第二章 平面桁架有限元分析及程序設計,2.1 平面桁架單元的離散 2.2 平面桁架單元分析 2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成 2.4 邊界條件的處理 2.5 單元內力與支座反力的計算 2.6 平面桁架有限元程序設計,有限單元法及程序設計,解題方法,方法1：節(jié)點法,方法2：截面法,靜定桁架,回顧,第二章 平面桁架有限元分析及程序設計,解題方法：力法和位移法,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設計,如圖所示桁架，求各桿軸力。,力的平衡條件：,位移的協(xié)調方程：,1桿和3桿位移：,2桿位移：,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設計,1桿軸力豎向分量：,2桿軸力：,式中： 和 為桿件的剛度系數；,物理意義： 4點產生單位位移，桿端產生的豎向桿端力； 由桿件的物理性質和幾何性質決定；,V4為第4節(jié)點豎向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序設計,超靜定桁架,代入平衡方程：,結構的整體剛度系數,位移法求解超靜定結構。,離散原則：每個結點離散后還是一個結點，每個桿件離散后變成一個單元,1,結構的離散化：盡量將結構離散成數量最少的等截面直桿單元,2,3,4,5,6,2.1 平面桁架單元的離散,9個單元，6個結點,1,2,3,4,5,6,7,8,16個單元，8個結點,2.2.1 局部坐標系下的單元剛度矩陣,局部坐標系的建立,i,E，A，l,j,e, 軸：沿單元的桿軸方向；,2.2 平面桁架的單元分析, 軸：從 軸逆時針旋轉90。, 原點：以第一個結點為坐標原點；,桿端位移：,i,j,e,桿端力：,符號：與坐標系的方向一致為正，反之為負。,單元右端桿端力：,單元左端桿端力：,單元應力：,單元應變：,右結點固定,結點位移：,左結點固定,桿的受力分為兩種情況：,2.2 平面桁架的單元分析,任意情況（左右結點均有變形）即為以上兩種狀態(tài)的疊加：,桿端力為：,式中 為單元剛度矩陣(局部坐標系),桿單元軸力為：,式中 為單元應力(廣義)矩陣；,2.2 平面桁架的單元分析,單元桿端力方程：,桿端位移：,桿端力：,單元軸力：,2.2 平面桁架的單元分析,桿端位移和桿端力,符號：與坐標系的方向一致為正，反之為負。,桿端力：,2.2 平面桁架的單元分析,2.2.2 整體坐標系下的單元剛度矩陣,若局部坐標系與整體坐標系重合，則整體坐標系下的單元剛度矩陣與局部坐標下的單元剛度矩陣相同。,若局部坐標系與整體坐標系不重合，如下圖所示：,桿端位移：,桿端力：,桿端位移：,i 結點：,j 結點：,2.2 平面桁架的單元分析,設桿件的長度為 l ，則：,兩邊微分：,由于桿件的變形產生位移：,因此，桿件應變?yōu)椋?桿件軸力為：,符號：桿件軸力以拉為正，壓為負。,桿件的結點力為：,因此，桿件結點力向量為：,式中 是整體坐標系下的單元剛度矩陣；,2.2 平面桁架的單元分析,寫成分塊矩陣形式：,式中：,2.2 平面桁架的單元分析,（1）單元剛度系數kij的意義,j自由度(結點)產生的單位桿端位移引起的i自由度(結點)的桿端力,（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣,反力互等定理,式中：,桿件單元的應力矩陣為：,單元剛度矩陣的性質,2.2 平面桁架的單元分析,（3）單元剛度矩陣一般是不可逆的,2.2.3 單元坐標轉換矩陣,2.2 平面桁架的單元分析,取任意桿件,建立如圖所示的局部坐標系：,桿端力：,桿端位移：,2.2.3 單元坐標轉換矩陣,x,y,2.2 平面桁架的單元分析,桿端力：,桿端位移：,在上圖中,建立如圖所示的整體坐標系：,以i結點為例：,同理，對于j 結點：,2.2 平面桁架的單元分析,寫成矩陣形式：,因此：,其中，T為轉換矩陣：,轉換矩陣的性質,轉換矩陣是正交矩陣；,同理，位移也存在轉換關系：,代入局部坐標系下 的剛度方程：,2.2 平面桁架的單元分析,與利用微分得到的單元在 總體坐標下的剛度方程相同,1、對總體結點位移和單元進行編碼；,2、單元局部坐標系下的剛度矩陣;,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為A，求三個單元在整體坐標系下的剛度矩陣。,2.2 平面桁架的單元分析,3、單元整體坐標系分析:,解：,單元整體坐標系下的剛度矩陣為:,4、單元整體坐標系分析:,5、單元整體坐標系分析:,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為A，求結構的剛度矩陣。,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、單元整體坐標系下剛度矩陣分塊,解：,2.3.1 結點的平衡方程,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,F,1,2、結點1的平衡方程：,結點1的受力狀態(tài)為（如右圖）:,結點1的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結點1的平衡條件:,3、結點2的平衡方程：,同理，結點2的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結點2的平衡條件:,4、結點3的平衡方程：,同理，結點3的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結點3的平衡條件:,5、系統(tǒng)的平衡方程：,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,6、結構整體剛度方程,寫成矩陣形式，即可得到結構的整體剛度方程,其中，K為結構的整體剛度矩陣；,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元結點編號,2、累加,整體結點編號,單元剛度系數,整體剛度系數,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,單元定位向量,1,2,3,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,例：求上例平面桁架結構的整體剛度矩陣；,1、定位,單元：,1 2 3,1 2 3,(2) (1),(2) (1),2、累加,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、定位,單元 ：,(2) (1),(2) (1),2、累加,1、定位,單元 ：,2、累加,(1) (2),(1) (2),2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,結構的整體剛度矩陣為:,將每個字塊展開，結構的整體剛度矩陣為:,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、整體剛度矩陣的性質,2.3.2 整體剛度矩陣的集成方法,（1）剛度系數Kij的意義,分塊矩陣：,（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣,反力互等定理,j結點產生的單位桿端位移引起的i結點的桿端力；,j自由度產生的單位桿端位移引起的i自由度的桿端力；,不分塊矩陣：,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,思考題：如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個元素的組成？,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,1,2,3,4,練習題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（分塊）的組成。,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元自由度編號,2、累加,整體自由度編號,2.3 結點平衡與整體剛度矩陣的集成,自由度定位向量,單元剛度系數,整體剛度系數,練習題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（自由度）的組成。,2.4.1 結點邊界條件,2.4 邊界條件的處理,結點可以自由變形，整體結點力等于對應的外荷載。,1、自由變形的結點,2、約束結點或給定了結點位移的數值,約束結點：,給定結點位移：,2.4.2 邊界條件的處理方法,2.4 邊界條件的處理,1）劃行劃列法,處理方法：若第i個自由度位移為零，則將總剛第i行和第i列劃掉，剛度矩陣相應降低一階。,0,0,0,優(yōu)點：簡單易行，矩陣降階，減小計算工作量；,缺點：矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號，程序實現比較復雜；,只適用于約束結點情況；,2.4 邊界條件的處理,2）0、1置換法（填0置1法）,處理方法：將與約束自由度對應整體剛度矩陣對角線元素全部置換成1，相應行和列其他元素置換成0，將同一行荷載分量置換成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,適用條件：只適用于約束結點，不適用給定位移邊界條件；,2.4 邊界條件的處理,3）乘大數法,處理方法：將與約束自由度對應整體剛度矩陣對角線元素乘以一個大數N (1010-1015)，將同一行荷載分量置換成N與對角線元素的乘積與給定位移之積。,N,N,N,NK33b1,NK44b2,NK66b3,優(yōu)點：處理工作量小，適用于給定位移情況；,0,0,0,2.5 單元軸力及支座反力的計算,單元軸力：,(1)整體坐標系下的單元桿端位移,(2)整體坐標系下的單元軸力,2.5.1 單元軸力的計算,位移和荷載向量分解為自由結點和約束結點兩部分，剛度矩陣相應分塊，如下所示：,2.5.2 支座反力的計算,其中：,為自由位移;,為約束位移;,為外荷載;,為約束自由度結點力;,因此：,為支座反力;,為約束自由度結點荷載;,其中：,2.5 單元軸力及支座反力的計算,1、計算分析題 平面桁架結構網格如圖所示，已知EA=1500 kN，采用乘大數方法引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 K。結構坐標系下單元剛度矩陣計算公式如下：,例題,式中：,2、計算分析題 按照有限元法的計算步驟，求圖示桁架結構各桿軸力。已知：EA=10 kn。結構坐標系下的單元剛度矩陣計算公式如下： ：,例題,式中：,2.6 程序設計,程序設計原則 完整性 擴充性 兼容性 邏輯性 可讀性 可維護性 模塊化,2.6 程序設計,程序設計流程圖（程序框圖） 什么是流程圖？ “程序流程圖”常簡稱為“流程圖”，是一種傳統(tǒng)的算法表示法，程序流程圖是人們對解決問題的方法、思路或算法的一種描述。它利用圖形化的符號框來代表各種不同性質的操作，并用流程線來連接這些操作。,2、如何畫流程圖,編碼和單元測試 這個階段的任務是程序員根據目標系統(tǒng)的性質和實際環(huán)境，選取一種適當的高級程序設計語言(必要時用匯編語言)，把詳細設計的結果翻譯成用選定的語言書寫的程序，并且仔細測試編寫出的每一個模塊。 程序員在書寫程序模塊時，應使它的可讀性、可理解性和可維護性良好。,綜合測試,這個階段的任務是通過各種類型的測試，使軟件達到預定的要求。 最基本的測試是集成測試和驗收測試。集成測試是根據設計的軟件結構，把經單元測試的模塊按某種選定的策略裝配起來，在裝配過程中對程序進行必要的測試。驗收測試是按照需求規(guī)格說明書的規(guī)定，由用戶對目標系統(tǒng)進行驗收。 通過對軟件測試結果的分析可以預測軟件的可靠性；反之，根據對軟件可靠性的要求也可以決定測試和調試過程什么時候可以結束。 在進行測試的過程中，應該用正式的文檔把測試計劃、詳細測試方案以及實際測試結果保存下來，作為軟件配置的一部分。,2.6 程序設計,2.6.1 程序框圖,輸入數據,單元局部剛度,坐標轉換矩陣,單元整體剛度,集成整體剛度矩陣元素,約束條件處理、解方程,計算單元軸力、約束反力,單元循環(huán),包括單元、結點、材料、荷載、約束數據,2.6 程序設計,2.6.2 程序說明,1、總體剛度矩陣的半帶寬存儲,總體剛度矩陣：,對稱稀疏矩陣；,0,0,半帶寬：,總體剛度矩陣集成：,2.6 程序設計,行號：,0,列號：,主對角線,半帶寬存儲下三角：,2.6 程序設計,2、先處理法處理邊界條件,單元定位向量：,(1,2),(3,4),(5,6),后處理：,(1,2),(0,0),(3,0),劃行劃列法,先處理法：,單元定位向量：,void force() int i,j,ie,m; float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7; for(ie=1; ie<=ne; ie+) i=jmie1; j=jmie2; m=jmie0; w1=f2*i-2; w2=f2*i-1; w3=f2*j-2; w4=f2*j-1; dx=xyj1-xyi1; dy=xyj2-xyi2;,例題,3、程序說明 下面為一個平面桁架計算程序段，試在左端有編號的程序右面寫出其注釋。（10分）,l=sqrt(dx*dx+dy*dy); cx=dx/l; cy=dy/l; ea=EAm/l; dx=w3-w1; dy=w4-w2; l=ea*(cx*dx+cy*dy); Fie=l; ,1,2,4,5,3,1、運用有限單元法，計算圖示桁架：桿件截面積為A，彈性模量為E，結點2作用集中力，結點3給定水平位移b，要求寫出整體平衡方程及邊界條件處理方法。,作業(yè),2、運用有限單元法程序,計算程序書第4頁作業(yè)題，要求打印輸入文件、輸出文件，并畫出各個桿件的軸力圖。,3、計算分析題（15分） 平面桁架結構網格如圖所示，已知EA=6000 kN，采用填0置1法（0、1置換法）引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 。結構坐標系下單元剛度矩陣計算公式如下：,式中：,作業(yè),4、程序說明（10分） 下面為一個平面桁架計算程序段，左端有編號的程序部分有兩處錯誤，請改正，并在沒有錯誤的程序右面寫出其注釋。（10分）,int ekzk(int ie ) int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji; for(i1=1;i1<=2;i1+) for(i2=1;i2<=2;i2+) 1 i=2*(i1-1)+i2; 2 ii=2*jmiei1+i2; for(j1=1; j1<=2; j1+) for(j2=1; j2<=2; j2+) j=2*(j1-1)+j2; 3 jj=2*(jmiej1-1)+j2; 4 ji=bw+jj-ii+1; 5 if(ji<=bw) Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij; ,作業(yè),