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第三章 離散傅里葉變換
離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義,相對于DTFT他更便于用計算機處理。但是,直至上個世紀六十年代,由于數(shù)字計算機的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計算量較大,離散傅里葉變換長期得不到真正的應用,快速離散傅里葉變換算法的提出,才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強大功能,并被廣泛地應用于各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)中。近年來,計算機的處理速率有了驚人的發(fā)展,同時在數(shù)字信號處理領域出現(xiàn)了許多新的方法,但在許多應用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算法。
§ 3-1 引言
一.DFT是重要的變換
1.分析有限長序列的有用工具。
2.在信號處理的理論上有重要意義。
3.在運算方法上起核心作用,譜分析、卷積、相關都可以通DFT在計算機上 實現(xiàn)。
二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁
DFT要解決兩個問題:
一是離散與量化,
二是快速運算。
傅氏變換 離散量化 DFT(FFT) 信號處理
§ 3-2 傅氏變換的幾種可能形式
一. 連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換
t
X(t)
時域信號
頻域信號
連續(xù)的
非周期的
非周期的
連續(xù)的
對稱性:
時域連續(xù),則頻域非周期。 反之亦然。
二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)
0
t
---
---
0
*時域周期為Tp,
頻域譜線間隔為2π/Tp
時域信號
頻域信號
連續(xù)的
周期的
非周期的
離散的
三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換
--序列的傅氏變換
x(nT)
T
-T
0
T
2T
t
時域信號
頻域信號
離散的
非周期的
周期的
連續(xù)的
四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFT
t
0
T
2T
1 2 N
n
NT
0
0 1 2 3
k
由上述分析可知,要想在時域和頻域都是離散的,那么兩域必須是周期的。
時域信號
頻域信號
離散的
周期的
周期的
離散的
DFT的簡單推演:
在一個周期內(nèi),可進行如下變換:
視作n的函數(shù),
視作k的函數(shù),
這樣,
§ 3-3 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入
導出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復數(shù)傅氏級數(shù)開始的:
對上式進行抽樣,得:
,代入
又由于
所以求和可以在一個周期內(nèi)進行,即
這就是說,當在k=0,1,..., N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結果是一致的。
二. 的k次諧波系數(shù) 的求法
1.預備知識
同樣,當 時,p也為任意整數(shù),則
亦即
所以
2. 的表達式
將式 的兩端乘
,然后從 n=0到N-1求和,則:
通常將定標因子1/N移到 表示式中。
即:
3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法
通常用符號 代入,則:
正變換:
反變換:
4. 的周期性與用Z變換的求法
周期性:
用Z變換的求 :
對 作Z變換,
1
2
3
4
5
6
7
(N-1)
k=0
如果 ,則有
可見, 是Z變換 在單位圓上抽樣,抽樣點在單位圓上的
N個等分點上,且第一個抽樣點為k=0。
§ 3-4 DFS的性質
一.線性
如果
則有
其中,a,b為任意常數(shù)。
二.序列的移位
如果
則有:
證明:
令i=m+n,則 n=i-m。n=0 時,i=m; n=N-1時,i=N-1+m
所以
* 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。
三.調(diào)制特性
如果
則有
證明:
時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪,頻域搬移m,調(diào)制特性。
四.周期卷積和
1.如果
則:
2.兩個周期序列的周期卷積過程
(1)畫出 和 的圖形;
(2)將 翻摺,得到
可計算出:
計算區(qū)
m
m
m
0 1 2 3
(3)將 右移一位、得到
m
可計算出:
計算區(qū)
m
m
0 1 2 3
m
(4)將 再右移一位、得到 ,
可計算出:
(5)以此類推,
n
1
3
4
4
3.頻域卷積定理
如果 ,則
§ 3-5 DFT--有限長序列的離散頻域表示
一.預備知識
1.余數(shù)運算表達式
如果 ,
m為整數(shù);則有:
此運算符表示n被N除,商為m,余數(shù)為 。
二.有限長序列x(n)和周期序列 的關系
周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。
=
, 0£n£N-1
0 , 其他n
有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。
如:
...
...
n
三.周期序列 與有限長序列X(k)的關系
同樣, 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。
而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。
四.從DFS到DFT
從上式可知,DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進行。
因此可得到新的定義,即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。
, 0£k£N-1
, 0£n£N-1
或者:
§ 3-6 DFT的性質
一.線性
1.兩序列都是N點時
如果
則有:
2. 和 的長度N1和N2不等時,
選擇 為變換長度,短者進行補零達到N點。
二.序列的圓周移位
1.定義
一個有限長序列 的圓周移位定義為
這里包括三層意思:
¶先將 進行周期延拓
·再進行移位
¸最后取主值序列:
n
0
N-1
n
0
周期延拓
n
0
左移2
n
0
取主值
N-1
2.圓周位移的含義
由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間,當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時,與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把 排列一個N等分的圓周上,序列的移位就相當于 在圓上旋轉,故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時,看到就是周期序列 : 。
三、共軛對稱性
1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量
周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對
稱分量分別定義為
同樣,有
2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量
有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為
由于
所以
這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。
3.共軛對稱特性之一
證明:
4.共軛對稱特性之二
證明:
可知:
5.共軛對稱特性之三
證明:
6.共軛對稱特性之四
證明:
7.共軛對稱特性之五、六
8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性
9.實、虛序列的對稱特性
當x(n)為實序列時,根據(jù)特性之三,則
X(k)=Xep(k)
又據(jù)Xep(k)的對稱性:
當x(n)為純虛序列時,根據(jù)特性之四,則
X(k)=Xop(k)
又據(jù)Xop(k)的對稱性:
四.圓周卷積和
1.時域卷積定理
設 和 均為長度為N的有限長序列,
且 ,
五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積
1.線性卷積
的長度為
的長度為
它們線性卷積為
的非零區(qū)間為
的非零區(qū)間為
兩不等式相加得
也就是 不為零的區(qū)間。
2.用圓周卷積計算線性卷積
圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列。
的長度為 , 的長度為 ,先構造長度均為L長的序
列, 即將 補零點;然后再對它們進行周期延拓 ,即
所以得到周期卷積:
§ 3-7 抽樣Z變換--頻域抽樣理論
一.如何從頻域抽樣恢復原序列
1.兩種抽樣
時域抽樣:
對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復原信號。
頻域抽樣:
對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。
2.由頻域抽樣恢復序列
一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為
由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位
圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到
3.頻域抽樣不失真的條件
¶當x(n)不是有限長時,無法周期延拓;
·當x(n)為長度M,只有N³M時,才能不失真的恢復信號,即
§3-8 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近
一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差
1.混疊現(xiàn)象
為避免混疊,由抽樣定理可知,須滿足
其中, 為抽樣頻率; 為信號的最高頻率分量;
或者
其中,T為抽樣間隔。
2.頻譜泄漏
在實際應用中,通常將所觀測的信號 限制在一定的時間間隔內(nèi),也 就是說,在時域對信號進行截斷操作,或 稱作加時間窗,亦即用時間窗函數(shù)乘以信號,由卷積定理可知,時域相乘,頻域為卷積,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏。
3.柵欄效應
用DFT計算頻譜時,只是知道為頻率
的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察
景象一樣,故稱作柵欄效應。補零點加大周期 ,可使F變小來提高辨力,以減少柵欄效應。
二.DFT與連續(xù)時間信號傅氏變換間相對數(shù)值的確定
1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對
2.連續(xù)時間周期信號傅氏級數(shù)變換對
3.DFT變換時:
4.用DFT計算非周期信號的傅氏變換
用DFT計算所得的頻譜分量乘以T, 就等于頻譜的正常幅度電平;
用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換,再乘以 就得到所需信號的正常幅
度電平。所以,從時間到頻率,再從頻率到時間,整個過程總共乘了
幅度電平未受到影響。
用DFT計算所得的頻譜分量乘以T的理由:
設
5.用DFT計算周期信號的傅氏級數(shù)
用DFT計算出的頻譜分量乘以 1/N等于周期信號的頻譜的正常幅
度電平。而用IDFT的計算結果乘以N才等于周期信號。