由物系的多樣化，引出僅由桿件組成的系統(tǒng)桁架,3.5 桁架,桁架中桿件與桿件相連接的鉸鏈，稱為節(jié)點(diǎn)。,節(jié)點(diǎn),工程中的桁架結(jié)構(gòu),平面桁架 平面結(jié)構(gòu)， 載荷作用在結(jié)構(gòu) 平面內(nèi)；,桁架分類,桁架分類,空間桁架 結(jié)構(gòu)是空間的 結(jié)構(gòu)是平面的， 載荷與結(jié)構(gòu)不共面。,本節(jié)我們只研 究平面桁架,基本假定： 1.桁架中所有的桿件均是直桿。 2. 各直桿兩端均以光滑鉸鏈連接 3. 所有荷載在桁架平面內(nèi)，作用于節(jié)點(diǎn)上； 4. 桿的自重不計(jì)，如果桿自重需考慮時(shí)，也 將其等效加于兩端節(jié)點(diǎn)上；,力學(xué)中的桁架模型,力學(xué)中的桁架模型,構(gòu)建桁架的基本原則：組 成桁架的桿件只承受拉力 或壓力。,二力桿組成桁架的基本 構(gòu)件。,力學(xué)中的簡(jiǎn)單桁架模型,(a),( 基本三角形) 三角形有穩(wěn)定性,三、按幾何組成分類：,懸臂型簡(jiǎn)單桁架,簡(jiǎn)支型簡(jiǎn)單桁架,1、簡(jiǎn)單桁架在基礎(chǔ)或一個(gè)鉸結(jié)三角形上，每次用不在一條直線上的兩個(gè)鏈桿連接一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，按照這個(gè)規(guī)律組成的桁架。,2、聯(lián)合桁架由簡(jiǎn)單桁架按基本組成規(guī)則構(gòu)成桁架,3、復(fù)雜桁架非上述兩種方式組成的靜定桁架,一、節(jié)點(diǎn)法,以各個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象的求解方法，稱節(jié)點(diǎn)法,只要是能靠二元體的方式擴(kuò)大的結(jié)構(gòu)，就可用節(jié)點(diǎn)法求出全部桿內(nèi)力,一般來(lái)說(shuō)節(jié)點(diǎn)法適合計(jì)算簡(jiǎn)單桁架。,注意：,隔離體只包含一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，隔離體上受到的是平面匯交力系，應(yīng)用兩個(gè)獨(dú)立的投影方程求解，固一般應(yīng)先截取只包含兩個(gè)未知軸力桿件的節(jié)點(diǎn)。,1、由于桁架桿是二力桿，為方便計(jì)算常將斜桿的軸力雙向分解處理，避免使用三角函數(shù)。,分析時(shí)的注意事項(xiàng)：,2、假設(shè)拉力為正,解：研究整體，求支座反力,依次取A、C、D節(jié)點(diǎn)研究，計(jì)算各桿內(nèi)力。,NA+YB-P=0,2、 截面法,適用范圍：聯(lián)合桁架的計(jì)算和簡(jiǎn)單桁架中少數(shù)指定桿件的計(jì)算。,1、隔離體上的力是一個(gè)平面任意力系,可列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。 2、取隔離體時(shí)一般切斷的未知軸力的桿件不宜多于三根。 被截三桿應(yīng)不交于一點(diǎn)或不互相平行。,截面法：用截面切斷擬求內(nèi)力的桿件，從桁架中截出一部分作為隔離體，來(lái)計(jì)算桿件內(nèi)力。,解： 研究整體求支反力,二、截面法,例 已知：如圖,h,a,P 求：4，5，6桿的內(nèi)力。,A,由MA=0,YA+S5sin-P=0 S5=0,S6+S5cos+S4+XA=0 S6=Pa/h,XA=0,MB=0,FX=0,YA=P,-YA3a+P2a+Pa=0,FY=0,FX=0,說(shuō)明 ： 節(jié)點(diǎn)法：用于設(shè)計(jì)，計(jì)算全部桿內(nèi)力 截面法：用于校核，計(jì)算部分桿內(nèi)力 先把桿都設(shè)為拉力,計(jì)算結(jié)果為負(fù)時(shí),說(shuō)明是壓力,與所設(shè)方向相反。,三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在 一條直線上，另一桿必為零桿,兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在 一條直線上時(shí)，該兩桿是零桿。,三、特殊桿件的內(nèi)力判斷,前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。 例,6-2 摩擦,平衡必計(jì)摩擦,摩擦的類別：,當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力、最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。 若僅有滑動(dòng)趨勢(shì)而沒(méi)有滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。,3.6.1 滑動(dòng)摩擦,1、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)（趨勢(shì)）時(shí)，其接觸面 產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。 （ 就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束反力）,2、狀態(tài)： 靜止： 臨界：（將滑未滑） 滑動(dòng)：,一、靜滑動(dòng)摩擦力,所以增大摩擦力的途徑為：加大正壓力N, 加大摩擦系數(shù)f,（f 靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)）,（f 動(dòng)摩擦系數(shù)）,二、動(dòng)滑動(dòng)摩擦力：（與靜滑動(dòng)摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動(dòng)） 大小： （無(wú)平衡范圍） 動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反 定律： （f 只與材料和表面情況有 關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）,3、 特征： 大?。海ㄆ胶夥秶M足 靜摩擦力特征：方向：與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反 定律：（ f 只與材料和表面情況有 關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）,三、摩擦角： 定義：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值 時(shí)其全反力 與法線的夾角 叫做摩擦角。,計(jì)算：,(1)如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無(wú)論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線間的夾角q < jf，因此， FR和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q = j < jf 。,自鎖現(xiàn)象,(2) 如果全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角j之外，則無(wú)論這個(gè)力怎樣小，物塊一定會(huì)滑動(dòng)。因?yàn)樵谶@種情況下，q j f，而j j f ，支承面的全約束反力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。,四、自鎖 定義：當(dāng)m時(shí)，不論主動(dòng)力的合力FQ多大，全約束力總能與其平衡，所以物體將保持靜止不動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為自鎖。,考慮摩擦?xí)r平衡問(wèn)題的特點(diǎn), 對(duì)于第一類平衡問(wèn)題，即F F max ，求約束力，與一般平衡問(wèn)題一樣，摩 擦力作為約束力，其方向可以假設(shè)。 對(duì)于第二類平衡問(wèn)題，即F F max ，要求確定平衡或不平衡條件，這時(shí)必 須根據(jù)滑動(dòng)趨勢(shì)正確確定滑動(dòng)摩擦力的 方向，而不能任意假設(shè)。,五、考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題,考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題，一般是對(duì)臨界狀態(tài)求解，這時(shí)可列出 的補(bǔ)充方程。其它解法與平面任意力系相同。只是平衡常是一個(gè)范圍,（從例子說(shuō)明）。,例1 已知：a =30，G =100N，f =0.2 求：物體靜止時(shí)， 水平力Q的平衡范圍。當(dāng)水平力Q = 60N時(shí)，物體能否平衡？,五、考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題,解：先求使物體不致于上滑的 圖(1),同理： 再求使物體不致下滑的 圖(2),解得：,平衡范圍應(yīng)是,由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，下圖的受力分析看出一個(gè)問(wèn)題，即此物體平衡，但沒(méi)有完全滿足平衡方程。,Q與F形成主動(dòng)力偶使前滾,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，如圖：,六、 滾動(dòng)摩擦,滾阻力偶與主動(dòng)力偶（Q,F）相平衡,阻止物體間相互滾動(dòng)的力偶M稱為滾動(dòng)摩擦力偶，簡(jiǎn)稱滾阻力偶,結(jié)論與討論,為什么滾動(dòng)比滑動(dòng)省力,滑動(dòng)摩擦力是阻力,滑動(dòng)摩擦力是驅(qū)動(dòng)力,第四章材料力學(xué),目錄,4-1 材料力學(xué)的任務(wù),結(jié)構(gòu)物(機(jī)械)由構(gòu)件(零件)組成。,一、基本概念,1.結(jié)構(gòu)（機(jī)械）和構(gòu)件（零件）, 4-1 材料力學(xué)的任務(wù),主架、吊臂、操作室、配重。,彈性變形,塑性變形, 4-1 材料力學(xué)的任務(wù),2.變形:,彈性變形和塑性變形,材料力學(xué)是在彈性變形的范圍內(nèi)研究構(gòu)件的承載能力。,彈性變形 隨外力解除而消失,塑性變形(殘余變形) 外力解除后不能消失,3.構(gòu)件的承載能力,. 具有足夠的強(qiáng)度構(gòu)件抵抗破壞的能力。,破壞形式：斷裂或者產(chǎn)生明顯的塑性變形,. 具有足夠的剛度荷載作用下構(gòu)件的彈性變形不超過(guò)工程允許范圍。, 5-1 材料力學(xué)的任務(wù),理想中心壓桿,. 滿足穩(wěn)定性要求對(duì)于理想中心壓桿是指荷載作用下桿件能保持原有形式的平衡。,1.材料力學(xué)的任務(wù)：滿足上述強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求同時(shí)，為構(gòu)件確定合理的截面尺寸和形狀，盡可能選用合適材料和降低材料消耗量，以節(jié)約投資成本。（安全與經(jīng)濟(jì)）。,二、材料力學(xué)的任務(wù),A4復(fù)印紙?jiān)谧灾刈饔孟庐a(chǎn)生明顯變形,折疊后變形明顯減小,2.生活實(shí)例,4.2 變形固體的基本假設(shè),1、連續(xù)性假設(shè)： 認(rèn)為整個(gè)物體體積內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿物質(zhì),在外力作用下，一切固體都將發(fā)生變形，故稱為變形固體。在材料力學(xué)中，對(duì)變形固體作如下假設(shè)：,目錄,灰口鑄鐵的顯微組織,球墨鑄鐵的顯微組織,2、均勻性假設(shè)： 認(rèn)為物體內(nèi)的任何部分，其力學(xué)性能相同,4.2 變形固體的基本假設(shè),普通鋼材的顯微組織,優(yōu)質(zhì)鋼材的顯微組織,目錄,4.2 變形固體的基本假設(shè),如右圖，遠(yuǎn)小于構(gòu)件的最小尺寸，所以通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡求各桿內(nèi)力時(shí)，把支架的變形略去不計(jì)。計(jì)算得到很大的簡(jiǎn)化。,4、小變形假設(shè),3、各向同性假設(shè)： 認(rèn)為在物體內(nèi)各個(gè)不同方向的力學(xué)性能相同,（沿不同方向力學(xué)性能不同的材料稱為各向異性材料。如木材、膠合板、纖維增強(qiáng)材料等）,認(rèn)為構(gòu)件的變形極其微小， 比構(gòu)件本身尺寸要小得多。,構(gòu)件的分類：桿件、板殼*、塊體*,4.3 桿件變形的基本形式,材料力學(xué)主要研究桿件,等截面直桿,等直桿,一、材料力學(xué)的研究對(duì)象,直桿 軸線為直線的桿,曲桿 軸線為曲線的桿,目錄,軸線:桿件各橫截面的連線,一、拉伸（或壓縮）：由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對(duì)外力引起。使桿件產(chǎn)生軸向伸長(zhǎng)（或壓縮）變形。,4.3 桿件的受力與變形形式,桿件變形形式,軸向拉伸（或壓縮）、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲、組合變形,4.3 桿件的受力與變形形式,二、剪切：由大小相等，方向相反，相互平行，沿垂直于桿軸線橫向作用的一對(duì)外力引起。使桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的變形。,F,F,外 力,4.3 桿件的受力與變形形式,三、扭轉(zhuǎn)：由大小相等，轉(zhuǎn)向相反，作用面垂直于桿軸的兩個(gè)力偶引起。使桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。,T,T,力 偶,四、彎曲：由垂直于桿件軸線的橫向力，或者由作用于包含桿軸縱平面內(nèi)的一對(duì)大小相等、方向相反的力偶引起。使桿件發(fā)生彎曲變形。,4.3 桿件的受力與變形形式,五、組合變形：由上述變形兩種或兩種以上共同作用形成的受力與變形。,4.3 桿件的受力與變形形式,作用在桿件上的外力大小相等、方向相反、合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。,拉（壓）桿的受力簡(jiǎn)圖,5.1 軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例,目 錄,受力特點(diǎn)與變形特點(diǎn)：,二、內(nèi)力,這種因外力作用而引起的桿件各點(diǎn)間產(chǎn)生相對(duì)位移的力稱為附加內(nèi)力，即材料力學(xué)要研究的內(nèi)力。,1. 內(nèi)力的概念,2. 內(nèi)力的特點(diǎn), 內(nèi)力隨著外力的產(chǎn)生而產(chǎn)生 材料力學(xué)的內(nèi)力不同于靜力學(xué)的內(nèi)力, 5-2 外力、內(nèi)力與截面法,求內(nèi)力的一般方法截面法,（1）截開(kāi)；,（3）代替；,步驟：,8-2 軸力與軸力圖,（2）丟棄；,可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均與桿件的軸線重合，因而稱之為軸力，用記號(hào)FN表示。,（3）平衡。,引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正拉力（背離截面）； 引起壓縮變形的軸力為負(fù)壓力（指向截面）。,軸力的符號(hào)規(guī)定:,(a),用截面法法求內(nèi)力的過(guò)程中，在截面取分離體前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系替代。,注意：,例：,圖示懸臂桿，沿軸線方向的作用力為：FB=40kN， FC =55kN， FD =25kN， FE =20kN 。試求圖示指定截面的內(nèi)力。,解：,1、先求約束反力,2、求指定截面的軸力,截面1-1：,截面2-2：,截面3-3：,截面4-4：,用 平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，稱為 軸力圖 . 將正的軸力畫(huà)在x軸上側(cè)，負(fù)的畫(huà)在x軸下側(cè).,反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀； 確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。,五、軸力圖,3.1kN,2.9kN,3.1kN,2.9kN,6kN,一等直桿其受力情況如圖所示， 作桿的軸力圖.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,軸力圖例題1,解: 求支座反力,軸力圖例題1,求AB段內(nèi)的軸力,FN1,軸力圖例題1,求BC段內(nèi)的軸力,20kN,軸力圖例題1,求CD段內(nèi)的軸力,C,A,B,D,E,軸力圖例題1,求DE段內(nèi)的軸力,軸力圖例題1,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （壓力）FN4=20kN （拉力）,發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上,軸力圖例題1,1. 與桿平行對(duì)齊畫(huà) 2. 正確畫(huà)出內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律 3. 標(biāo)明內(nèi)力的符號(hào) 4. 標(biāo)明內(nèi)力單位,軸力注意事項(xiàng),（1）平均應(yīng)力 (A上平均內(nèi)力集度),（2）實(shí)際應(yīng)力,應(yīng)力的表示：,5.3 拉壓桿應(yīng)力,P-總應(yīng)力,（3）應(yīng)力分解,應(yīng)力單位為Pa = N/m2,材料的均勻連續(xù)性假設(shè)，可知所有縱向纖維的力學(xué)性能相同,軸向拉壓時(shí)，橫截面上只有正應(yīng)力，且均勻分布,橫截面上有正應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力,一、拉壓桿橫截面上的應(yīng)力,一橫截面為正方形的磚柱分上，下兩段，其受力情況，各段長(zhǎng)度及橫截面面積如圖所示. 已知F = 50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力.,解：(1)作軸力圖,拉壓應(yīng)力-例題1,(2) 求應(yīng)力,結(jié)論： 在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力.,拉壓應(yīng)力-例題1,5.3.1 圣維南原理,外力作用于桿端的方式不同，只會(huì)使與桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。,5.3.2 應(yīng)力集中,截面突變處附近區(qū)域，應(yīng)力出現(xiàn)較大峰值的現(xiàn)象。, 應(yīng)力集中系數(shù),二、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力,斜截面上總應(yīng)力,斜截面正應(yīng)力,斜截面切應(yīng)力,1. 縱向變形及線應(yīng)變,線應(yīng)變（相對(duì)變形）：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的線變形,絕對(duì)變形：,l,l,四、 拉、壓桿的變形及胡克定理,3、胡克定律,實(shí)驗(yàn)證明： 當(dāng)正應(yīng)力小于某一極限值（比例極限）時(shí)，正應(yīng)力與正應(yīng)變存在線性關(guān)系，即： E 稱為胡克定律，E為彈性模量， 常用單位：GPa、Pa,=E,物理意義：材料抵抗彈性變形的能力。,同理，切應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變也存在線性關(guān)系，即： 此為剪切胡克定律，G為剪切模量，常用單位：GPa、MPa 1GPa=103MPa; 1MPa=1N/mm2=106 pa,上式就是軸向拉壓變形計(jì)算公式，也可以說(shuō)是胡克定律。,五、軸向拉壓變形計(jì)算,O,FN,10kN,20kN,x,例1 圖示階梯桿，已知橫截面面積AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，彈性模量E=200GPa。試求桿的總伸長(zhǎng)。,解 1）作軸力圖。用截面法求得CD段和BC段的軸力FNCD=FNBC=-10kN，AB段的軸力為FNAB=20kN，畫(huà)出桿的軸力圖 。,2）計(jì)算各段桿的變形量,=-0.01mm,3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng) l = lAB+ lBC+ lCD =(0.02-0.01-0.025) mm-0.015mm 計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明桿的總變形為縮短。,2. 橫向變形,l,l,橫向線應(yīng)變,則,當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí),1.力學(xué)性能又稱機(jī)械性能，指材料在外力作用下表現(xiàn)出的破壞和變形等方面的特性。 2.研究力學(xué)性能的目的確定材料破壞和變形方面的重要性能指標(biāo)，以作為強(qiáng)度和變形計(jì)算的依據(jù)。 3.研究力學(xué)性能的方法試驗(yàn)。,一、力學(xué)性能,(1) 常溫: 室內(nèi)溫度 (2) 靜載: 以緩慢平穩(wěn)的方式加載 (3)標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件,(1)萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī) (2)游標(biāo)卡尺,二、材料的拉伸壓縮試驗(yàn),1.試驗(yàn)條件,2.試驗(yàn)設(shè)備,國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定金屬拉伸試驗(yàn)方法（GB2282002),L=10d L=5d,對(duì)圓截面試樣：,對(duì)矩形截面試樣：,二、材料的拉伸試驗(yàn),2.試驗(yàn)試樣,二、材料的拉伸試驗(yàn),2. 萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī),二、材料的拉伸試驗(yàn),1. 拉伸圖 ( F- l 曲線 ),拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān)。 為了消除試樣尺寸的影響， 把拉力F除以試樣的原始面積A， 得正應(yīng)力；同時(shí)把 l 除以標(biāo)距 的原始長(zhǎng)度l ,得到應(yīng)變。,表示F和 l關(guān)系的曲線， 稱為拉伸圖,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,2. 應(yīng)力應(yīng)變圖 表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖。,=F/A 名義應(yīng)力 ； =l / l 名義應(yīng)變； A初始橫截面面積； l 原長(zhǎng),三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,比例階段： p 胡克定律 = E E彈性模量 單位：N/, GPa,特征應(yīng)力：比例極限p,彈性極限e,特點(diǎn)：變形是完全彈性的,彈性階段,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,特點(diǎn)：材料失去抵抗變形的能力屈服(流動(dòng)） 特征應(yīng)力：屈服極限s,滑移線： 方位與軸線成45,原因最大切應(yīng)力,機(jī)理晶格滑移,屈服階段,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,特點(diǎn)：材料恢復(fù)變形抗力， 特征應(yīng)力：強(qiáng)度極限b,強(qiáng)化階段,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,滑移線消失，試件明顯變細(xì)。,頸縮階段（局部變形階段）,特征：頸縮現(xiàn)象 斷口：杯口狀,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,低碳鋼拉伸時(shí)明顯的四個(gè)階段,1、彈性階段ob,比例極限,彈性極限,2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）,屈服極限,3、強(qiáng)化階段cd（恢復(fù)抵抗變形的能力）,強(qiáng)度極限,4、局部徑縮階段ef,三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能,實(shí)驗(yàn)表明，如果將試件拉伸到超過(guò)屈服點(diǎn)s后的一點(diǎn)，如圖中F點(diǎn)，然后緩慢地卸載。這是會(huì)發(fā)現(xiàn)，卸載過(guò)程中試件的應(yīng)力應(yīng)變保持直線關(guān)系，沿著與OA近似平行的直線FG回到G點(diǎn)，而不是沿原來(lái)的加載曲線回到O點(diǎn)。,F,A,H,O,G,此現(xiàn)象稱為 冷作硬化。 冷作硬化就是不經(jīng)過(guò)熱處理，只是冷拉到強(qiáng)化階段某應(yīng)力值后就卸載，以提高材料比例極限的方法。,意義：工程上可用冷作硬化來(lái)提高某些構(gòu)件的承載能力，如預(yù)應(yīng)力鋼筋、鋼絲繩等。,5.伸長(zhǎng)率和斷面收縮率（塑性指標(biāo)）,常用塑性指標(biāo)：,延伸率,截面收縮率, 5% 塑性材料, < 5% 脆性材料,、 越大，說(shuō)明材料的塑性性能越好。,O,錳鋼,硬鋁,退火球墨鑄鐵,低碳鋼,其它金屬材料的拉伸試驗(yàn)和低碳鋼拉伸試驗(yàn)相同，但材料所顯示的力學(xué)性能有很大的差異。圖中給出了錳鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。這些都是塑性材料，但前三種材料沒(méi)有明顯的屈服階段。,2、沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能,對(duì)于沒(méi)有明顯屈服點(diǎn)的塑性材料，工程上規(guī)定，取對(duì)應(yīng)于試件產(chǎn)生0.2的塑性應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值為材料的名義屈服強(qiáng)度，以0.2表示。,/%,O 0.2 0.4 0.6,125 100 75 50 25,/MPa,0.2,鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。由圖可見(jiàn)， -曲線。它沒(méi)有明顯的直線部分，既無(wú)屈服階段，亦無(wú)縮頸現(xiàn)象；拉伸強(qiáng)度b是衡量其強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。斷裂時(shí)應(yīng)變通常只有0.40.5，斷口垂直于試件軸線。因鑄鐵構(gòu)件在實(shí)際使用的應(yīng)力范圍內(nèi)，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線的曲率很小，實(shí)際計(jì)算時(shí)常近似地以直線(圖中的虛線)代替。鑄鐵的伸長(zhǎng)率通常只有0.40.6，是典型的脆性材料。,/%,O 0.15 0.30 0.45,125 100 75 50 25,/MPa,鑄鐵 - 曲線,b,3、鑄鐵在拉伸時(shí)的力學(xué)性能,三、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能,金屬的壓縮試樣常制成短的圓柱，圓柱的高度約為直徑的1.53倍。,/%,O 5 10 15 20,500 400 300 200 100,低碳鋼 - 曲線,/MPa,p,y,拉伸,壓縮,FP,低碳鋼壓縮的-曲線。試驗(yàn)表明，低碳鋼等塑性材料壓縮時(shí)的彈性模量E和屈服應(yīng)力s 都與拉伸時(shí)基本相同。屈服階段以后，試樣越壓越扁。,進(jìn)入強(qiáng)化階段后，兩曲線逐漸分離，壓縮曲線上升，此時(shí)測(cè)不出材料的抗壓強(qiáng)度極限。這是因?yàn)槌^(guò)屈服點(diǎn)后試樣被越壓越扁，橫截面面積不斷增大的緣故。, /%,O 2 4 6 8 10 12,600 500 400 300 200 100,鑄鐵 - 曲線, /MPa,拉伸,壓縮,FP,鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖。黑線為拉伸時(shí)的-曲線?？梢钥闯觯T鐵壓縮時(shí)的-曲線也沒(méi)有直線部分。因此，壓縮時(shí)也只是近似地服從胡克定律。鑄鐵壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高出45倍。,對(duì)于其他脆性材料，如硅石、水泥、混凝土等，其抗壓能力也顯著地高于抗拉能力。一般脆性材料的價(jià)格較便宜，因此，工程上常用脆性材料做承壓構(gòu)件。, 應(yīng)力松弛 材料在總應(yīng)變保持不變時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間自行降低的現(xiàn)象。（預(yù)緊力）, 蠕變 材料在某恒定高溫和應(yīng)力下，即使應(yīng)力低于彈性極限，也會(huì)隨時(shí)間發(fā)生緩慢的塑性變形的現(xiàn)象。與應(yīng)力和溫度成正比。,一.高溫、長(zhǎng)期靜載下：,溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響,1. 材料的極限應(yīng)力,極限應(yīng)力u 材料強(qiáng)度遭到破壞時(shí)的應(yīng)力。,破壞： 斷裂、過(guò)大塑性變形失效,脆性材料 u =b,塑性材料 u=s,5.6 軸向拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于極限應(yīng)力的原因： 1、構(gòu)建所承受的荷載不可能計(jì)算得很準(zhǔn)確，或有偶然的超載。 2、對(duì)構(gòu)件進(jìn)行力學(xué)分析和計(jì)算時(shí)需要經(jīng)過(guò)一定的簡(jiǎn)化，不能完全反應(yīng)實(shí)際情況，所得的應(yīng)力只是近似的。 3、實(shí)際的材料不可能完全均勻連續(xù)，而存在各種因素引起的缺陷，使得構(gòu)件材料的極限應(yīng)力與試樣測(cè)得的統(tǒng)計(jì)平均值存在一定的差異。 4、構(gòu)件在工作過(guò)程中可能受到磨損或腐蝕，使構(gòu)件中的應(yīng)力增加。,2. 許用應(yīng)力、安全系數(shù),n 1 安全系數(shù), 許用應(yīng)力,塑性材料,脆性材料,b,bl,l,n,s,s,=,安全系數(shù)或許用應(yīng)力的選定應(yīng)根據(jù)有關(guān)規(guī)定或查閱國(guó)家有關(guān)規(guī)范或設(shè)計(jì)手冊(cè).通常在靜荷設(shè)計(jì)中取:,安全系數(shù)的選取要考慮的主要因素有:,1.材料的品質(zhì)：包括材質(zhì)和均勻度，是塑性材料還是脆性材料。 2.載荷情況：包括對(duì)荷載的估計(jì)情況，是靜荷載還是動(dòng)荷載等 3.構(gòu)件的計(jì)算簡(jiǎn)圖和計(jì)算方法的精確程度; 4.構(gòu)件在設(shè)備中的工作條件和重要性； 5.對(duì)減輕設(shè)備自重和提高設(shè)備機(jī)動(dòng)性的要求。,ns = 1.52.5, 有時(shí)可取ns = 1.251.50,nb = 23.5, 有時(shí)甚至大于3.5以上.,為了保證拉（壓）桿的正常工作，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力max不超過(guò)材料的拉伸或壓縮許用應(yīng)力 。即,二、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件,式中，F(xiàn)N和A分別為危險(xiǎn)截面上的軸力與其橫截面面積。 該式稱為拉(壓)桿的強(qiáng)度條件。根據(jù)強(qiáng)度條件，可解決下列三種強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題：,三、強(qiáng)度條件的應(yīng)用:,(1) 強(qiáng)度校核,已知外力，桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。驗(yàn)算桿件是否安全。,(2) 設(shè)計(jì)橫截面尺寸,(3) 確定許可載荷,已知外力，材料，桿件橫截面的形狀。設(shè)計(jì)桿件橫截面的尺寸。,已知桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。求桿件所能承受的最大載荷。,例1. 已知一圓桿受拉力F =25kN，直徑d =14mm，材料的許用應(yīng)力為=170MPa。試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求。,解： (1)求軸力,FN= 25kN,(2)求最大的正應(yīng)力,(3)校核強(qiáng)度,故拉桿安全。,例2. 曲柄連桿機(jī)構(gòu)。當(dāng)連桿接近水平時(shí)，F(xiàn)=3780kN,連桿橫截面為矩形，h/b=1.4,材料的許用應(yīng)力為=90MPa。試設(shè)計(jì)連桿的橫截面尺寸h和b。,F=3780kN，h/b=1.4, =90MPa。,解： (1)求軸力,FN= -3780kN,(2)求橫截面面積A,(3)求尺寸h、b,例3. 兩桿桁架如圖所示，桿件AB 由兩個(gè)10號(hào)工字鋼桿構(gòu)成，桿 AC 由兩個(gè)截面為80mm80mm 7mm 的等邊角鋼構(gòu)成， 所有桿件材料均為鋼 Q235，=170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷F。,AB桿10號(hào)工字鋼， AC桿80mm80mm7mm等邊角鋼， =170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷F。,解： (1)求軸力,AB桿10號(hào)工字鋼， AC桿80mm80mm7mm等邊角鋼， =170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷F。,(2)確定兩桿的面積,查表得：,(3)確定許可載荷F,由AC桿確定：,由AB桿確定：,88 簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題,靜定問(wèn)題： 未知力數(shù) 靜力平衡方程數(shù),靜不定問(wèn)題(超靜定問(wèn)題)： 未知力數(shù) 靜力平衡方程數(shù),此時(shí)僅由靜力平衡方程不能求解全部未知量，必須建立補(bǔ)充方程，與靜力平衡方程聯(lián)立求解。,一、靜定與靜不定問(wèn)題,未知力數(shù) 靜力平衡方程數(shù) = 靜不定問(wèn)題的次數(shù)(階數(shù)),由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：n 次靜不定問(wèn)題必須建立 n 個(gè)補(bǔ)充方程。,靜不定問(wèn)題的處理方法：,二、簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題分析舉例,除靜力平衡方程外須尋求其他條件。,材料力學(xué)中從研究變形固體的變形出發(fā)，找出變形與約束的關(guān)系(變形協(xié)調(diào)方程)、變形與受力的關(guān)系(物理方程)，建立變形補(bǔ)充方程，與靜力平衡方程聯(lián)立求解。,靜不定問(wèn)題的類型： 1、外力的未知個(gè)數(shù)超過(guò)靜力學(xué)平衡方程個(gè)數(shù)稱為“外力靜不定問(wèn)題”。 2、內(nèi)力不能完全由靜力學(xué)平衡方程確定稱為“內(nèi)力靜不定問(wèn)題”。 3、內(nèi)力和外力都不能完全由靜力學(xué)平衡方程確定稱為“內(nèi)力和外力靜不定問(wèn)題”。,靜不定問(wèn)題的解題方法：,1. 靜力平衡條件靜力平衡方程；,2.變形幾何關(guān)系變形諧調(diào)條件；,3.物理關(guān)系胡克定律。,變形補(bǔ)充方程,解題步驟：,1. 由靜力平衡條件列出應(yīng)有的靜力平衡方程；,2.根據(jù)變形諧調(diào)條件列出變形幾何方程；,3.根據(jù)胡克定律(或其他物理關(guān)系)建立物理方程；,4.將物理方程代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程，與靜力平 衡方程聯(lián)立求解。,解題關(guān)鍵：又變形諧調(diào)條件建立變形幾何方程。,注意：假設(shè)的各桿軸力必須與變形關(guān)系圖中各桿的變形相一致。,x,FN1,FN2,y,FN3,例,Fx=0，-FN1sin-FN2sin=0 Fy=0，F(xiàn)N3+FN1cos+FN2cos-G=0,解 1)列平衡方程。,2）變形的幾何關(guān)系 設(shè)變形后各桿匯交于A點(diǎn)，則AAl3；由A點(diǎn)作AB的垂線AE，則有EA= l1。在小變形條件下，之BAA，于是變形的幾何關(guān)系為l1l2l3cos。,l1,B,C,1,2,A,D,3,A,l3,E,4）補(bǔ)充方程。將物理關(guān)系式代入幾何方程，得到解該超解定問(wèn)題的補(bǔ)充方程，即為,5）求解各桿軸力。聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和兩個(gè)平衡方程，可得,3)物理關(guān)系。由胡克定律，應(yīng)有,所有構(gòu)件在制造中都會(huì)有一些誤差。這種誤差在靜定結(jié)構(gòu)中不會(huì)引起任何內(nèi)力，而在靜不定結(jié)構(gòu)中則有不同的特點(diǎn)。例如，圖示的三桿桁架結(jié)構(gòu)，若桿3制造時(shí)短了，為了能將三根桿裝配在一起，則必須將桿3拉長(zhǎng)，,一、裝配應(yīng)力,桿l、2壓短。這種強(qiáng)行裝配會(huì)在桿3中產(chǎn)生拉應(yīng)力，而在桿l、2中產(chǎn)生壓應(yīng)力。如誤差較大，這種應(yīng)力會(huì)達(dá)到很大的數(shù)值。這種由于裝配而引起桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力。,裝配應(yīng)力是在載荷作用前結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有的應(yīng)力，因而是一種初應(yīng)力。在工程中，對(duì)于裝配應(yīng)力的存在，有時(shí)是不利的，應(yīng)予以避免；但有時(shí)我們也有意識(shí)地利用它，比如機(jī)械制造中的緊密配合和土木結(jié)構(gòu)中的預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土等等。,例題： 圖 示等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承 的距離（即桿長(zhǎng)）為 l，桿的橫截面面積為 A，材料的彈性模量為 E，線膨脹系數(shù)為 .試求溫度升高 T時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力.,溫度變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形， 不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力，但在超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或 全部約束，溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力，與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力 稱為熱應(yīng)力(thermal stresses）或溫度應(yīng)力(temperature stresses),二、溫度應(yīng)力,解 這是一次超靜定問(wèn)題,變形相容條件是，桿的總長(zhǎng)度不變. 即,桿的變形為兩部分，即由溫度升高引起的變形 lT 以及與軸向壓力FR相應(yīng)的彈性變形 lF,二、溫度應(yīng)力,(1)變形幾何方程,(3)補(bǔ)充方程,(4)溫度內(nèi)力,(2)物理方程,由此得溫度應(yīng)力,二、溫度應(yīng)力,剪切變形的受力特點(diǎn)：,構(gòu)件受等值、反向、作用線距離很近的二平行力的作用。,變形特征：,桿件沿兩力之間的截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)，甚至破壞。,剪切面：發(fā)生錯(cuò)動(dòng)的面。,第六章 剪切,2. 工程實(shí)例,(1) 螺栓連接,(2) 鉚釘連接,一、基本概念和實(shí)例,特點(diǎn)：可傳遞一般 力，不可拆卸。如橋梁桁架結(jié)點(diǎn)處于它連接。,1. 連接件：在構(gòu)件連接處起連接作用的部件，稱為連接件。連接件雖小，起著傳遞載荷的作用。例如：螺栓、鉚釘、鍵等。,(3) 鍵塊連接,特點(diǎn)：傳遞扭矩。,單剪切：有一個(gè)剪切面,雙剪切:有兩個(gè)剪切面,以鉚釘為例：外力 內(nèi)力 應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算,剪力FS：,剪切面上的內(nèi)力。,F,剪應(yīng)力：,假設(shè)：,A：剪切面的面積。,剪切強(qiáng)度條件：,剪切面上的應(yīng)力。,在剪切面上均勻分布,其方向與Fs 相同。,故是名義剪應(yīng)力, ：許用剪應(yīng)力；由實(shí)驗(yàn)得?？刹橛嘘P(guān)手冊(cè)。,注意：,1. （2.23）式除了適用于鉚釘連接，也適用于其它剪切構(gòu)件;,2. （2.23）式可解決三類強(qiáng)度問(wèn)題：,1）校核：,2）設(shè)計(jì)截面尺寸：,3）確定許可載荷 ：,例2 電瓶車掛鉤由插銷聯(lián)接，如圖。插銷材料為20鋼， ，直徑 。掛鉤及被聯(lián)接的板件的厚度分別為 和 。牽引力 。試校核插銷的剪切強(qiáng)度。,分析插銷受力,確定剪切面,計(jì)算內(nèi)力,二、擠壓的實(shí)用計(jì)算,擠壓面：,連接件和被連接件相互壓緊的接觸面。,擠壓破壞：,在擠壓面產(chǎn)生過(guò)大的塑性變形（導(dǎo)致連接松動(dòng)）、壓潰或連接件（如鉚釘）被壓扁。,如圖為鉚釘上的擠壓面。,擠壓力Fpc：,擠壓面上的壓力。,擠壓應(yīng)力 c：,假設(shè)： c在擠壓面上均勻分布。,擠壓面上的正應(yīng)力。,擠壓現(xiàn)象的實(shí)際受力如圖 所示.,擠壓面的面積計(jì)算,擠壓強(qiáng)度條件：,其中,c：許用擠壓應(yīng)力；,注意：,1)（2.25）式可解決三類強(qiáng)度問(wèn)題；,Ac ：擠壓面的計(jì)算面積。,2）連接件與被連接件的材料不同時(shí)，應(yīng)對(duì)擠壓強(qiáng)度較低的材料進(jìn)行擠壓計(jì)算，即選用較小的許用擠壓應(yīng)力。,剪切與擠壓的主要區(qū)別,剪切面與外力平行,擠壓面與外力垂直,剪切應(yīng)力為剪應(yīng)力,擠壓應(yīng)力為正應(yīng)力,剪切面計(jì)算,鉚釘與螺栓,鍵,擠壓面計(jì)算,例 一鉚釘接頭用四個(gè)鉚釘（鉚釘群）連接兩塊鋼板。鋼板與鉚釘材料相同。鉚釘直徑d=16mm，鋼板的尺寸為b=100mm，t=10mm，P=90KN，鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力是=120MPa，bs=160MPa，鋼板的許用拉應(yīng)力=160MPa。試校核鉚接頭的強(qiáng)度。,P,P,b,解：(1) 校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度：,每個(gè)鉚釘受力為 P/4,每個(gè)鉚釘剪切面上的剪力為：,(2) 校核鉚釘和鋼板的擠壓強(qiáng)度：,鉚釘每個(gè)擠壓面上的擠壓力為:,受剪面,擠壓面面積為:,鉚釘滿足剪切強(qiáng)度條件。,鉚釘和鋼板都滿足擠壓強(qiáng)度條件。,分別為圖形對(duì) z 軸和 y 軸的靜矩。,說(shuō)明：,1、靜矩不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān)，還與所選坐標(biāo)軸的位置有關(guān)。,2、靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可以為零。,3、靜矩的單位：mm3 或 m3,7.1靜矩和形心,一、靜矩,z,y,O,dA,z,y,定義,面積對(duì)軸的一次矩,同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩不同。,截面的形心 C 的坐標(biāo) 公式為：,zc,A,S,y,=,二 、 組合截面,由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面,其中： Ai 第 i 個(gè)簡(jiǎn)單截面面積, 第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面的形心坐標(biāo),組合截面靜矩的計(jì)算公式為,=,=,n,i,ci,i,y,z,A,S,1,（3）其大小不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān), 而且還與平面圖形面積相對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況有關(guān). 平面圖形的面積相對(duì)坐標(biāo)軸越遠(yuǎn), 其慣性矩越大; 反之, 其慣性矩越小.,7.2 慣性矩、極慣性矩和慣性積,一、慣性矩,定義,圖形面積對(duì)某軸的二次矩：,特點(diǎn),（1）慣性矩的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位用m4 、 cm4 、 mm4.,（2）恒為正值,例1 求圖示矩形關(guān)于z軸的慣性矩,y,dy,解：,若b=ha, 則：,2,2,2,（2）由于2=y2+z2, 所以有Ip=Iy+Iz, 即平面圖行對(duì)通過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和均相等, 并且等于平面圖形坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩.,二、極慣性矩,定義,圖形面積對(duì)某點(diǎn)的二次矩：,特點(diǎn),（1）具有慣性矩的特點(diǎn),三、慣性積,定義,圖形對(duì)一對(duì)相互垂直的軸的矩,特點(diǎn),(1)慣性積的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4 、 cm4 、 mm4. (2)其值可正、可負(fù)，可為零。 (3)所選坐標(biāo)軸有一個(gè)對(duì)稱軸，則慣性積的值為零。,(4)形心主慣性矩：平面圖形 對(duì)形心主軸的慣性矩。,幾個(gè)概念：,(1)主慣性軸，Iy0z0=0，則y0 、 z0為主慣性軸。,(2)主慣性矩：對(duì)任一主慣性軸的慣性矩,(3)形心主慣性軸：主慣性軸通過(guò)形心。,二、組合截面的慣性矩 慣性積,Izi , Iyi , 第 i個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì) z ,y 軸的慣性矩、 慣性積。,組合截面的慣性矩，慣性積,7.4 平行移軸公式,(1)條件：兩平行軸中必須有一軸為形心軸。 (2)截面圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中以對(duì)通過(guò)形心軸的慣性矩為最小。,一、慣性矩的平行移軸公式,C為形心，y、z為原坐標(biāo)軸，yc、zc為過(guò)形心C分別與y、 z平行的坐標(biāo)軸，,則有：,說(shuō)明：,二、慣性積的平行移軸公式,說(shuō)明：,不是所有平行軸的慣性積中的最小值，因?yàn)閍、b（形心坐標(biāo)）可正可負(fù)，其符號(hào)由其所在象限確定。,例 3 -1 求T形截面對(duì)其形心軸 zc 的慣性矩。,解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。,截面的形心必在對(duì)稱軸 yc 上。,所以截面的形心坐標(biāo)為,