平面及其基本性質(zhì),一、空間概念,空間圖形是由空間的點(diǎn)、線、面所構(gòu)成，這些圖形上的點(diǎn)不完全在同一平面內(nèi)，例如：桌子、書(shū)、粉筆、螺母等物體，以及我們所熟悉的長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐等幾何圖形，這些都屬于空間圖形，平面圖形是空間圖形的一部分。 從集合觀點(diǎn)看，空間圖形是滿足某種條件的空間點(diǎn)的集合。,什么是空間圖形？,象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以_的局部形象,1.平面的概念：,光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.,2.平面的特征：,平面沒(méi)有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無(wú)限延展的。,數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。,平面,黑板面是平面,（）,A,D,C,B,平面,、平面AC,二.平面的表示方法,1.圖形語(yǔ)言：通常用平行四邊形來(lái)表示平面,2.符號(hào)語(yǔ)言：通常用希臘字母 等來(lái)表示，如：平面 也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如：平面AC,直立平面,水平平面,注意： (1) 當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫(huà)成45，橫邊畫(huà)成鄰邊長(zhǎng)的2倍。,（2）畫(huà)直立平面時(shí)，要有一組對(duì)邊為豎直。,一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖,（3）相交兩平面：,補(bǔ)充：用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：,點(diǎn)A在直線a上：,記為：Aa,點(diǎn)B不在直線a上：,點(diǎn)A在平面內(nèi)：,記為：A,點(diǎn)B不在平面上：,(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：,(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：,觀察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？,三.平面的基本性質(zhì),1公理1： 文字語(yǔ)言：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) ；,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：Al；Bl，A，B AB .,l,練習(xí)：,（1）,。,（2）,。,公理1的作用有兩個(gè)：（1）作為判斷和證明直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，即只需要看直線上是否有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)就可以了；,（2）公理1可以用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)面是否為平面，檢驗(yàn)的方法為：把一條直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，固定兩個(gè)點(diǎn)在面內(nèi)后，如果其他點(diǎn)也在面內(nèi)，則該面為平面。,將一把直尺置于桌面上，通過(guò)是否漏光 就能檢查桌面是否平整,3公理2： 文字語(yǔ)言：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，也可以說(shuō)成不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：A、B、C三點(diǎn)不共線，有且只有一個(gè)平面，使得A，B， C.,C,如何理解公理2？ (1) 公理2是確定平面的條件，也是證明兩個(gè)平面重合的依據(jù). (2) 確定平面的條件是將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題來(lái)解決的重要依據(jù)，也為證明直線共面問(wèn)題提供了依據(jù). (3) 深刻理解“有且只有”的含義，這里的“有”是說(shuō)平面存在，“只有”是說(shuō)平面惟一，“有且只有”強(qiáng)調(diào)平面存在并且惟一這兩方面.,觀察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？,天花板,墻面,墻面,2. 公理3： 文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,.,如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面與平面的位置關(guān)系，只要“兩面共一點(diǎn)”，就有“兩面共一線，且過(guò)這一點(diǎn)，線惟一”. (2) 從集合的角度看，對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要他們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線.,(3) 公理3的作用: 其一判定兩個(gè)平面是否相交; 其二可以判定點(diǎn)在直線上. 點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在線上. 因此它還是證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)，并且作為畫(huà)截面的依據(jù).,觀察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？,平面基本性質(zhì)的推論,六. 平面基本性質(zhì)的推論,文字語(yǔ)言 ：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,a與A共屬于平面且平面惟一 .,（1）推論1：,（2）推論2：,文字語(yǔ)言 :經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,a，b共面于平面，且是惟一的 .,A,（3）推論3：,文字語(yǔ)言 :經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,a，b共面于平面，且是惟一的 .,a,1.正方體的各頂點(diǎn)如圖所示，正方體的三個(gè)面所在平面 ，分別記作 ，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空,2.判斷題： （1）如果一條線段在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條線段的延長(zhǎng)線也在這個(gè)平面內(nèi)。 （2）三點(diǎn)確定一個(gè)平面。 （3）過(guò)一條直線可以作無(wú)數(shù)多個(gè)平面。 （4）三條相交于一點(diǎn)的直線，最多能確定一個(gè)平面。 （5）四條線段首尾相連，所得的封閉圖形一定是平面圖形。 （6）兩平面相交，有時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。 （7）過(guò)直線外一點(diǎn)，引三條直線與已知直線相交，這三條直線一定在同一平面內(nèi)。 （8）三角形、梯形是平面圖形。 （9）空間三條直線兩兩平行，這樣的三條直線最多可以確定三個(gè)平面。,提高題：如圖，在長(zhǎng)方體中， 為棱的中點(diǎn)，畫(huà)出 由，三點(diǎn)所確定 的平面與長(zhǎng)方體表面的交線,分析：因?yàn)辄c(diǎn)既在平面 內(nèi)又在平面內(nèi)，所以點(diǎn) P在平面 與平面AB1 的交線 上.同理,點(diǎn)A1在平面 與平面 AB1的交線上,因此,PA1就是平面 與平面AB1的交線.,作法: 連結(jié)A1P,PC1,A1C1,它們 就是平面與長(zhǎng)方體表面的交線.,1.平面的基本性質(zhì),兩點(diǎn),不在一條直線,有且只有一條,