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1、工程中的結構有些可簡化為單自由度體系分析,單層工業(yè)廠房,,水塔,有些不能作為單自由度體系分析，需簡化為多自由度體系進行分析,多層房屋、高層建筑,,不等高廠房排架和塊式基礎,10-5 多自由度體系的自由振動,按建立運動方程的方法，多自由度體系自由振動的求解方法有兩種：剛度法和柔度法。剛度法通過建立力的平衡方程求解，柔度法通過建立位移協(xié)調方程求解，二者各有其適用范圍。多自由度體系自由振動的問題，主要是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。,1、剛度法：（建立力的平衡方程） 兩個自由度的體系,,,,,,,,,,,,,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,質點動平衡方程:,即:

2、,設:,結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型.,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j點產生單位位移(其它點位移=0)時,在i點需施加的力(稱為剛度系數(shù)).,振型計算公式,頻率計算公式,頻率方程,,振型方程,與2相應的第二振型：,因為D=0，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求與1相應的第一振型：,,2 的兩個根均為實根；,矩陣k為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主 子式全部大于零。,故矩陣k為正定矩陣。,k11k22-k12k210,2 的兩個根均為正根；,,與2相應的第二振型

3、：,求與1相應的第一振型：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,多自由度體系能夠按某個主振型自由振動的條件是：初始位移和 初始速度應當與此主振型相對應。,幾點注意： 12必具有相反的符號。 多自由度體系自振頻率的個數(shù)= 其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。 每個自振頻率相應一個主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式。 自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。,一般解：,在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的 振動，在數(shù)學上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。,,< 0, 0,例,質量集中在樓層上m1、m2 ，,層間側移剛度為k1、

4、k2,,,k21,k11,解：求剛度系數(shù)：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,,,,k22,k12,k22=k2 , k12=k2,1)當m1=m2=m,k1=k2=k,代入頻率方程：,求振型：,1第一主振型：,,,Y21=1.618,,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,,Y22=0.618,,Y12=1,第二主振型,,,,2)當m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2,求頻率：,求振型：,如n=90時,當上部質量和剛度很小時，頂部位移很大。 （鞭梢效應）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,,例 試求圖示體系的頻率和振型,解,(1)求剛度系數(shù),(2

5、)求頻率,,解得,,(3)求振型,例 求圖所示兩層剛架的自振頻率和振型。已知橫梁為剛性，各立柱的抗彎剛度，立柱的質量忽略不計，橫梁的質量m1= m2=5000 kg，每層的高度5 m。,解：兩個自由度體系，設m1的位移為y1，m2的位移為y2,2、柔度法,建立振動微分方程：（建立位移協(xié)調方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)應等于體系在當時慣性力,作用下所產生的靜力位移。,柔度法建立的振動微分方程,,頻率方程,振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全為零。,求得頻率：,,頻率方程和自振頻率：,設各質點按相同頻率和初相角作簡諧振動,Y1 ，Y2是質點位移幅值,體系頻率的數(shù)目總等于

6、其自由度數(shù)目,,主振型(normal mode shape),不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它們的比值。,,第一主振型,第二 主振型,頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目,主振型是體系由此主振型慣性力幅值,所引起的靜力位移。,例 求簡支梁的自振 頻率和主振型。,解：1）求柔度系數(shù),,,,,求得頻率：,求得主振型：,例 求簡支梁的自振 頻率和主振型。,另解：如果結構本身和質 量分布都是對稱的，則主 振型不是對稱就是反對稱。 故可取半邊結構計算 ：,對稱情況：,反對稱情況：,例 求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI =常數(shù)。,解 ：將原結構化成正對稱和反對稱半結構分別計算（圖b、c）

7、。,，,當=1時，振型為正對稱，則,當=2時，振型為反對稱，則,,例：求圖示體系對稱振動情況下的頻率。,,2,1,0.5,,1,,1,0.875,0.25,,,Yij為正時表示質量mi的運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。,例 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）計算頻率,（2）振型,,,第一振型,第二振型,例 試求結構的自振頻率和振型.,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,例 求圖示體系的頻率、振型,解:,令,,,,,y1,yi,yn,ri,動平衡方程：,,ri,ri 應滿足剛度方程,kij是結構的剛度系數(shù)，使點j

8、產生單位位移（其它點位移為零） 時在點i所需施加的力。,..,..,多自由度體系,或：,設解為： y=Ysin(t+),得振幅方程： ( K2 M )Y=0,得頻率方程： K2 M0,可求出個頻率,與相應的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0 不過只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。 標準化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。,..,..,..,例：,質量集中在樓層上，,層間側移剛度如圖。求自振頻率,解：1）求剛度系數(shù)：,k,,k33=k/5,剛度矩陣K和質量矩陣M：,展開得：234222252250 解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027,2）求頻

9、率：代入頻率方程： K2 M0,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后兩式： （令Y3i=1）,（a）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Yij為正時表示質量mi的運動方向與單位位移方向相同，為負時，表示與單位位移方向相反。,,利用剛度法的方程間接導出柔度法方程：,由剛度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0 令=1/2 ( M I )Y=0 得頻率方程： M I =0 其展開式:,是關于的n次代 數(shù)方程,先求出i 再求出頻率i,將i代入 (

10、M i I )Y(i)=0 可求出n個主振型.,可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當 計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當計算體系的 剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。,例：,質量集中在樓層上，,層間側移剛度如圖。=1/k,11=,解：1）求柔度系數(shù)：,k,柔度矩陣和質量矩陣M：,21,31,32=4,22=4,13=,23=4,33=9,12=,展開得:,解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151,三個頻率為：,3）求主振型： （令Y3i=1）將1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前兩式：,2）求頻率：,解得：,同理可得第

11、二、 第三振型,例 試求結構的自振頻率和振型.EI=常數(shù),,,m,,m,,,,,,,,l/4,l/4,l/4,,,l/4,,m,解,(1)求柔度系數(shù),(2)求頻率,(3)求振型,令每個振型的第一個元素為1，得,幾點說明：,1)按振型作自由振動時，各質點的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。,2)發(fā)生按振型的自由振動是有條件的.,4)N自由度體系有N個頻率和N個振型,頻率方程,解頻率方程得 ,從小到大排列,依次稱作第一頻率,第二頻率...,第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.,將頻率代入振型方程,得N個振型,N個振型是線性無關的.,3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素無關.,多自由度體系自由振動的計算步驟：,建立體系自身的質量矩陣M：,根據(jù)頻率方程計算結構的各階自振頻率i,計算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣 ：,計算結構的主振型向量Yi,