二次曲線小結,曹楊職校,授課 人：陳開運,二次曲線小結,二次曲線小結,附錄,二次曲線發(fā)展史,目標診斷題,綱要信號圖表,學習導航與要求,概念的精細化,曲線的個性與共性,技巧與題型歸類,圓,橢圓,雙曲線,雙曲線,拋物線,雙曲線定義的盲點,雙曲線的漸近線,離心率分析,直線與雙曲線關系,幾種曲線定義,一般二次方程的討論,曲線與方程,Excel作圖,曲線的切線,觀看網上動態(tài)曲線,圓的學習要求和導航,學習要求： 掌握由圓的定義推導圓的標準方程，理解參數 a,br的幾何意義，掌握一般方程和標準方程的互化，用圓方程解決有關問題，解決直線與圓、圓與圓的位置關系。 學習導航： 圓的定義與標準方程 圓的幾何定義 幾何量間的關系d(P,M)=r 代數等式 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,a,b,r的意義。 由(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey +F=0 且與Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比較，得出圓方程 A=C0，B=0， 且D2+E2-4F0 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心（-D/2，-E/2） 半徑 r= 圓與直線的關系，圓心M（a,b),半徑r 直線 Ax+By+C=0,dr相離，d=r相切，d<r相交 圓與圓關系 兩圓的圓心(a1,b1),(a2,b2),兩圓的半徑r1,r1兩圓的圓心距 關于相切： （1） 過圓上一點（x0,y0) 公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判別式法：設切線y-y0=k(x-x0)代入圓方程，消去 y得相應x的二次方程，由判別式=0可求得 k 從而得切線。 幾何法：由圓心到切線距離r確定k而得切線 。 （2）圓外一點（x0,y0)的切線可仿上述判別式法、幾何法處理。,繼續(xù),圓的公式,橢圓的學習要求與導航,學習要求 知道橢圓定義并推出橢圓標準方程，理解參數a,b,c,e 的相互關系和幾何意義。 能靈活應用橢圓定義、方程及性質解決問題（橢圓作圖）。 學習導航 橢圓方程的定義及參數a,b,c,(e)是橢圓所特有的，與坐標無關。 ab0,c2=a2-b2,(e=c/a)必須牢固掌握。 橢圓的性質（有心、封閉的曲線），橢圓曲線的范圍，掌握曲線（橢圓）對稱性的判別，與坐標軸的交點。 特別： 1.橢圓的焦點一定在長軸上， 2. a,b,c三個參數的關系是滿足以 a為斜邊的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.標準方程中a對應的變量x（或y)，表明焦點就在x軸（或y軸）。,直線與橢圓的位置關系： 把直線與橢圓的方程組消元后得一元二次方程，它的判別式0直線與橢圓相交 =0直線與橢圓相切 <0直線與橢圓相離,橢圓的標準方程與性質,雙曲線的學習要求和學習導航,學習要求 知道雙曲線的定義，理解雙曲線標準方程的參數a,b,c,e的幾何意義和相互關系，根據條件熟練寫出雙曲線的標準方程，靈活應用雙曲線的定義，方程及性質解有關問題。 學習導航 學習時，要與橢圓的標準方程進行比較，加深這兩種曲線之間的區(qū)別和聯系。 必須理解雙曲線參數 a,b,c,e是雙曲線所固有的，與坐標的建立無關。 雙曲線有心但不封閉，所以存在這樣的特殊情況，直線平行,雙曲線的漸進線但與雙曲線僅有一個交點，而并不相切。因此，直線與雙曲線只有一個交點，是直線與雙曲線相切的必要而非充分條件。,什么時候直線與雙曲線有一個交點？兩個交點？沒有交點？,雙曲線的標準方程與性質,雙曲線定義的三個“盲點”,雙曲線定義：“平面內與兩個定點F1F2的距離之差的絕對值是常量（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線?！?定義內有三個盲點：“小于|F1F2|”， “絕對值”，“常數”，稍有不慎，就回出錯。 盲點1：“小于|F1F2|” 將“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”，經過演示，點的軌跡不存在。將“小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”，經過演示，點的軌跡不再是雙曲線，而是以F1F2為起點的兩條射線。 盲點2： “絕對值” 若將“絕對值”去掉，經過演示點的軌跡不再是兩支曲線，只有一支，即左支或右支。,盲點3 ：“常數” 若常數等于零，點的軌跡是什么？經過演示，不難發(fā)現點的軌跡是線段F1F2的中垂線。 思考題： 學習橢圓，拋物線的定義要注意什么？,雙曲線與它的漸近線,雙曲線方程 可得 可以看出，隨著 x無限變大，y也無限變大 所以雙曲線是無界的，為了更好研究它無限 伸展的趨勢，把上式改為 當x無限變大時， 趨近于0 這時，y就漸近于b/a x，說明當x無限增大， 雙曲線愈來愈接近直線y= b/a x, 并且不論x 有多大，在第一象限內總有： X無限變大，雙曲線無限逼近漸近線，但永遠 不會相連接。 設在第一象限內取x0 ，漸近線對應y1,雙曲線 對應y0 ，有,說明了在第一象限內，對同樣的x漸近 線的值大于雙曲線的值，x無限增大， y1-y0 也無限趨向于0 思考題： 你能說說離心率e與雙曲線漸近線開口 大小的關系嗎？ 你能舉出其他已學的函數或方程的曲 線的漸近線的例子嗎？,拋物線的學習要求和學習導航,學習要求 掌握拋物線的定義，熟記四種標準方程，了解 焦參數 p 的幾何意義，掌握拋物線的幾何性質并能運用解決有關問題。 學習導航 掌握拋物線的定義，推導和建立拋物線的標準方程。用定義解題有時更簡潔，雖然拋物線只一個參數，只須一個條件就可以求出，但有四個標準方程，所以必須掌握它的特征和對應的拋物線的開口方向，對稱軸，焦點位置和準線的關系。 了解二次曲線的幾種定義，對提高解題能力是有幫助的。 直線與拋物線的位置關系，特別注意相切的情況。由于拋物線與對稱軸只一個交點，而它不是拋物線的切線，,所以直線與拋物線相切并不是直線 與拋物線只有一個公共點的充要條件。,坐標平移,二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通過坐標平移可以消去一次項，簡化方 程的表達式。 坐標系的改變，曲線的位置形狀和大小 都沒有改變，點的坐標和方程也隨之改 變。 坐標的平移公式：x=x+h x=x-h y=y+k y=y-k 主要題目類型： 1。已知原坐標系，新坐標原點，求一些點和方程的在新坐標系中的表達式。 2。已知新坐標系，原坐標的原點，求一些點和方程的在原坐標系中的表達式。 3。二次曲線方程經過配方成完全平方式,用平移公式簡化。 4。把x=x+h , y=y+k 代入曲線方程，使一次項系數為0，簡化曲線方程。,你還想學點嗎？,除了書本上二次曲線的定義外，還有一種統(tǒng)一的定義：平面上，一個動點到一個定點和一條定直線的距離之比是一個常數，動點的軌跡叫做圓錐曲線。這一定點叫做焦點，定直線叫做準線，這個常數叫做離心率。離心率小于1時叫做橢圓，離心率大于1時叫做雙曲線，離心率等于1時叫做拋物線。 以焦點F為原點，經過焦點作準線l 的垂線為x軸，（取垂足到焦點的方向為正方向）建立直角坐標系。設焦點到準線的距離為p ,離心率為e，可得到直角坐標系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程： (1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,又以焦點F為極點，經過焦點作準線l的垂線為極軸（取垂足到焦點的方向為正方向），建立極坐標系，得到極坐標系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程 思考題 1，一個動點到兩個定點（-3，0）（3，0）的斜率的積為-1，這軌跡是什么曲線？ 若斜率的積為-1/4，是什么曲線？若斜率的積為1/4，是什么曲線？ 2，一個動點到兩個定點（-3，0）（3，0）的距離的平方差為常量，這軌跡是什么曲線？ ：,圓錐截線,你還想學點嗎？-離心率概念分析,離心率是反映了二次曲線的形態(tài)及性質的重要概念。 引入定義：橢圓的焦距2c與長軸2a 的比叫做橢圓的離心率，類似的給出了雙曲線，拋物線的離心率定義。 離心率定義 有兩個要點：一個距離與長度有序之比，e=c/a0 離心率取值范圍：橢圓：2c2a,得 e1,按拋物線定義，e=1。 離心率與圓周率是幾何中的兩大比率，它們的共同特點：均為兩個定量的有序之比，區(qū)別在于前者適用于二次曲線，后者只適用于圓；e值有相對的任意性（可變），卻具有唯一性（無理常數）。 離心率深刻揭示了二次曲線的實質，溝通了它們的關系。橢圓，雙曲線，拋物線三者關系密切，是同一定義,下的不同表現。三種曲線可統(tǒng)一定義為：平面內到一定點和一定直線的距離之比等于常數e的動點軌跡叫二次曲線。 建立適當的坐標，軌跡上任一點M(x,y),定點F(p,0)所以 整理即得 （1-e2)x2+y2-2px+p2=0當01方程分別是橢圓，拋物線，雙曲線。 “對立統(tǒng)一，量變到質變” e 0橢圓 圓，e 1,橢圓變得愈來愈扁，e=1為拋物線，e1為雙曲線，e 增大，則 b/a= 也變大，雙曲線開口變大，反之，開口變小。 E趨向于1時，漸近線傾斜角近于0。,圓錐曲線（圓錐截線）,點（點圓）,圓,橢圓,雙曲線,拋物線,圓錐曲線退化為兩條直線，,一條直線,你能說出截面的條件嗎？,圓錐的頂角影響曲線形狀嗎？,二次曲線的發(fā)展史,公元前四世紀，古希臘學者梅納科莫斯最早通過截割圓錐的方法得到三種不同類型的曲線橢圓（圓）、雙曲線、拋物線，統(tǒng)稱圓錐曲線。許多學者繼續(xù)研究這一課題，最有成就的是生于小亞細亞佩加城的阿波羅尼，他將自已的成果寫成八大卷的圓錐曲線論，成為這一課題的經典文獻。 十六世紀，著名天文學家開普勒發(fā)現行星按橢圓形軌道運行，著名天文學家伽里略證明了不計阻力的斜拋運動的軌跡是拋物線。這說明了圓錐曲線并不是附生于圓錐之上的靜態(tài)曲線，而是自然界中物體常見的運動形式。,1629年，法國數學家費馬在平面和立體軌跡引論一書中，運用斜角坐標研究圓錐曲線，證明了圓錐曲線的方程都是含有二個未知數且最高次冪是二次的方程。反之，一般二元二次方程點的軌跡是圓錐曲線。1655年，英國數學家沃利斯在圓錐截線論中，干脆把圓錐曲線叫作二次曲線。 1748年，著名數學家歐拉在無窮小分析引論一文中，詳細討論了形如：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的一般二次方程，證明經過平移、轉軸變換，任何一個二次方程可以化為橢圓（圓）、雙曲線、拋物線及它們的退化形式，所以二次曲線就是圓錐曲線。,橢圓雙曲線拋物線基本性質,一些常用技能技巧的梳理,在鞏固求曲線方程、應用曲線方程的基礎上，練習常用的技能技巧，提高解題能力。 建立適當的坐標系 應用解幾方法解題，必須建立坐標系，而且選定恰當的坐標系（一般是以原點、坐標軸對稱的，或以原點為起點），簡化曲線方程。 2.充分利用圓錐曲線特有的幾何性質。 例如：m為何值時，直線2x-y+m=0和圓x2+y2=5無公共點？截得弦長為2？交點處兩條半徑互相垂直？ 解：圓心（0，0）到直線距離d= 圓半徑r= , 時即m5時圓和直線無公共點。弦過中點的半徑垂直于弦r2-d2=1即5-m2/5=1當m= 時圓在直線上截得弦長為2 此時弦與過,弦兩端的半徑組成等腰直角三角形 時過弦兩端的半徑互相垂直。 3 .圓錐曲線定義的應用 有些題目從表象上看較難，但用圓錐曲 線定義解題，問題迎刃而解。,一些常用技能技巧的梳理,如圖 雙曲線方程 的左焦點作弦交曲線于A，B，連接AF2和 BF2，求|AF2|+|BF2|-|AB| 的值 解：|AF2|-|AF1|=2a=8, |BF2|-|BF1|=2a=8, |AF2|+|BF2|-|AB| 的值為16。 曲線系方程的應用 方程f1(x,y)+f2(x,y)=0表示的曲線經過曲線f1(x,y)=0和曲線f2(x,y)=0的交點,（A1x+B1y+C1)+（A2x+B2y+C2)=0表示過直線A1x+B1y+C1=0,A2x+ B2y+C2=0的 交點的一系列直線。 你能寫出圓系列方程和雙曲線系列方程嗎？ 例題：一個圓經過已知圓x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交點，且圓心在直線3x+4y-1=0上求圓方程。 解：設所求圓方程為（ x2+y2-x+y-2）+ (x2+y2-5)=0即 （1+）x2+(1+)y2-x+y-(2+)=0 其圓心為（1/（2+2），-1/（2+2） 在已知直線上， 得=-1.5,所求方程為： X2+y2+2x-2y-11=0,一些常用技能技巧的梳理,韋達定理的應用： 例題1：已知直線l 過（1，0）點，傾斜角為/4，求 l在橢圓x2+2y2=4 上截得的長？ 解：直線方程為y=x-1代入橢圓方程x2+2y2=4 ，得3 x2 -4x-2=0 設所截交點為AB |AB|2 =（x2-x1)2+(y2-y1)2 =2（x2-x1)2 =2(x2+x1)2 -4 x2x1 ) =80/9 |AB|=,一般二次方程的討論,一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0經過旋轉變換，適當選取角，化成 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 關鍵看AC是否有一個為零？都不為零時它們是同號還是異號來決定。經過變換，-4AC=B2-4AC。= B2-4AC為二次方程判別式。,課堂訓練題,選擇題 1.如果方程x2+ky2=2表示焦點在 y軸上的 橢圓， 那么實數k 的取值范圍是： A.(0, ）B.(0,2) C(1,）D（0，1） 2.焦點在（-1，0），頂點在（1，0）的拋物線 方程是： A.y2=8(x+1) B. y2=-8(x+1) C. y2=8(x-1) D. y2=-8(x-1) 3.橢圓x2+9/5 y2=36的離心率為: A.1/3 B.2/3 C.1/2 D.3/4 4. 設橢圓 的兩個焦點分別是F1和 F2, 短軸的一個端點是B,則B F1 F2的周長是: A. B. C. D. 5.若拋物線y2=2x上一點到焦點距離為5，則該,點的坐標是： A.(4,2 )或（4,-2 ）B.(5, )或（5,- ) C.(4.5,3)或（4.5,-3) D(6,2 )或（6,-2 ) 6.以坐標軸為對稱軸，中心在原點，實軸長為 10，焦距為12 的雙曲線方程是： A.x2/25 -y2/11 =1 或.y2/25 x2/61 =1 B. .x2/25 -y2/11 =1 或y2/25 x2/11 =1 C. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 x2/61 =1 D. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 x2/11 =1 7.若方程 表示雙曲線，則 k 的值的范圍是： A.k25 C.1625,你能做對多少題？,圓的目標診斷題,1. 寫出圓心在（0，-3），半徑是 的圓方程。(A1) 2. 下列方程表示社么圖形： (1) (x-3)2+y2=0; (2) x2+y2-2x+2y-2=0; (3) x2+y2+2ab=0。(B1) 3. 寫出過圓x2+y2-25=0上一點M(-2 ,1)的切線的方程。(B2) 4.求下列條件所決定的圓的方程： （1）圓心在（3，4），且與直線6x+8y-15=0相切；（C1) (2) 經過點A(2,-1),與直線x-y-1相切；且圓心在直線y=-2x上； （3）經過A(5,1), B(-1,2), C(1,-3)三點。 5. 求經過點P(0,10),且與x軸切于原點的圓的方程，并判斷點A(-5,5)， B( ,6), C(3，-10），在圓內，在圓外，還是在圓上。 6.判斷直線3x+4y-24=0與圓x2+y2+6x-4y-12=0的位置關系。 7. 求證：兩圓x2+y2+-4x-4=0與 x2+y2+6x+10y+16=0互相外切。 8.求圓的切線方程： （1）與圓（x+1）2+（y-3）2=25切于點A（3，6）的切線方程。 （2）若圓x2+y2=13的切線平行于直線4x+6y-5=0,求這切線的方程。 （3）過點A（4，0）向圓x2+y2=1引切線，求這切線的方程。 9.一圓拱橋跨度長12米，拱高3米，以拱弦所在的直線為x 軸，弦的中點為原點建立直角坐標系，求這圓拱曲線的方程。,圓的目標診斷題答案,1. x2+（y-3）2=3 2.（1）點（3，0）（2）以（1，-1）為圓心、2為半徑的圓（3）x2+（y+b）2=b2 3. 4 .（1）（x-3）2+（y-4）2=49/4 （2）（x-1）2+（y+2）2=2或 （x-9）2+（y+18）2=338 （3）7x2+7y2 25x-3y-54=0 5. x2+（y-5）2=25,A點在圓上，B點在圓內，C點在圓外 6.直線與圓相切 7. 故兩圓外切 8.(1)4x+3y-30=0,(2)2x+3y=13=0 （3） 9 . x2+（y+9/2）2=225/4（y0）,橢圓目標診斷題,1.求適合下列條件的橢圓的標準方程 （1） a= ,b=1,焦點在x軸上 （2）a=5,c= ,焦點在y軸上 （3）a=6,e=1/3,焦點在x軸上 （4）b=4,e=3/5,焦點在y軸上 2.利用橢圓的面積公式 S= ab,求下列橢圓的面積 （1） 9x2+25y2 =225 （2）36x2+5y2 =180 3.求下列橢圓長軸和短軸的長，離心率，焦點坐標，頂點坐標和準線方程，并畫出草圖。 （1）4x2+9y2 =36 （2）9x2+y2 =81 4.求適合下列條件的橢圓的標準方程 （1）長軸是短軸的5倍， 且過點（7，2）焦點在x軸上,焦點坐標是（0，-4），（0，4） 且經過點（ ） 5.求直線x-y+ =0和橢圓x2/4+ y2 =1的交點 6.點P與一定點F（4，0）的距離和它到一定直線x=25/4的距離之比是45，求點P 的軌跡方程。 7 .地球的子午線是一個橢圓，兩個半軸之比是299/300，求地球子午線的離心率。,橢圓目標診斷題的答案,1.(1)x2 /3+y2=1,(2) x2 /8+y2 /25=1 (3) x2 /36+y2 /32=1,(4) x2 /16+y2 /25=1 2.(1)15 ，（2） 3. （1）2a=6,2b=4,e= ,F( ，0） 頂點（3，0），（0，2）準線方程 （2）2a=18.2b=6,e= F(0, )頂點（3，0），（0，9） 準線方程： 4. (1)x2 /149+25y2 /149=1 (2) x2 /20+y2 /36=1 5. 6. x2 /25+y2 /9=1 7.,雙曲線目標診斷題,1.求適合下列條件的雙曲線標準方程： (1)a=3,b=4,焦點在x軸上 （2）a= ,c=3,焦點在 y軸上 （3） a=6,e=3/2 ，焦點在x軸上 (4) b= ,e=3/2,焦點在x軸上 2. 求下列雙曲線的實軸和虛軸長，頂點和焦點坐標，離心率，漸近線和準線方程，并畫出草圖。 （1） x2 -4y2=4 （2） 9x2 -16y2=-144 3.求雙曲線的標準方程 （1）實半軸是 ，經過點 焦點在y 軸上 （2）兩漸近線方程是y=3/2x,經過點,4.求直線3x-y+3=0和雙曲線x2 -y2 /4=1的交點 5.點P與定點（6，0）及定直線x=16/3的距離之比是 求點P的軌跡方程 6.求以橢圓x2 /25 +y2/9=1 的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程。 7.兩個觀察點的坐標分別是A（200，0）、B（-200，0），單位是米，A點聽到爆炸聲比B點早1.08秒，求炮彈爆炸點的曲線方程。 8.求證：當k<9,k4時，方程 所表示的圓錐曲線有共同的焦點。,雙曲線目標診斷題答案,1.（1）x2 /9-y2/16=1 （2) y 2/5 -x2/4=1 （3）x2 /36-y2/45=1 (4) y 2/2-x2/14=1 2.(1)2a=4.2b=2,頂點(2，0） F（ ，0），e= ,漸近線方程 y=1/2x,準線方程x= （2）2a=6,2b=8,頂點（ 0，3） F（0，5），e=5/3,漸近線方程： Y=3/4x，準線方程 y=9/5 3.（1）y 2/20 -5x2/16=1 （2）9x2 -4y2=2 4.(-1,0)和(-13/5,-24/5) 5. x2 -8y2=32 6. x2/16-y2/9=1 7.,8. （1）當k<4時 ，方程表示橢圓，焦點在x軸，此a2=9-k, b2=4-k,c2=a2-b2=5,F( ,0) (2) 當4<k<9時，方程表示雙曲線，焦點在x軸，a2=9-k, b2= k -4, c2=a2+b2=5，F（ ，0）所以方程表示的橢圓和雙曲線有共同的焦點。,拋物線目標診斷題,1.拋物線y2=-2px(p0)上一點M到焦點的距離是4，求點M到準線的距離。 2. 寫出適合下列條件的拋物線方程 （1）焦點是F（-3，0） （2）準線方程是x=-1/2 (3)焦點到準線的距離是1/2 3. 求下列拋物線的焦點坐標和準線方程 （1） y2+4x=0 (2) 2x2-3y=0 4.推導拋物線的標準方程y2=-2px(p0) 5.根據下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形 （1）頂點在原點，對稱軸是y軸，且頂點與焦點的距離等于2 （2）頂點在原點，對稱軸是x軸，且經過 （-3，2）點,6. 已知一等邊三角形內接于拋物線y2=2x，且一個頂點在原點，求其他兩個頂點的坐標。 7. 已知拋物線型的拱橋的頂點距水面2米時，量得水面寬為8米，當水面升高1米后，求水面的寬。 8 .拋物線頂點是橢圓16x2 +25y2=-400的中心，焦點是橢圓的右焦點，求這拋物線的方程 9.把拋物線通徑的兩端分別與準線和拋物線軸的交點連接，證明這兩條直線互相垂直。,拋物線目標診斷題答案,1，4 2，（1） y2=-12x ，（2） y2=2x （3） y2=-x，或x2=y 3，（1）F（-1，0），準線方程：x=1, (2)F(0,3/8), 準線方程y=-3/8 5, (1) x2=8y, (2) y2=-4/3x 6, 7, 8, y2=12x , 9,通徑兩端為（p/2,p),(p/2,-p),準線與拋物線軸的交點（-p/2,0),kAC*kBC=-1,橢圓,雙曲線,拋物線,除課本的定義外還有準線定點，極坐標、圓錐截線等定義,范圍 對稱性 頂點,定義,范圍 對稱性 頂點,范圍 對稱性 頂點,性質,共性,都是二次曲線 圓錐截線 對稱性 準線定點 離心率 極坐標 都有焦點,概念精細化,直線與雙曲線的位置關系 雙曲線與漸近線的定量分析 再說說曲線與方程的兩句話 曲線方程與函數的關系,Excel畫曲線圖形,請你探索網絡上的二次曲線圖形，歸納為幾句話.,綱要信號圖表,競爭又合作,實際應用 1.力學結構 拱橋 散熱塔 網絡結構 儲槽容器 2. 光學性質 衛(wèi)星天線 雷達 激光器 光學器件 3.運動軌跡 彈道 天體軌道 4. 測量定位 衛(wèi)星定位GPS B超 聲納,JAVA,學生小結,求曲線軌跡 橢圓、雙曲線、拋物線定義和參數的題目 點、直線與曲線的位置關系 曲線作圖 曲線的切線 二次曲線的實際應用,概念的精細化,在“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義中為什 么要作兩條規(guī)定？ 我們可以從集合的觀點來認識這個問題。大家 知道，一條曲線和一個方程 f (x,y)=0可以是同 一個點集在“形”和“數”兩方面的反映，只有當 曲線所表示的點集C與方程 f (x,y)=0的解所表 示的點集F是同一個點集，也就是C=F時，曲 線才叫做方程的曲線，方程叫曲線的方程。而 兩個集合C=F，必須從兩個方面說明： 1，C中的任何一點屬于F，記曲線上任一點的坐標是f (x,y)=0的解 2，F中的任何一點也屬于C，即以 f (x,y)=0的 解為坐標的點在曲線上。 說明了：曲線上的點與方程的解滿足一一對應的關系。 求曲線方程的依據，適合方程的解一定在曲線上，不適合條件的點一定不在曲線上。 直線視作曲線的特殊情況,曲線方程與函數的關系? 曲線方程與函數的主要不同在于： (1)曲線方程反映了 x,y 的數量上的相互制約關系,無“依從”關系,取定一個x, y不一定唯一確定,同樣取定一個y后x 也不一定唯一確定,x與y無“自變量”“應變量”的“主從”關系。 （2）函數則反之，取定義域中每一個x, 都有唯一的y與之對應。 就曲線而言，稱x, y的取值范圍，對函數而言，分別趁x ,y的定義域和值域。 （3）函數表達式y(tǒng)=f(x) 曲線方程表達式為f(x,y)=0,二次曲線題型之一,1，曲線與方程 1）判斷已知點是否在曲線上 2）已知方程可分解為f1(x,y)=0,f2 (x,y)=0,.fn (x,y)=0,那么這方程的曲線由n個f1(x,y)=0， f2 (x,y)=0, . fn (x,y)=0 來確定。 2，求兩條曲線交點 代入或加減法消元，用判別幾個解。 3，點、直線、圓與圓的位置關系 點與圓 點在圓上，圓外，圓內（點與圓心距離和半徑比較或點坐標代入方程0,=0,<0 直線與圓 直線方程代入圓方程判別，特別 是切線，圓上點和圓外點的 切線 例題1從點P（2，3）向圓（x-1)2+(y-1)2=1引切線，求切線方程？ 解：設切線斜率k，切線方程y-kx+2k-3=0。圓方程的圓心（1，1），r=1,圓心到直線的距離等于半徑,K=3/4,切線方程 3x-4y+6=0還有一條切線x=2 例題2：判斷直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0的位置關系。 解：圓x2+y2-ax+by=0 即（x-a/2)2+(y+b/2)2=(a2+b2)/4 圓心(a/2,-b/2), r= 圓心到直線的距離為d, 直線ax-by=0與圓x2+y2-ax+by=0相切。,有關曲線的切線詳情,二次曲線題型之二,例題3：已知圓的方程為（x+1)2+(y-2)2=13 求過 A（1，-1）且與已知圓相切的切線方程？ 解：以A（1，-1）代入圓方程得（1+1）2+（-1-2）2=13，即A（1，-1）在圓上，可用切線公式（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2寫出切線方程（1+1）（x+1)+(-1-2)(y-2)=13 即 2x-3y-5=0 *例題4：求圓心為（2，1）且與已知圓x2+y2-3x=0的公共弦所在的直線過點（5，-2）的圓方程。 解：設所求的圓方程為（x-2)2+(y-1)2=r2 即： x2+y2-4x-2y+5-r2 =0 已知圓方程為： x2+y2-3x=0 由- ：得公共弦所在的直線方程為 x+2y-5+r2 =0 又直線過（5，-2）點 r2 =4 所求的圓方程（x-2)2+(y-1)2=4 圓與圓的位置關系 判斷方法：一般是兩圓心距離與兩圓半徑和或差作比較。（略）,當兩圓方程聯立成方程組，消去x2，y2 項得一次方程，當兩圓相交，則表示為 兩圓的公共弦所在的直線，當兩圓外切 時，則表示兩圓外公切線方程，當兩圓 內切時，則表示兩圓的內公切線方程。 例題5：求以相交的兩圓x2+y2 +4x+y+1 =0及 x2+y2 +2x+2y+1=0的公共弦為 直徑的圓方程。 解：聯立兩圓方程 x2+y2 +4x+y+1=0 . x2+y2 +2x+2y+1=0 - :y=2x . 代入 x2+（2x)2 +4x+2x+1=0 解之，x1=-1/5 x2=-1 y1=-2/5 y2=-2 兩圓的交點（-1/5，-2/5），（-1，-2） 所求圓心是兩圓交點的中點（-3/5，-6/5） 所求圓方程（x+3/5)2+(y+6/5)2=4/5,二次曲線題型之三,橢圓、雙曲線、拋物線的題型 例題6：已知橢圓的焦距為6，長軸為10，求橢圓的標準方程 解：因為橢圓的焦點位置未定，所以分步討論。 1）焦點在x軸橢圓的標準為 2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,b=4 所以橢圓的標準方程是 2）焦點在y軸橢圓的標準為 A=5,c=3,b=4 所求橢圓方程 例題6：若拋物線的焦點為（2，2）準線方程為 x+y-1=0， 求此拋物線？ 解：設拋物線上任一點p(x,y), 焦點F（2，2）由拋物線定義|PF|=d（d為P到準線的距離）,整理得x2-2xy+y2-6x-6y+15 =0 橢圓雙曲線混合題 例題7：當k在什么范圍內，下面的方程表示的是橢圓或雙曲線？ 解：1）若 表示橢圓 9-k0 k0 k0 或 9-k0 解之4<x<9， 方程表示是雙曲線,二次曲線題型之四,作圖題 1，用課本介紹的列表，描點，對稱的方法 2，用Excel作圖法 坐標平移題 例題1：平移坐標軸，把原點移到o(3,-4)求曲線 x2+y2 6x+8y=0在新坐標系的方程 解： x=x+3 代入方程x2+y2 6x+8y=0得 y=y-4 （x+3）2+（y-4）2 6（x+3）+8（y-4）=0 化簡x2+y2 =25 例題2：已知雙曲線虛軸為8，頂點坐標（1，2）（-5，2）求雙曲線的方程和漸近線方程 解：頂點（1，2）（-5，2），曲線中心（-2，2） 焦點在y=2上， x=x+2, y=y-2 ,2a=6,2b=8 A=3,b=4,雙曲線方程是 新坐標系中的漸近線方程,求軌跡方程 1 .直接法求軌跡方程 例題9：動點P與二定點F1，F2的連線互 相垂直，試求動點P的軌跡方程 解：1）建系 取F1，F2所在的直線為x軸， F1，F2的中點為原點，建立直角坐標系， F1（-a，0)F2(a,0) 2)設動點P(x,y)為所求軌跡上任意點 3）kPF1KPF2 =-1， 4）化簡整理 x2+y2=a2 (x a) 2.間接法求軌跡方程 例題10：已知圓方程x2+y2=22 及點N（6，6） 求圓上的點與N點連線中點的軌跡。 解：設圓方程x2+y2=22 上一點M（a,b)有 a2+b2=22 ,設P(x,y)為軌跡上任意一點動點坐 標， ，a=2x-6,b=2y-6代入 圓方程得： x2+y2-6x-6y+68=0 *3 .參數方程,二次曲線題型之五,二次曲線的實際應用問題 1.選擇適當的標準方程和坐標系 一般曲線頂點在原點,與x,y軸對稱 2.輸入已知坐標點(或其他條件)求出曲線 方程。 3.輸入要求的一點f(x0,y0)的值，解決問題。,一般應用有： 力學結構：拱橋，散熱塔，儲槽容 器，建筑結構等。 光學性質：會聚和發(fā)散電磁波，衛(wèi) 星天線，激光器，雷達 拋物線、雙曲線、橢圓的光學性質。 （學生簡敘） 運動軌跡：彈道，天體軌道，物理 運動。 測量定位：衛(wèi)星定位GPS，聲納等檢 測儀器。,二次曲線的應用,直線與雙曲線的位置關系,我們舉例說明直線與雙曲線的位置關系。 雙曲線 1.當y=3/4 x時，直線與雙曲線不相交（ y=3/4 x 代入雙曲線方程， 判別式為0） 2. 當y=kx+b時，-3/43/4時，y=kx+b代入雙曲線方程，判別式為0，直線與雙曲線的兩支曲線各有一個切點。 判別式 0，直線與雙曲線的一支有兩個交點。 4.當y=kx+b，k=3/4 時,b不等于0，直線與雙曲線的一支有一個交點，但并不相切。直線與雙曲線只有一個交點，是直線與雙曲線相切的必要而非充分條件,用Excel繪制二次曲線,用Excel繪制二次曲線圖形直觀，有益于熟悉二次曲線標準方程，你想學學嗎？,二次曲線的切線,切點(x0,y0)在曲線上 圓: (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r 橢圓： xx0/a2+yy0/b2=1 雙曲線：xx0/a2-yy0/b2=1 拋物線： yy0 =p(x+ x0 )或xx0= p(y+y0) 焦點在y軸的曲線的切線依此類推。 過已知曲線外一點（ x0,y0)，與曲線相 切的切線方程 設切線斜率為k，切線方程為y-y0=k(x-x0) 代入二次曲線，成為關于x 的一元二次方程， 令判別式=0，求得k,獲得切線方程。 一般判別式=0能推得直線與曲線相切，反 依然，但對雙曲線而言，這是充分而不必要 條件。 已知切線的斜率k，求切線方程 橢圓x2/a2+y2/b2=1的切線方程,橢圓x2/ b2 +y2/ a2 =1的切線 雙曲線x2/a2-y2/b2=1的切線 雙曲線x2/ b2 -y2/ a2 =-1的切線 拋物線y2=2px的切線y=kx+p/2k 拋物線x2=2pyd 的切線y=kx-k2p/2 一般求已知切點的切線方程，把原二次曲線 的x2 項用xx0代替， y2項用yy0代替，x項用1/2（ x+ x0 ）,y用1/2（y+y0)即可。 上述內容由汪檻同學提供。,瀏覽網上動態(tài)曲線,用引導探索法讓學生們觀察英國University of St Andrews MT網站的二次曲線，改變a,b 值可觀看動態(tài)的二次曲線的變化。,杭州代懷孕 杭州代懷孕 吊鬻搋,