離散型隨機變量的均值與方差 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解取有限個值的離散型隨機變量的均值或期望的概念，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實際問題； 2. 理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實際問題； 【要點梳理】 要點一、離散型隨機變量的期望 1.定義： 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為 … … P … … 則稱…… 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． 要點詮釋： （1）均值（期望）是隨機變量的一個重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值離散型隨機變量的概率分布中，令…，則有…，…，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值。 （3）隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位． 2．性質(zhì)： ①； ②若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，有； 的推導(dǎo)過程如下：： 的分布列為 … … … … P … … 于是…… ＝……)……)＝ ∴。 要點二：離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念： 已知一組數(shù)據(jù)，，…，，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù) ＋＋…＋叫做這組數(shù)據(jù)的方差。 2.離散型隨機變量的方差： 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為 … … P … … 則稱＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的方差，式中的是隨機變量的期望． 的算術(shù)平方根叫做隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作． 要點詮釋： ⑴隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的； ⑵隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）． ⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛。 3.期望和方差的關(guān)系： 4.方差的性質(zhì)： 若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，； 要點三：常見分布的期望與方差 1、二點分布： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布，則 期望 方差 證明：∵,,, ∴ 2、二項分布： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，即則 期望 方差 期望公式證明： ∵， ∴， 又∵， ∴＋＋…＋＋…＋ ． 3、幾何分布： 獨立重復(fù)試驗中，若事件在每一次試驗中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時所做的試驗次數(shù)是隨機變量，且，，稱離散型隨機變量服從幾何分布，記作：。 若離散型隨機變量服從幾何分布，且則 期望 方差 要點詮釋：隨機變量是否服從二項分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個角度去驗證。 4、超幾何分布： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則 期望 要點四：離散型隨機變量的期望與方差的求法及應(yīng)用 1、求離散型隨機變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟： ①理解的意義，寫出可能取的全部值； ②求取各個值的概率，寫出分布列； … … P … … ③根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出、、： . 注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計算即可． 2.離散型隨機變量的期望與方差的實際意義及應(yīng)用 ① 離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平； ② 隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波動越大。 ③對于兩個隨機變量和，當(dāng)需要了解他們的平均水平時，可比較和的大小。 ④和相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時，比較和，方差值大時，則表明ξ比較離散，反之，則表明ξ比較集中．品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望、方差）有關(guān)． 【典型例題】 類型一、離散型隨機變量的期望 例1．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，則y的值為________． 【思路點撥】分布列中含有字母x、y,應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出x、y的值，再利用期望的定義求解； 【解析】x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4.② 由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4. 【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 舉一反三： 【變式1】某一離散型隨機變量ξ的概率分布如下，且E（ξ）=1.5，則a－b為（ ）． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．－0.1 B．0 C．0.1 D．0.2 【答案】B 由分布列的性質(zhì)知：0.1+a+b+0.1=1， ∴a+b=0.8．又E（ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2． 解得a=0.4，b=0.4，∴a－b=0． 【變式2】隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3 ，則E(5ξ＋4)等于(　　) A．13　　　B．11 C．2.2 D．2.3 【答案】A 由已知得： E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價是每束2.5元，銷售價每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理．根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤是 ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元 B．690元 C．754元 D．720元 【答案】A 節(jié)日期間預(yù)售的量： Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 則期望的利潤： η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利潤為706元． 【變式4】設(shè)離散型隨機變量的可能取值為1，2，3，4，且（），，則 ； 【答案】； 由分布列的概率和為1，有， 又，即， 解得，，故。 例2. 某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． （1）求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望； （2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X≥0）的概率． 【思路點撥】本題顯然為獨立重復(fù)試驗的問題，因此求各個情況的概率直接用公式即可。 （1）求X的可能取值，即求得分，答對0道題得－300分，答對1道題得100－200=－100分，答對2道題得2×100－100=100分，答對3道題得300分；（2）總分不為負(fù)分包括100分和300分兩種情況． 【解析】 （1）X的可能取值為－300，－100，100，300． P（X=－300）=0.23=0.008。 P（X=－100）=×0.22×0.8=0.096， P（X=100）=×0.2×0.82=0.384， P（X=300）=0.83=0.512． 所以X的概率分布為 X －300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴E（X）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 P（X≥0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896． 【總結(jié)升華】求離散型隨機變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表． 舉一反三： 【變式1】 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望 【答案】因為， 所以 【變式2】一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望． 【答案】 設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3 當(dāng)時，即第一次取得正品，試驗停止，則 當(dāng)時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則 當(dāng)時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則 當(dāng)時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則 ∴分布列為 0 1 2 3 p ∴ 【變式3】 某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量．設(shè)他所收租車費為η (Ⅰ)求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式； (Ⅱ)若隨機變量ξ的分布列為 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租車費η的數(shù)學(xué)期望． (Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃鄮追昼? 【答案】 (Ⅰ)依題意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2； (Ⅱ) ∵ η=2ξ+2 ∴ 2Eξ+2=34.8 （元） 故所收租車費η的數(shù)學(xué)期望為34.8元． 　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 　　所以出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃?5分鐘 例3．若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差。 【思路點撥】3次有放回的抽取就是3次獨立重復(fù)試驗，取出二等品的件數(shù)這一隨機變量服從二項分布。 【解析】由題知一次取出二等品的概率為，有放回地抽取3件，可以看作3次獨立重復(fù)試驗， 即取出二等品的件數(shù)， 所以， . 【總結(jié)升華】 在確定隨機變量服從特殊分布以后，可直接運用公式求其均值． 舉一反三： 【變式1】 英語考試有100道選擇題，每個題有4個選項，選對得1分，否則得0分，學(xué)生甲會其中的20道，學(xué)生乙會其中的80道，不會的均隨機選擇，求甲、乙在這次測驗中得分的數(shù)學(xué)期望． 【答案】 設(shè)甲、乙不會的題的得分分別為隨機變量X和Y，由題意知X～B（80，0.25），Y～B（20，0.25）， ∴E（X）=80×0.25=20，E（Y）=20×0.25=5． 故甲、乙的數(shù)學(xué)期望成績分別為40分和85分． 【變式2】 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的數(shù)學(xué)期望． 【答案】 甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項分布． （1）， ， ， 。 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P （2）由（1）知， 或由題意，。 ∴，。 【變式3】 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，則, , 由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5 所以，他們在測驗中的成績的期望分別是： 類型二、離散型隨機變量的方差 例4. 設(shè)X是一個離散型隨機變量，其概率分布如下表，試求E（X）和D（X）． X －1 0 1 P 1－2q q2 【思路點撥】 由概率分布的性質(zhì)求出q的值后，再計算E（X），D（X）． 【解析】 由概率分布的性質(zhì)，得： ，得。 ∴， 。 【總結(jié)升華】求隨機變量的方差，應(yīng)先明確隨機變量的概率分布。然后利用均值與方差的定義列式計算． 舉一反三： 【變式1】 設(shè)隨機變量X的概率分布為 X 1 2 … n P … 求D(X）。 【答案】 本題考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定義求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2來解． 解法一： ， ∴D 。 解法二：由解法一可求得。 又 ， ∴D。 【變式2】 1．已知隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P （1）求E（ξ），D（ξ），η； （2）設(shè)η=2ξ+3，求E（η），D（η）． 【答案】（1）； ，。 （2），。 例5. 設(shè)某運動員投籃投中的概率為p=0.6． （1）求一次投籃時，投中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差； （2）求重復(fù)5次投籃時，投中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差． 【思路點撥】（1）投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點分布；（2）重復(fù)投籃5次的投中次數(shù)Y服從二項分布． 【解析】（1）X服從兩點分布，其分布列如下： X 0 1 P 0.4 0.6 所以E（X）=p=0.6，D（X）=p（1－p）=0.24． （2）由題設(shè)，Y～B（5，0.6）． 所以E（Y）=np=5×0.6=3， D（Y）=np（1－p）=5×0.6×0.4=1.2． 【總結(jié)升華】對于兩點分布、二項分布，可直接運用公式計算． 舉一反三： 【變式1】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球三次得分的期望和方差。 【答案】罰球三次可以看作3次獨立重復(fù)試驗，即罰球三次得分， 所以 . 【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為X,求X的分布列,期望和方差. 【答案】 類型三、離散型隨機變量的期望和方差的應(yīng)用 例6. 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個隨機變量，分別記為X1和X2，它們的概率分布分別為 X1 0 1 2 X2 0 1 2 P 0.1 a 0.4 p 0.2 0.2 b （1）求a，b的值； （2）計算X1和X2的數(shù)學(xué)期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況． 【思路點撥】 本題考查分布列的性質(zhì)、期望與方差的求法及對期望與方差的理解．（1）可直接由分布列的性質(zhì)列式求解．（2）利用定義求期望與方差． 【解析】 （1）由分布列的性質(zhì)知， 0.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1， 即a=0.5，b=0.6。 （2）E（X1）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3， E（X2）=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4， D（X1）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41， D（X2）=(0－1.4)2×0.2+(1－1.4)2×0.2+(2－1.4)2×0.6=0.64。 由上述計算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點，但乙的穩(wěn)定性不如甲． 【總結(jié)升華】離散型隨機變量的期望與方差分別反映了隨機變量的取值的平均水平和波動大?。ɑ螂x散程度）． 舉一反三： 【變式1】A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：問哪一臺機床加工質(zhì)量較好. A機床 B機床 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 【答案】 Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它們的期望相同，再比較它們的方差. Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 【變式2】有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息： 甲單位不同職位月工資X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 獲得相應(yīng)職位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙單位不同職位月工資X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 獲得相應(yīng)職位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？ 【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得 E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400， D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000； E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400， D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位． 【變式3】 某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司繳納每輛900元的保險金，對在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車最多只賠償一次），設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為，，，且各車是否發(fā)生事故相互獨立，求一年內(nèi)該單位在此保險中： （1）獲賠的概率；（2）獲賠金額X的分布列與期望． 【答案】設(shè)表示第輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，. 由題意知獨立，且. （Ⅰ）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為 . （Ⅱ）的所有可能值為. , ， ， . 綜上知，的分布列為 0 9000 18000 27000 P 求的期望有兩種解法： 解法一：由的分布列得 （元） 解法二：設(shè)表示第輛車一年內(nèi)的獲賠金額，， 則有分布列 0 9000 P 故. 同理得. 綜上有 （元）. 第15頁 共15頁