3.3等式與方程,教學目標,1、說出等式的意義，并能舉出例子，會區(qū)別等式與代數(shù)式；能說出等式的兩條性質，會利用它們將簡單的等式變形； 2、弄懂方程、方程的解、解方程的含義，并會檢驗一個數(shù)是否是某個一元方程的解； 3、培養(yǎng)觀察、分析、概括的能力； 4、初步滲透特殊一般特殊的辯證唯物主義思想,一、提出問題：,指出下列式子中哪些是等式？哪些是代數(shù)式？ a-b+ca-(b-c) a-b+c 3-5=-2 2x-x-l 2x-x-1=0 -2(x-1)=-2x+2,解：、是等式， 、是代數(shù)式 說明：等式和代數(shù)式既有區(qū)別，又有聯(lián)系首先等號是關系符號，而代數(shù)式中只有運算符號，所以代數(shù)式不是等式，但等式的左邊和右邊都是代數(shù)式,注意： 等式與代數(shù)式不能混同代數(shù)式不含有等號，等式的左右兩邊才是代數(shù)式(或其它式子) 代數(shù)式沒有等號，所以公式和等式都不是代數(shù)式；公式和等式有等號，它們的兩邊是兩個代數(shù)式；公式是等式，但等式不一定是公式，如3-5=-2就是等式，而非公式,二、知識梳理：,1、什么叫等式？等式有多少種類型？ 課本通過我們熟悉的式子： 1+2=3 a+b=b+a， S=a+b 4+x=7 告訴我們：像這種用等號“=”來表示相等關系的式子，叫做等式,等式又可以分為以下三種類型：,(1)恒等式：如1+2=3，a+b=b+a，在字母允許的取值范圍內，不論等式中的字母取任何數(shù)值，等式兩邊的值都相同的等式我們把它叫做恒等式 一般的用字母表示的運算法則，公式均屬于這一類，如乘法分配律m(a+b)=ma+mb，去括號法則a-(b+c)=a-b-c等等,(2)條件等式它只是在等式中的字母取某些數(shù)值時才成立的等式如4+x=7，只有當x=3時，等式左、右兩邊的值才相等這種等式我們把它叫做條件等式 (3)矛盾等式它是指無論等式中的字母取任何數(shù)值，等式的左、右兩邊的值都不相等 如a2+4=1，我們把它叫做矛盾等式,等式所表示的不同意義牽涉到以下問題：,（1）為什么不定義“用符號連結兩個代數(shù)式所得到的式子叫做等式”呢？ 因為這是一個形式定義，它沒有反映出等式的實質。例如，x+1是“絕對大于”x的，但如果承認“x+1=x”是等式或“矛盾等式”，邏輯上是不合理的。再說，等式A=B的兩邊可以不是代數(shù)式，比方可以是超越式、矩陣、命題等。另外，“兩個代數(shù)式”中的“兩個”也不妥，這樣就會排除像“a=b=c”這樣的連等式。而事實上，所謂等式的“左端”“右端”，正是在連等式中才有意義，例如上面連等式中，左端為a，右端為c。,（2）為什么不把恒等式與等式分開定義呢？ 這是因為恒等式不一定與字母有關。 例如 ，實際是一個恒等式，我們也 不要求同學弄清這里該用“=”號還是“”號。其次，如果一個恒等式中含有字母，那么恒等概念依靠的是函數(shù)概念，顯然，對初一學生先講函數(shù)是不合理的。所以，在不少場合下，把“=”與“”兩種符號合并為“=”號，有一定的好處。,例1、某數(shù)的 比該數(shù)的 大7，列出 等式.,2、等式的性質,等式有以下兩條性質： 性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得的結果仍是等式 性質1:若a=b，則a+m=b+m 性質2：等式兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不為零)，所得的結果仍是等式 性質2 若a=b，則am=bm， .,例2 如何從等式 得 到x=-30,例3、運用等式的性質，求出下列等式中字母x的值 （1）5x-7=8 （2）,等式性質1和性質2在運用上的異同點:,相同點：等式兩邊都是施以同一種運算，等式兩邊都加上(或減去)、都乘以(或除以)同一個數(shù) 不同點：性質1等式兩邊可以都加同一整式，而性質2不能實施； 在等式兩邊只能乘、除同一個數(shù)，而且此數(shù)不能等于零，性質1不受零的限制,等式除了課本介紹的兩個性質外還有其它性質嗎？,還有其他性質我們在初中階段解方程或其它等式變形中，常用的是課本上的這兩個性質，同學們必須很好地理解和掌握但實際上，我們在后邊的學習中還會用到以下兩條性質： 若A=B，則B=A，這是等式的對稱性 若A=B，B=C，則A=C，這是等式的傳遞性 至于其它一些等式的性質，在不同的學習階段，同學們還要逐步學習,3、等式與方程有的關系,方程是含有未知數(shù)的等式這就很明確的說明了等式與方程的關系 首先，方程一定是等式； 第二，方程中必須含有未知數(shù)，這兩個條件缺一不可 也就是說，等式不一定是方程如1+2=3是等式，但它不是方程,由于方程是等式，所以方程的解也就會有三種可能：,如果方程恰是恒等式，則方程的解可以是任意的有理數(shù)如2x+3-x=x+3，它的解是x為任意有理數(shù) 如果方程恰是矛盾等式，則方程無解如2x2+1=0，我們說這個方程無解 如果方程是條件等式，則方程的解是某個確定的值，如4+x=7，x=3是這個方程的解,例4、下列各式中哪些是方程？是方程的指出未知數(shù) (l)2x-3=0； (2)35-27=5+3； (3)15x2-7x+2； (4)3(x+y)=4； （5）3x-10； （6） （7） （8）y-1=1-y.,分析： 要判定一個式子是不是方程，主要從以下兩點入手：一是先看看是不是等式，第二再看看等式中是否含有未知數(shù) 解：(l)是方程，其中x是未知數(shù)； (2)不是方程； (3)不是方程； (4)是方程，其中x、y是未知數(shù)； (5)不是方程； (6)是方程，其中x是未知數(shù)； (7)是方程，其中x是未知數(shù)； (8)是方程，其中y是未知數(shù),4、解方程,定義：使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 “方程的解”和“解方程”中的“解”字有什么不同？ “方程的解”中的“解”字是名詞，表示能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)所取的數(shù)值這樣的值可能有一個或多個，也可能沒有，所以方程可能有一解或多解也可能無解而“解方程”中的“解”字是動詞，表示尋求方程的解或判定方程無解的過程,“根”與“解”有什么關系？ 使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的數(shù)值，叫方程的解；只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫方程的根,同解方程和方程同解原理 如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程，就叫做同解方程 例如：方程2x+1=19的解是x=9 方程2x=18的解也是x=9 那么這兩個方程就是同解方程,方程同解原理有兩個：,方程同解原理1:方程兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程 方程同解原理2:方程兩邊都乘以(或除以)同一個不等于0的數(shù)，所得方程與原方程是同解方程,例5、根據(jù)方程同解原理，說明下列兩個方程是同解方程 （1）3x-5=x+11 （2） 解：方程(1)兩邊都減去x， 即2x-5=11(同解原理1) 方程兩邊都減去11， 得：2x-16=0(同解原理1) 方程兩邊都除以16，即 （同解原理2） 從而得到了方程(2)， 所以方程(1)和(2)是同解方程,例6、檢驗下列各數(shù)是不是方程3y-5=10-2y的解 (1)y=-1 (2)y=3 分析： 檢驗一個數(shù)是不是方程的解，只要把這個數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，看看左右兩邊是否相等即可,解：(1)把y=-1分別代入方程的左邊和右邊， 得：左邊=3(-1)-5=-8， 右邊=10-2(-1)=12 左邊右邊 y=-1不是方程3y-5=10-2y的解 (2)把y=3分別代入方程的左邊和右邊， 得：左邊=33-5=4， 右邊=10-23=4 左邊=右邊 y=3是方程3y-5=10-2y的解,說明：1“左邊”、“右邊”是定義過的概念，不要簡寫成“左”、“右”，也不要寫成“左端”、“右端” 2注意檢驗格式，體現(xiàn)出驗證推理的過程，有些同學喜歡這樣寫過程(以(2)小題為例) “把y=3分別代入方程的左邊和右邊， 得：33-5=10-23 4=4 y=3是方程3y-5=10-2y的解” 上面的表達法實際上已經事先承認“左邊等于右邊”，這樣的驗證過程是不能成立的，也是碰巧，若以(l)小題為例，就會出現(xiàn)矛盾的表達方式 “把y=-l分別代入方程的左邊和右邊， 得：3(-1)-510-2(-1) -8=12” “-8=12”顯然是錯誤的，所以在學習過程中要格外留心這些地方,例7、已知：x=-4是方程m(x-1)=4x-m的解，求m的值 分析： 方程，左、右兩邊的值相等，所以將x=-4代入方程后即可得到關于m的方程，解方程即可求得m的值,例8、填空： （1）若方程 的解是 ，則 m=_； (2)若方程3a+2=3(x+4)-4的解是-3， 則3a3-2a2+1的值的是_,例9、根據(jù)下列條件，列出方程： (1)x的4倍加上3等于x的一半減去6； (2)y的 倍比它的相反數(shù)的 還多 ； (3)x的20%與x的差比x的 少3.,例10、試根據(jù)下列條件列出方程： (1)某數(shù)減去13是它的 ； (2)甲、乙兩數(shù)的和為12，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍少2,三、小結：,(1)方程、等式、代數(shù)式，這三者的定義是正確區(qū)分它們的唯一標準； 表示相等關系的式子叫等式，等式的特征是式子中含有“=”號，而代數(shù)式不含“=”號，所以代數(shù)式不是等式，等式可用來表示兩個代數(shù)式之間的相等關系，等式中“=”號兩邊的式子都是代數(shù)式，而代數(shù)式是用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子當不論用任何數(shù)值代替等式中的字母，其左右兩邊的值總相等時，這樣的等式叫恒等式，特別地，由數(shù)字計算組成的等式都是恒等式，由此可見，等式不一定是恒等式，但恒等式則一定是等式,（2）方程的解是一個數(shù)值(或幾個數(shù)值)，它是使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值它是根據(jù)未知數(shù)與已知數(shù)之間的相等關系確定的而解方程是指確定方程的解的過程，是一個變形過程。,四、課后練習：,1、簡答下列各題： (l)怎樣從等式3a-2b=2，得到3a=2+2b？ (2)怎樣從等式R+4=r+4，得到R=r？ (3)如果ma=mb，那么a=b這句話對嗎？為什么？ (4)如果a=b，那么ma=mb這句話對嗎？為什么？,2、檢驗下列各小題括號里的數(shù)是不是它前面的方程的解：,3、已知-1是關于x的方程x+3|a|=5-9x的解，求a的值，并解出此時的方程加以驗證 4、已知關于x的方程-2x2m-1+3=-5是一元一次方程，求m的值，并解這個方程,