第十章排列、組合和二項(xiàng)定理,解排列組合問(wèn)題的幾種基本方法,1,要明確堆的順序時(shí)，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個(gè)數(shù)作全排列.,若干個(gè)不同的元素局部“等分”有 個(gè)均等堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!,若干個(gè)不同的元素“等分”為 個(gè)堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!,非均分堆問(wèn)題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.,分組（堆）問(wèn)題的六個(gè)模型：無(wú)序不等分；無(wú)序等分；無(wú)序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.),處理問(wèn)題的原則：,1. 分組（堆）問(wèn)題,2,例1.有四項(xiàng)不同的工程，要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)至少要得到一項(xiàng)工程. 共有多少種不同的發(fā)包方式？,解：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個(gè)步驟：,先將四項(xiàng)工程分為三“堆”，有,種分法；,再將分好的三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì)， 有3!6種給法.,共有6×636種不同的發(fā)包方式.,1. 分組（堆）問(wèn)題,3,例2 . 7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？, ,解：分兩步進(jìn)行：, ,幾個(gè)元素不能相鄰時(shí),先排一般元素，再讓特殊元素插孔.,第1步，把除甲乙外的一般人排列：,第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插孔)：, ,解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問(wèn)題得以解決.,2.插空法：,4,相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個(gè)”元素，然后再進(jìn)行整體排列.,3.捆綁法,例3 . 6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?, ,解：（1）分兩步進(jìn)行：,甲 乙,第一步，把甲乙排列(捆綁)：,第二步，甲乙兩個(gè)人的梱看作一個(gè)元素與其它的排隊(duì)：, ,幾個(gè)元素必須相鄰時(shí),先捆綁成一個(gè)元素，再與其它的進(jìn)行排列.,5,例4. 5個(gè)人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？,幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，一般是先排列，再消去這幾個(gè)元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來(lái)的空位置自然就是順序一定的了.,4.消序法(留空法),解法1：將5個(gè)人依次站成一排，有,解法2：先讓甲乙之外的三人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好，有,種站法，,然后再消去甲乙之間的順序數(shù),甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,種站法，留下的兩個(gè)位置自然給甲乙有1種站法,甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,6,變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?,解: 如圖所示,將一條路經(jīng)抽象為如下的一個(gè)排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四個(gè)和七個(gè)組成!,所以, 四個(gè)和七個(gè)一個(gè)排序就對(duì)應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有,條不同的路徑.,4.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列，有 種排法.,7,n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.,例5. 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4 個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有_種.,5.剪截法（隔板法）：,解： 問(wèn)題等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問(wèn)題.,將16個(gè)小球串成一串，截為4段有,種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.,因此，不同的分配方案共有455種 .,8,n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.,變式： 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4 個(gè)教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號(hào)數(shù),則不同的分配方案共有_種.,5.剪截法：,解： 問(wèn)題等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把余下的10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問(wèn)題.,將10個(gè)小球串成一串，截為4段有,種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.,因此，不同的分配方案共有84種 .,9,編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到 n的n個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球.要求小球與盒子的編號(hào)都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列.,6.錯(cuò)位法：,特別當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.,例6. 編號(hào)為1至6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1至6的6個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有_種.,解： 選取編號(hào)相同的兩組球和盒子的方法有,種,其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法.,故所求方法有15×9135種.,10,7.剔除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.,例7. 從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.,解：所有這樣的直線共有 條，,其中不過(guò)原點(diǎn)的直線有 條，,所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-18030條.,排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問(wèn)題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.,11,B,B,鞏固練習(xí),12,A,4. 5個(gè)人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（ ） A.6 B.12 C.72 D.144,C,鞏固練習(xí),13,分堆問(wèn)題； 解決排列、組合問(wèn)題的一些常用方法：錯(cuò)位法、剪截法（隔板法）、捆綁法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).,小結(jié),14,