數(shù)列A、等差數(shù)列知識點及例題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時，要分n=1和n2兩種情況討論，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。例根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項公式。分析：（1）可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解；（2）可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解；（3）將無理問題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）二、等差數(shù)列及其前n項和（一）等差數(shù)列的判定1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，第二種是利用等差中項，即。2、解選擇題、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷。（1）通項法：若數(shù)列的通項公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則是等差數(shù)列；（2）前n項和法：若數(shù)列的前n項和是的形式（A，B是常數(shù)），則是等差數(shù)列。注：若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可。例已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達式。分析：（1）與的關(guān)系結(jié)論；（2）由的關(guān)系式的關(guān)系式解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2為首項，以2為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,=,當(dāng)n2時，=2·=。又，不適合上式，故。【例】已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a11.其前n項和Sn滿足2Sn2paanp(pR)，則an的通項公式為_a11，2a12paa1p，即22p1p，得p1.于是2Sn2aan1.當(dāng)n2時，有2Sn12aan11，兩式相減，得2an2a2aanan1，整理，得2(anan1)·(anan1)0.又an>0，anan1，于是an是等差數(shù)列，故an1(n1)·.（二）等差數(shù)列的基本運算1、等差數(shù)列的通項公式=+（n-1）d及前n項和公式，共涉及五個量，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題；2、數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。注：因為，故數(shù)列是等差數(shù)列。例已知數(shù)列的首項=3，通項，且，成等差數(shù)列。求：（1）的值；（2）數(shù)列的前n項和的公式。分析：（1）由=3與，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過利用條件分成兩個可求和的數(shù)列分別求和。解答：（1）由=3得又，得由聯(lián)立得。（2）由（1）得，（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和。（1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。（2）仍是等差數(shù)列，公差為kd;（3）數(shù)列也是等差數(shù)列；（4）；（5）若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則；（6）數(shù)列也是等差數(shù)列，其中均為常數(shù)，是等差數(shù)列。典型例題1等差數(shù)列中, 若，則_225_；2.（廈門）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項的和S9等于 （ A ） A18 B 27 C 36 D 93、（全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則= 24 4、等差數(shù)列an 的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為( C )(A)130 (B)170 (C)210 (D)1605.(湖北卷)已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（D）A2 B3 C4 D56、在數(shù)列an中，若a11，an12an3(n1)，則該數(shù)列的通項an_.由an12an3，則有an132(an3)，即2.所以數(shù)列an3是以a13為首項、公比為2的等比數(shù)列，即an34·2n12n1，所以an2n13.7、已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|mn|的值等于_如圖所示，易知拋物線yx22xm與yx22xn有相同的對稱軸x1，它們與x軸的四個交點依次為A、B、C、D.因為xA，則xD. 又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|××|.8、在等差數(shù)列an中，a13,11a55a813，則數(shù)列an的前n項和Sn的最小值為_設(shè)公差為d，則11(34d)5(37d)13，d.數(shù)列an為遞增數(shù)列令an0，3(n1)·0，n，nN*.前6項均為負值，Sn的最小值為S6.6.若兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且滿足，則 6 .7（北京卷）（16）（本小題共13分）已知為等差數(shù)列，且，。（）求的通項公式；（）若等差數(shù)列滿足，求的前n項和公式解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差。 因為 所以 解得所以 （）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因為所以 即=3所以的前項和公式為等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項和的最值時，（1）若a1>0,d>0,且滿足，前n項和最大；（2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項和最小；（3）除上面方法外，還可將的前n項和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。例在等差數(shù)列中，其前n項和為。（1）求的最小值，并求出取最小值時n的值；（2）求。分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值；（2）將前面是負值的項轉(zhuǎn)化為正值求解即可。解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，令，當(dāng)n=20或21時，最小且最小值為-630.（2）由（1）知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數(shù)。例已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1）若（2）若解答：設(shè)首項為，公差為，（1）由，（2）由已知可得解得【例】已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的nN*，滿足關(guān)系式2Sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項公式是bn，前n項和為Tn，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1.(1)解當(dāng)n1時，由2Sn3an3得，2a13a13，a13.當(dāng)n2時，由2Sn3an3得，2Sn13an13.兩式相減得：2(SnSn1)3an3an1，即2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比數(shù)列，an3n.驗證：當(dāng)n1時，a13也適合an3n.an的通項公式為an3n.(2)證明bn，Tnb1b2bn(1)()()1<1.B、等比數(shù)列知識點及練習(xí)題等比數(shù)列及其前n項和（一）等比數(shù)列的判定判定方法有：（1）定義法：若，則是等比數(shù)列；（2）中項公式法：若數(shù)列中，則數(shù)列是等比數(shù)列；（3）通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成，則數(shù)列是等比數(shù)列；（4）前n項和公式法：若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列是等比數(shù)列；注：（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；（2）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。例在數(shù)列中，。（1） 證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的前n項和；（3） 證明不等式對任意皆成立。解答：（1）由題設(shè)得。又所以數(shù)列是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列。（2）由（1）可知，于是數(shù)列的通項公式為。所以數(shù)列的前n項和。（3）對任意的，所以不等式對任意皆成立。（二）等比數(shù)列的的運算等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中一類基本問題，數(shù)列中有五個量，顯然，“知三求二”，通常列方程（組）求解問題。解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算的過程。注：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式。例設(shè)數(shù)列的前n項和為，且=2-2；數(shù)列為等差數(shù)列，且。（1） 求數(shù)列的通項公式；（2） 若，為數(shù)列的前n項和，求證：?！痉趴s法】解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以=·。（2）為等差數(shù)列，從而-得=（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用在等比數(shù)列中常用的性質(zhì)主要有：（1）對于任意的正整數(shù)若，則特別地，若；（2）對于任意正整數(shù)有；（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；（4）數(shù)列仍成等比數(shù)列；（5）數(shù)列是等比數(shù)列（q-1）；（6）等比數(shù)列的單調(diào)性注：等比數(shù)列中所有奇數(shù)項的符號相同，所有偶數(shù)項的符號也相同。1.（全國卷2理數(shù)）（4）.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【考查點】考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).【解析】2. （遼寧理數(shù)）（6）設(shè)an是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則（A） (B) (C) (D) 【考查點】等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式?！窘馕觥坑蒩2a4=1可得，因此，又因為，聯(lián)力兩式有，所以q=,所以， 3. （遼寧卷）（14）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則 15 。解： ,解得，4. （天津卷）（15）設(shè)an是等比數(shù)列，公比，Sn為an的前n項和。記設(shè)為數(shù)列的最大項，則= ?！窘馕觥勘绢}主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式與通項及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。因為8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時取等號，所以當(dāng)n0=4時Tn有最大值。5. （上海卷）已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解析：(1) 當(dāng)n=1時，a1=-14；當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(nÎN*)；由Sn+1>Sn，得，最小正整數(shù)n=15【其他考點題】1、設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（C）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值解析：由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。2、（C）(A) 2 (B) 4 (C) (D)03、已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，且xy0，那么的值為（B ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）44、已知等差數(shù)列的前項和為（）求q的值；（）若a1與a5的等差中項為18，bn滿足，求數(shù)列的bn前n項和。()解法一：當(dāng)時，,當(dāng)時,.是等差數(shù)列, , ············4分解法二：當(dāng)時,當(dāng)時,.當(dāng)時,.又,所以,得.············4分()解：,.又, , ············8分又得.,即是等比數(shù)列。所以數(shù)列的前項和.13