電動力學答案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與向量性，推導下列公式： 2. 設(shè)是空間坐標的函數(shù)，證明：， ， 證明：3. 設(shè)為源點到場點的距離，的方向規(guī)定為從源點指向場點。（1）證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均為常向量。4. 應用高斯定理證明，應用斯托克斯（Stokes）定理證明5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：6. 若m是常向量，證明除點以外，向量的旋度等于標量的梯度的負值，即，其中R為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。7. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。8. 內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流。9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反(但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動勢為E 的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介質(zhì)是漏電的，電導率分別為和 當電流達到恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何？)12.證明：（1）當兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。（2）當兩種導電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的電導率。13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況下，導體內(nèi)電場線總是平行于導體表面。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，板間填充電導率為的非磁性物質(zhì)。（1）證明在介質(zhì)中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）求隨時間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度。（4）求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。第二章 靜電場1. 一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強度為，電容率為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。2. 在均勻外電場中置入半徑為的導體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（1）導體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導體球上帶總電荷3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。4. 均勻介質(zhì)球（電容率為）的中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為），求空間各點的電勢和極化電荷分布。5. 空心導體球殼的內(nèi)外半徑為和，球中心置一偶極子球殼上帶電，求空間各點的電勢和電荷分布。6. 在均勻外電場中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球（電容率為），求空間各點的電勢。7. 在一很大的電解槽中充滿電導率為的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個電導率為的小球，求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布，討論及兩種情況的電流分布的特點。8. 半徑為的導體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導體球接地，離球心為a處（a >）置一點電荷，試用分離變量法求空間各點電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。9.接地的空心導體球的內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為a處(a <)置一點電荷。用鏡像法求電勢。導體球上的感應電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？10. 上題的導體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢，試求這兩種情況的電勢。又問與是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的？11. 在接地的導體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電象法求空間電勢。12. 有一點電荷Q位于兩個互相垂直的接地導體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b， 求空間電勢。13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導率為的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點分別置正負電極并通以電流I，求導電液體中的電勢。14. 畫出函數(shù)的圖，說明是一個位于原點的偶極子的電荷密度。15. 證明：（1） ，（若，結(jié)果如何？）（2）16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為，試證明以上兩表達式是等同的。 17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負面電荷密度±而靠的很近的兩個面，形成面偶極層，而偶極矩密度）18. 一個半徑為R0 的球面，在球坐標的半球面上電勢為在的半球面上電勢為，求空間各點電勢。提示：，第三章 靜磁場1. 試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。2. 均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數(shù)為n，電流強度I，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應強度。3. 設(shè)有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導率為的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度，然后求出磁化電流分布。4. 設(shè)x<0半空間充滿磁導率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。在柱坐標原點附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗證所得結(jié)果滿足。6. 兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應強度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的L和a的關(guān)系。提示：用條件7. 半徑為a的無限長圓柱導體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設(shè)導體的磁導率為，導體外的磁導率為。8. 假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場強度為。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。9. 將一磁導率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內(nèi)，求總磁感應強度和誘導磁矩m。(對比P49靜電場的例子。)10. 有一個內(nèi)外半徑為和的空心球，位于均勻外磁場內(nèi)，球的磁導率為，求空腔內(nèi)的場，討論時的磁屏蔽作用。11. 設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為，其中是恒定的與無關(guān)的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球（為常值）浸入磁導率為的無限介質(zhì)中，求磁感應強度和磁化電流分布。12. 將上題的永磁球置入均勻外磁場中，結(jié)果如何？13. 有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動，求球內(nèi)外的磁場。提示：本題通過解或的方程都可以解決，也可以比較本題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為，半徑為，它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動量之比（設(shè)質(zhì)量M0是均勻分布的）。15. 有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導率非常大的實物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力。第四章 電磁波的傳播1. 考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為和的線偏振平面波，它們都沿z軸方向傳播。（1）求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個波。（2）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。2. 一平面電磁波以45°從真空入射到的介質(zhì)，電場強度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。3. 有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60°，證明這時將會發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃?。設(shè)該波在空氣中的波長為cm，水的折射率為n=1.33。4. 頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時，若仍按變化，但不再與平行（即不成立）。（1）證明，但一般。（2）證明。（3）證明能流S與波矢k一般不在同一方向上。5. 有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振？6. 平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁帷?. 已知海水的，S·m-1，試計算頻率為50，106和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質(zhì)表面上，入射角為。求導電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何？提示：導電介質(zhì)中的波矢量，只有z分量。（為什么？）9. 無限長的矩形波導管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導體平板完全封閉，求在到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。10. 電磁波在波導管中沿z方向傳播，試使用及證明電磁場所有分量都可用及這兩個分量表示。11. 寫出矩形波導管內(nèi)磁場滿足的方程及邊界條件。12. 論證矩形波導管內(nèi)不存在TMm0或TM0n波。13. 頻率為Hz的微波，在的矩形波導管中能以什么波模傳播？在的矩形波導管中能以什么波模傳播？14. 一對無限大的平行理想導體板，相距為b，電磁波沿平行于板面的z方向傳播，設(shè)波在x方向是均勻的，求可能傳播的波模和每種波模的截止頻率。15. 證明整個諧振腔內(nèi)的電場能量和磁場能量對時間的平均值總相等。26教學f