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第三章 離散傅里葉變換 離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于DTFT他更便于用計算機處理。但是，直至上個世紀六十年代，由于數(shù)字計算機的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計算量較大，離散傅里葉變換長期得不到真正的應用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強大功能，并被廣泛地應用于各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)中。近年來，計算機的處理速率有了驚人的發(fā)展，同時在數(shù)字信號處理領域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都可以通DFT在計算機上 實現(xiàn)。 二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題： 一是離散與量化， 二是快速運算。 傅氏變換 離散量化 DFT(FFT) 信號處理 § 3-2 傅氏變換的幾種可能形式 一. 連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換 t X(t) 時域信號 頻域信號 連續(xù)的 非周期的 非周期的 連續(xù)的 對稱性： 時域連續(xù)，則頻域非周期。 反之亦然。 二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù) 0 t --- --- 0 *時域周期為Tp, 頻域譜線間隔為2π/Tp 時域信號 頻域信號 連續(xù)的 周期的 非周期的 離散的 三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換 --序列的傅氏變換 x(nT) T -T 0 T 2T t 時域信號 頻域信號 離散的 非周期的 周期的 連續(xù)的 四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFT t 0 T 2T 1 2 N n NT 0 0 1 2 3 k 由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。 時域信號 頻域信號 離散的 周期的 周期的 離散的 DFT的簡單推演： 在一個周期內(nèi)，可進行如下變換： 視作n的函數(shù)， 視作k的函數(shù)， 這樣, § 3-3 周期序列的DFS 一.周期序列DFS的引入 導出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復數(shù)傅氏級數(shù)開始的： 對上式進行抽樣，得： ，代入 又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進行，即 這就是說，當在k=0,1,..., N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結果是一致的。 二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預備知識 同樣，當 時，p也為任意整數(shù)，則 亦即 所以 2. 的表達式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和，則： 通常將定標因子1/N移到 表示式中。 即： 3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法 通常用符號 代入，則： 正變換： 反變換： 4. 的周期性與用Z變換的求法 周期性： 用Z變換的求 ： 對 作Z變換， 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) k=0 如果 ，則有 可見， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的 N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。 § 3-4 DFS的性質(zhì) 一.線性 如果 則有 其中，a,b為任意常數(shù)。 二.序列的移位 如果 則有： 證明： 令i=m+n,則 n=i-m。n=0 時，i=m; n=N-1時，i=N-1+m 所以 * 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。 三.調(diào)制特性 如果 則有 證明： 時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。 四.周期卷積和 1.如果 則： 2.兩個周期序列的周期卷積過程 （1）畫出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計算出： 計算區(qū) m m m 0 1 2 3 （3）將 右移一位、得到 m 可計算出： 計算區(qū) m m 0 1 2 3 m （4）將 再右移一位、得到 ， 可計算出： （5）以此類推， n 1 3 4 4 3.頻域卷積定理 如果 ，則 § 3-5 DFT--有限長序列的離散頻域表示 一.預備知識 1.余數(shù)運算表達式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為 。 二.有限長序列x(n)和周期序列 的關系 周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。 = , 0￡n￡N-1 0 , 其他n 有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。 如： ... ... n 三.周期序列 與有限長序列X(k)的關系 同樣， 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。 而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。 四.從DFS到DFT 從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進行。 因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。 , 0￡k￡N-1 , 0￡n￡N-1 或者： § 3-6 DFT的性質(zhì) 一.線性 1.兩序列都是N點時 如果 則有： 2. 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者進行補零達到N點。 二.序列的圓周移位 1.定義 一個有限長序列 的圓周移位定義為 這里包括三層意思： ?先將 進行周期延拓 ·再進行移位 ?最后取主值序列： n 0 N-1 n 0 周期延拓 n 0 左移2 n 0 取主值 N-1 2.圓周位移的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把 排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于 在圓上旋轉，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列 ： 。 三、共軛對稱性 1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量 周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對 稱分量分別定義為 同樣，有 2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量 有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為 由于 所以 這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。 3.共軛對稱特性之一 證明： 4.共軛對稱特性之二 證明： 可知： 5.共軛對稱特性之三 證明： 6.共軛對稱特性之四 證明： 7.共軛對稱特性之五、六 8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性 9.實、虛序列的對稱特性 當x(n)為實序列時，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k) 又據(jù)Xep(k)的對稱性： 當x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k) 又據(jù)Xop(k)的對稱性： 四.圓周卷積和 1.時域卷積定理 設 和 均為長度為N的有限長序列， 且 ， 五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積 1.線性卷積 的長度為 的長度為 它們線性卷積為 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間。 2.用圓周卷積計算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列。 的長度為 , 的長度為 ,先構造長度均為L長的序 列, 即將 補零點;然后再對它們進行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積： § 3-7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論 一.如何從頻域抽樣恢復原序列 1.兩種抽樣 時域抽樣： 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復原信號。 頻域抽樣： 對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。 2.由頻域抽樣恢復序列 一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位 圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到 3.頻域抽樣不失真的條件 ?當x(n)不是有限長時，無法周期延拓； ·當x(n)為長度M,只有N3M時,才能不失真的恢復信號,即 §3-8 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近 一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率; 為信號的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。 2.頻譜泄漏 在實際應用中，通常將所觀測的信號 限制在一定的時間間隔內(nèi),也 就是說，在時域?qū)π盘栠M行截斷操作,或 稱作加時間窗,亦即用時間窗函數(shù)乘以信號,由卷積定理可知，時域相乘,頻域為卷積,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏。 3.柵欄效應 用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率 的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應。補零點加大周期 ，可使F變小來提高辨力，以減少柵欄效應。 二.DFT與連續(xù)時間信號傅氏變換間相對數(shù)值的確定 1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對 2.連續(xù)時間周期信號傅氏級數(shù)變換對 3.DFT變換時： 4.用DFT計算非周期信號的傅氏變換 用DFT計算所得的頻譜分量乘以T， 就等于頻譜的正常幅度電平； 用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換，再乘以 就得到所需信號的正常幅 度電平。所以,從時間到頻率,再從頻率到時間，整個過程總共乘了 幅度電平未受到影響。 用DFT計算所得的頻譜分量乘以T的理由： 設 5.用DFT計算周期信號的傅氏級數(shù) 用DFT計算出的頻譜分量乘以 1/N等于周期信號的頻譜的正常幅 度電平。而用IDFT的計算結果乘以N才等于周期信號。