大的位置即為波腹位置：，則(cm)， 其中3- 29 海面上波浪的波長為120m，周期為10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪開行，它橦擊海浪的頻率是多大？多長時間橦擊一次？如果它順浪開行，它橦擊海浪的頻率又是多大？多長時間橦擊一次？解：海浪的波速：(m/s)，海浪的頻率：(Hz)，快艇迎浪開行，則撞擊海浪的頻率為：(Hz)，撞擊間隔：(s)；快艇順浪開行，則撞擊海浪的頻率為：(Hz)，撞擊間隔：(s)；3-30 一聲源的頻率為1080Hz，相對地面以30m·s-1速率向右運動。在其右方有一反射面相對地面以的速率向左運行。設空氣中聲速為。求：（1）聲源在空氣中發(fā)出的聲音的波長；（2）反射回的聲音的頻率和波長。解：（1）聲音在聲源垂直方向的波長為：(m)，在聲源前方的波長為：(m)，在聲源后方的波長為：(m)。（2）反射面接收到的頻率為：= 1421(Hz)將反射面作為波源，其頻率為，反射聲音的頻率為= 1768(Hz)反射聲音的波長為：=0.1872(m)。3-31 動脈內(nèi)血液的流速一般是0.32m/s，今沿血流方向發(fā)射4.0MHz的超聲波，該紅血球反射的回波振動與原發(fā)波振動所形成的拍頻是多少？已知聲波在人體內(nèi)的傳播速度為。解：紅血球接收到的超聲波頻率為：(Hz)紅血球作為反射源反射回的超聲波頻率為：(Hz)拍頻：（(Hz)15教學f