I 摘 要 特征值與特征向量是代數(shù)中一個(gè)重要的部分，并在理論和學(xué)習(xí)和實(shí)際生活， 特別是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特 征向量的性質(zhì)，通過(guò)實(shí)例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性，探討特征值與特征 向量及其應(yīng)用有著非常重要的價(jià)值. 正文共分四章來(lái)寫(xiě)，其中第一章介紹了寫(xiě)作背景以及研究目的.第二章介紹 了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫(xiě)出了線性空間中線性變換的特征 值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量之間的關(guān)系.第三章介紹了特征值與特 征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量、列行互逆變換法、 利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.第四章重點(diǎn)介紹了特征值特征向量的 應(yīng)用，如 n 階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問(wèn)題的求解等等.本文充分 利用特征值與特征向量的特性求解相關(guān)問(wèn)題，這帶有一定的技巧性，但并不難 想象，特別是跟其它方法相比，計(jì)算顯得非常簡(jiǎn)潔，在解決具體問(wèn)題上具有很 大的優(yōu)越性. 當(dāng)然關(guān)于矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì) 以及一些應(yīng)用展開(kāi)研究. 關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；遞推關(guān)系；初等變換 II Abstract As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application. The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods. Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application. Key words:eigenvalue； eigenvector；matrix ；recursive relations；elementary；transformation 目 錄 摘 要 .I AbstractII 1 引 言 1 1.1 研究背景 1 1.2 研究現(xiàn)狀 1 1.3 本文研究目的及意義 2 2 特征值與特征向量 3 2.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 3 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量 3 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量 .3 2.2 ,Vp中線性變換 的特征值、特征向量與矩陣 R的特征值與特征向量之間 的關(guān)系 .3 3 特征值與特征向量的解法 5 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 5 3.2 列行互逆變換法 6 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 10 4 矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究 15 4.1 n 階矩陣 1*,mkAabIAf的特征值和特征向量. 15 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解 .16 4.3 矩陣特征值反問(wèn)題的求解 17 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 18 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問(wèn)題 22 4.5.1 二次型的條件最值問(wèn)題及求解該問(wèn)題的特征值方法 22 4.5.2 應(yīng)用舉例 25 4.6 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用 26 4.6.1 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì) 26 4.6.2 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用 26 總 結(jié) 30 參考文獻(xiàn) 31 致 謝 32 1 1 引 言 1.1 研究背景 矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念之一,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,也是數(shù) 學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣的特征值與特征向量問(wèn)題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成 部分，它在高等代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占有重要的位置.同時(shí)它又貫穿了高等代數(shù)的 許多重要方面，對(duì)于該課題的研究加深了我們對(duì)高等代數(shù)各個(gè)部分的認(rèn)識(shí)，從而使我 們更深刻的了解高等代數(shù)的相關(guān)理論. 對(duì)矩陣的特征值與特征向量的理論研究和及其 應(yīng)用探究，不僅對(duì)提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大幫助，而且在理論上也很 重要，可以直接用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.現(xiàn)在矩陣已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支，矩陣特征 值與特征向量的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技方面 都有十分廣泛的應(yīng)用. 1.2 研究現(xiàn)狀 在此之前已有很多專家學(xué)者涉足此領(lǐng)域研究該問(wèn)題.吳江、孟世才、許耿在淺 談中“特征值與特征向量”的引入中從線性空間 V 中線性變換在不同基 下的矩陣具有相似關(guān)系出發(fā)引入矩陣的特征值與特征向量的定義.郭華、劉小明在 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用中從方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)出發(fā)， 結(jié)合具體的例子闡述了特征值與特征向量在簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算中所起的作用.矩陣的特征 值與特征向量在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中有重要作用，矩陣迭代法是求矩陣的第一階特征值與 特征向量的一種數(shù)值方法,但是選取不同的初始向量使結(jié)果可能收斂于不同階的特征 值與特征向量，而不一定收斂與第一階,陳建兵在矩陣迭代法求矩陣特征值與特征 向量初始向量選取的討論中討論了初始向量的選取問(wèn)題.特征值理論是線性代數(shù)中 的一個(gè)重要的內(nèi)容，當(dāng)方陣階數(shù)很高時(shí)實(shí)際計(jì)算比較繁瑣，趙娜、呂劍峰在特征值 問(wèn)題的 MATLAB 實(shí)踐中從實(shí)際案例入手，利用 MATLAB 軟件討論了求解特征值問(wèn)題的 全過(guò)程.汪慶麗在用矩陣的初等變換求矩陣的特征值與特征向量中研究了一種只 對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q就能求到矩陣的特征值與特征向量的方法，論證其方法的 合理性，并闡述此方法的具體求解步驟.岳嶸在由特征值特征向量去頂矩陣的方法 證明及應(yīng)用中探究了已知 n 階對(duì)稱矩陣 A 的 k 個(gè)互不相等的特征值及 k-1 個(gè)特征 向量計(jì)算出矩陣 A 的計(jì)算方法.張紅玉在矩陣特征值的理論及應(yīng)用中討論了通過(guò) n 階方陣 A 的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值,再由特征值與正定矩陣的關(guān)系得 出正定矩陣的結(jié)論.劉學(xué)鵬、楊軍在矩陣的特征值、特征向量和應(yīng)用一文中討論 了矩陣的特征值和特征向量的一些特殊情況，以及在矩陣對(duì)角化方面的應(yīng)用.馮俊艷、 2 馬麗在討論矩陣的特征值與行列式的關(guān)系中討論了利用矩陣的特征值解決行列式 的問(wèn)題. 1.3 本文研究目的及意義 在前人研究的基礎(chǔ)上，本文給出了特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，特征值與 特征向量性質(zhì)是最基本的內(nèi)容，特征值與特征向量的討論使得這一工具的使用更加便 利，解決問(wèn)題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛.在此基礎(chǔ)上，對(duì)矩陣的特征值與 特征向量的計(jì)算進(jìn)行詳盡的闡述和說(shuō)明. 利用特征方程求特征值進(jìn)而求特征向量法、 列行互逆變換法、矩陣的初等變換求特征值和特征向量.由于特征值與特征向量的應(yīng) 用是多方面的，本文重點(diǎn)介紹了對(duì)特征值與特征向量的應(yīng)用探究,闡述了特征值和特 征向量在矩陣運(yùn)算中的作用，利用特征值法求解二次型最值問(wèn)題以及矩陣的高次冪和 反求解問(wèn)題的應(yīng)用.在例題解析中運(yùn)用一些特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使 問(wèn)題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù)雜問(wèn)題的一種有效途徑.本文就是通過(guò)大 量的例子加以說(shuō)明運(yùn)用特征值與特征向量的性質(zhì)可以使問(wèn)題更加清楚，從而使高等代 數(shù)中的大量習(xí)題迎刃而解，把特征值與特征向量在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性表現(xiàn)出來(lái). 3 2 特征值與特征向量 2.1 特征值與特征向量的定義和性質(zhì) 2.1.1 線性變換的特征值與特征向量 定義 1：設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間 的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 中一數(shù)V ，存在一個(gè)非零向量 ，使得00= 那么 稱為 的一個(gè)特征值，而 稱為 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量.0 0 2.1.2 n 階方陣的特征值與特征向量 定義 2：設(shè) 是 階方陣，如果存在數(shù) 和 維非零向量 ，使得 成立，R0nX0RX 則稱 為 的 特征值， 是 的對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量.0X 性質(zhì) 1 若 是 的 重特征值， 對(duì)應(yīng)特征值 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則iirRiis .isr 性質(zhì) 2 如果 都是矩陣 的屬于特征值 的特征向量,則當(dāng) 時(shí), 12,x0120kx 仍是 的屬于特征值 的特征向量10kxR0 性質(zhì) 3 如果 是矩陣 的互不相同的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是12,n R ，則 線性無(wú)關(guān)12,n x 性質(zhì) 4 若 的特征值為 ，則ijnr12,n ， 12nrr 12nR 性質(zhì) 5 實(shí)對(duì)稱矩陣 的特征值都是實(shí)數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交R 性質(zhì) 6 若 是實(shí)對(duì)稱矩陣 的 重特征值，則對(duì)應(yīng)特征值 恰有 個(gè)線性無(wú)關(guān)i i iir 的特征向量，或 iirEnr 性質(zhì) 7 設(shè) 為矩陣 的特征值， 為多項(xiàng)式函數(shù)，則 為矩陣多項(xiàng)式PxP 的特征值 PR 2.2 中線性變換 的特征值、特征向量與矩陣 的特征值與特征向量之間的關(guān),VpnR 系 定理：設(shè) 是 的一組基 ,12,n ,VpLV12,nR 1） 的特征值 必是 的特征值， 的屬于 的特征向量00 ，則 必是 的屬于特征值 的特征向量.2nxx 12,nx R0 2）設(shè) 是 的一個(gè)特征值，且 ，則 是 的一個(gè)特征值.若0 00 4 是 的一個(gè)屬于特征值 的一個(gè)特征向量，則12,nx R0 是 的一個(gè)屬于 的特征向量.nx 證明：1）設(shè) 是 的特征值，于是有 使得 ，其中 ，設(shè)00=0 ，則2nx ， 1212 12,nnxxxR = 又 ，所以有0= ， 11221220, ,nnxxR= 由他們的坐標(biāo)列相等可得 ， 1200nxER 所以其次線性方程組 有非零解，于是 ，故 是 的特征多0X0ER0R 項(xiàng)式的根，即 是 的特征值，從而 的坐標(biāo)是 的屬于 的特征向量.0R 2）設(shè) 是 的一個(gè)特征值， ，且 ，于是 有非000X 零解， ，令 ，12,nx nxxV12200nERx ，即 ，于是 ，故 是 的一個(gè)特征值，且 11220=nnRx0=0 是 的屬于 的特征向量.0 5 3 特征值與特征向量的解法 3.1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 由方陣的特征值和特征向量的定義知: 是 的屬于 的特征向量 因?yàn)閍0A 所以 是齊次線性方程組 的非零解，所以 是特征方程AaEx 的根。 將上述過(guò)程逆敘得到求數(shù)字方陣 的特征值和特征向量的步0fE 驟如下: (1) 計(jì)算的特征多項(xiàng)式 ；Af (2) 解特征方程 ,求出它的全部根 ,它們就是 的全部特征值。012,n A (3) 對(duì)每一個(gè)特征值 ,求出齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解1in0iEx 系,這個(gè)基礎(chǔ)解系 便是 的屬于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則2,iira Ai 的屬于 的全部特征向量是這個(gè)解系的非零線性組合: ,其中Ai 12iinirkaka 是不全為零的數(shù).12,nk 例 3.1.1 設(shè)線性變換 在 下的矩陣是 ，求 的特征值與特123,R21 征向量. 解：因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 .ER21215 所以特征值 （二重）和 5.1 把特征值 代入齊次方程組 ,x1230 得到 ,x1230 它的基礎(chǔ)解系是 ， . 10 6 因此屬于 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是1 ，13 .2 而屬于 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對(duì).1k1k2 再用特征值 5 代入，得到 ,x12340 它的基礎(chǔ)解系是 ， 1 因此，屬于 5 的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是 ，3123 而屬于 5 的全部特征向量就是 ， 是數(shù)域 中任意不等于零的數(shù).k 3.2 列行互逆變換法 為了定理的敘述方便，先給出一個(gè)定義. 定義 1.把矩陣的下列三種變換稱為列行互逆變換: 1 . 互換 i、j 兩列 ,同時(shí)互換 j、i 兩行 ；ijcjir 2 . 第 i 行乘以非零數(shù) ，同時(shí)第 j 列乘 ；kk1 3 . 第 i 行 倍加到第 j 行，同時(shí)第 j 列 倍加到第 i 列 .k 定理 1 為 n 階可對(duì)角化矩陣，并且ATnE 一 系 列 行 列 互 逆 變 換 TDP 其中 ，, ,TiiinnnPbn 11112 則 為 的全部特征值， 為 的對(duì)應(yīng) 的特征向量.12,n ATiiAi 證明：由行初等變換等價(jià)于左乘初等矩陣，列變換等價(jià)于右乘初等矩陣的性質(zhì)及 行列互逆變換的定義知， 為若干初等矩陣的乘積，當(dāng)然可逆，且TP ，即 ，1D1P 7 所以 .APD 因?yàn)?， 11,nnD 所以 ， 111nnnA 則 ，11nn 所以 0,2,.iiiA 因此，該方法求出的 為 的特征值， 為 的對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 iiAi 為了運(yùn)算上的方便，這里約定： 1. 表示矩陣的第 j 行 倍加入第 i 行； ij rk k 2. 表示矩陣的第 j 列的 倍加入第 i 列 ij 由于用定理 1 求解時(shí)，總會(huì)遇到形如 或 形式的矩aAcb10acAb2 陣化對(duì)角陣問(wèn)題，為此給出具體方法： TacAEb120112rk akb10 或 ，Tc2 21rk k1 其中 .ckab 則 為 的分別對(duì)應(yīng)特征值 和 的特征向量；,TT1201Aab 為 的分別對(duì)應(yīng)特征值 和 的特征向量.k2 例 3.2.1 求 的特征值與特征向量.65 解： 8 TAE2150612r 70164 21126rr 704121r 065 所以，特征值 ；特征向量分別為 .,12 ,TT12 例 3.2.2 求 的特征值與特征向量.A01 解： TAE 401012143rr 0021 24r 10031221324rr 0012 12342rrrr 03414122 9 . 1031 所以，特征值分別為 ；特征向量分別為 ，,1234 ,T13 ， ， .,T213,T3,T1 下面給出定理 1 的推廣定理. 定理 2. 為任意 階方陣，若 ，其中AnTnAE 一 系 列 行 列 互 逆 變 換 TJP 為約當(dāng)矩陣， 為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 1rJ ,ii iJr 11 ， ，則 為 的特征值； 為 1TrP,;riri ninrr 112iAiTir 的對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量.Ai 證明：由一般代數(shù)書(shū)中定理可知 必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理 2 中化簡(jiǎn)方法，A 則有 ，即 ，其中 ，1TPJ1,TTPJP11TTr , ,iTTir irJ 1 1 所以 ， 11111TTTTTr r TrJA 故有 ，,iiAn 所以 為 的特征值； 為 的對(duì)應(yīng) 的特征向量.iAii 10 例 3.2.3 求 的特征值與特征向量.A2103 解： TE3201313r 01421r 014r 321012321r 021 所以特征值為 ，對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 ，,13412,T1 對(duì)應(yīng) 的特征向量為 .34T 3.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣 左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變.即若 為 矩陣，AAmn 分別是 m 和 n 階可逆矩陣，則PQ、 .,rPrQArPr、 由此可知，若 ，且 為 n 階單位矩陣，則形如 的 矩陣必可I In 經(jīng)過(guò)一系列變換成 的形式，其中 為 矩陣且 ， 分別為BCD0BmrBrCD、 和 矩陣， 為 零矩陣，從而有nrrnr 定理 1 設(shè) 為 矩陣，其秩 ， ，則比存在 nAmAn12,Tnxx 階可逆矩陣 ，使 ，且 的 個(gè)列向量就是齊次線性方程組QBICD0r 的基礎(chǔ)解系 .0Ax 證明： 此處只需證明 的列向量是 的基礎(chǔ)解系即可.0Ax 11 事實(shí)上，由 得 ，即 ，從而ABQICD0,0AQBC,ADB0 ， .這說(shuō)明 的 個(gè)列向量 是齊次線性方程組ACBnr12,nr 的解向量.x0 另設(shè)矩陣 的列向量為 ，則由 知向量組nr12,r ,Q 即為 的列向量，因 可逆，所以向量組1212,rrD Q 線性無(wú)關(guān)，因此 的列向量就是 的基礎(chǔ)解系.nr DAx0 例 3.3.1 組 的一組基礎(chǔ)解系. xx123412305 解：利用初等列變換，得 cAI 2134018224150531010 c c 243 4573201157050114246 從而， ，所求基礎(chǔ)解系為 .rA3,T576 定理 2. 設(shè) 為 n 階方陣，則其特征矩陣 可通過(guò)初等列變換化為下三角矩IA 陣，記為 12 ， 12*nllLl 從而使 的解就是矩陣 的全部特征值.120nll A 證明：由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣 ，使 ，由QIAQL 此得 .12nILll 從而使 的解就是 的解.120nll 0IA 這樣，由定理 1 和定理 2 可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變換： ，并由 求得矩陣 的特征值nIA 初 等 列 變 換 LQLA .,i12 第二步，將 代入 ，則有 或iA317562iLBCD0iLQ 互 換 某 幾 列 .0BCD 因?yàn)?，所以由定理 1 即知 的列向量就是 的對(duì)應(yīng)于特征i iLIAQ A 值 的線性無(wú)關(guān)的特征向量.i 例 3.3.2 求矩陣 的特征值與特征向量. 317562 解： cIA 1331137557622600110 13 ''' ''',n nii nFximyfxfximn 2 21121001 所以，由 得矩陣 的特征值為 .4A,234 將 代入，得1 .LQ 10610 所以對(duì)應(yīng)于 的特征向量為 ( 此處二重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)2,T1 關(guān)的特征向量). 將 代入，得34 .cLQ 2330101660011 所以對(duì)應(yīng)于 的特征向量為 .4,T2 這里用初等列變換的方法同時(shí)求出來(lái)矩陣的特征值與特征向量，完全類似地，利 用初等行變換也可以實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，其方法如下： (1) 對(duì)矩陣 施行初等行變換將其化為矩陣 ，其中TIA UP 為含有 的上三角矩陣， 為 經(jīng)過(guò)初等變換得到的矩陣； UPI (2) 由行列式 求得矩陣 的特征值 ； ()0,in12 (3) 將 代入 中，若 不是行標(biāo)準(zhǔn)形， 則通過(guò)初,in12 Ui 等行變換將其化為行標(biāo)準(zhǔn)型，并記秩 ， 則 中的后 個(gè)行向量的irriPnr 轉(zhuǎn)置就是 對(duì)應(yīng)的特征向量 i 例 3.3.3 征值與特征向量. 解：因?yàn)樘卣骶仃?，所以IA13564 14 TIA1361054r 13601r 2133 24001533 32r UP 240108233 從而由 即 求得 的特征值為 （二重）和U20A .4 當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，且2P6100 rU21 的后兩行的轉(zhuǎn)置即為 對(duì)應(yīng)的特征向量，即 .P2,TT120 當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，且4UP3062 4rU 的最后一行的轉(zhuǎn)置即為 對(duì)應(yīng)的特征向量，即 .P431,2T 15 4 矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究 4.1 n 階矩陣 的特征值和特征向量.1*,mkAabIAf 若 是 n 階矩陣 的特征值，非零向量 為 對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則 ， xAk ， ， ， ， 是 的特征值，非零abmf 1*,mkabIf 向量 是 對(duì)應(yīng)于特征值 ， ， ， ，x1*,mkbI kabm1 ， 的特征向量.Af 證明： 由于 是 的特征值， 為 對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則有AxA ， 那么： （1）.在 兩端同時(shí)左乘系數(shù) 得 ，即 .所以xkxkAx 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量.kAxA （2）.由于 ，所以 是方陣abIbabab 的特征值，且向量 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量.abII （3）.由于， 2 2xxx ，322 3AA ，1111mmmmxxAxx 所以 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量. （4）在 兩端同時(shí)左乘 得 ，即 ，有A1A11 成立，所以 是方陣 的特征值，且向量 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的x11x 16 特征向量. （5）.在 兩端同時(shí)左乘 得 ，由于 ，那么Ax*A*x*1A ，即有 成立，所以 是方陣 的特征值，且向量*x*xm 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量.mAA （6） ，則110nnfxaxax A 1110 10nn nnfAxaxax = .aaf 上面的證明用到了（3）的結(jié)論，由 可知 是 的特征值，f ffA 且向量 是 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量.xfAf 例 4.1.1 已知矩陣 ，求 的特征值和特征向量. 12A5421 分析：本題是求矩陣 的多項(xiàng)式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，則需A 計(jì)算 的 5 次冪并進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算，再求其特征值和特征向量，計(jì)算量非常大，但若A 利用（6）的結(jié)論，計(jì)算變的很簡(jiǎn)單. 解：矩陣 的特征多項(xiàng)式 為：detI .AI 21251 ，得矩陣 的特征值為 .detAI0,123 當(dāng) 時(shí)，解其次方程 即5AIx50x12342 得其通解為 ，其基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量 ，,TTxt12310 ,Tx1 即為特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量.1x5 17 當(dāng) 時(shí)，解齊次方程 ，即1AIx0x123 得通解為 ，其基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,TTTxtt123120 向量： ，即為特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量, 231 設(shè) ，則 ，即為 的特征值.當(dāng)fAA54f54f 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，于是1f16231ff23 的特征值為 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為 .542, 123,x 4.2 n 階矩陣的高次冪的求解 當(dāng) n 階矩陣 可對(duì)角化時(shí)，即矩陣 可與對(duì)角陣相似時(shí)，計(jì)算其高次冪 有簡(jiǎn)AAkA 單的方法，當(dāng) n 階矩陣 滿足下面的四個(gè)條件之一時(shí)，即可對(duì)角化，即 .1P （1）.n 階矩陣 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； （2）.n 階矩陣 有 n 個(gè)互不相等的特征值； （3）.n 階矩陣 的每個(gè)特征值 ，均有 ，即特征值的幾何常數(shù)等于其Am 代數(shù)常數(shù)； （4）. 為是對(duì)稱矩陣. 對(duì)于 ， 是由 的 n 個(gè)特征向量組成的矩陣. 1P12,nx A 是由 的 n 個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，那么有：12,nAdiag A1111111kk kPPPAP 其中 ，故 .12,kkni 12,kkkndiag 例 4.2.1 已知矩陣 ，求 （其中 為正整數(shù)）.A1kA 分析 矩陣的高次冪的求解一般是有技巧的，這里因矩陣 為是對(duì)稱矩陣，故可A 對(duì)角化，可按上面討論的方法求之. 解：因?yàn)?，所以矩陣 為是對(duì)稱矩陣，故可對(duì)角化.TAA 由例 4.1.1 知，矩陣 的 3 個(gè)特征值為 ，其對(duì)應(yīng)的特征向量為,1235 18 ，故對(duì)角陣 ， ，且123,x,Adiag15Px12301 ，又 ，那么有 ，則P11,diag151APkkkAP1 0021135 . kkkkkk 111125325 4.3 矩陣特征值反問(wèn)題的求解 矩陣特征值反問(wèn)題的求解，即根據(jù)矩陣的特征值和特征向量的信息來(lái)決定矩陣 中的元素.當(dāng)矩陣 有 n 個(gè)互不相等的特征值時(shí)， 必有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，AA 那么矩陣 必可對(duì)角化，故 ，其中相似變換矩陣 由 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的1PAP 特征向量組成. 例 4.3.1.設(shè) 3 階方陣 的特征值為 ，對(duì)應(yīng)于特征向量分別是：,12301 ， ， ，求Tx12Tx2Tx3A 分析 此題給出了矩陣的 3 個(gè)不相同的特征值及其特征向量.那么矩陣可對(duì)角化， 顯然是矩陣特征值的反問(wèn)題，可按上面討論的方法求之. 解： 由于 是方陣 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量，于是有：,ix1A,i123 ，iiAx 令 ，那么Px12321P1219 則有 ，其中 .由上式可得 即為所求.AA01A1032 4.4 特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用 用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論. 19 設(shè) 階線性循環(huán)數(shù)列 滿足遞推關(guān)系：Knx,knaaxk1212 其中 是常數(shù)，且 ，,iak2 k0 方程組 12,111nnknnknkxx 可表示為矩陣形式 （1） nknnknkxaaxx 211 22100 令 , ,n nknk knknk xaaxA 11211 22100 則（1）可寫(xiě)成： （2）1nknkA 由（2）式遞推得 ，其中 ，于是求211nknkA 1121,Tkxx 通項(xiàng) 就歸結(jié)為求 ，也就是求 .nx k 如果 可對(duì)角化，即存在可逆矩陣 ，使得 ，則 ，由P1nknkAP 于 121001kkaaEA 從第一列開(kāi)始每一列乘以 加到后一列上，就得到如下的矩陣： 20 kkkkkaaaaa 2121112 11000 11kkkaa 若 是 的特征值，顯然有 ，則線性齊次方程組A1REAk 的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，因此當(dāng) 有 個(gè)特征值 時(shí)，0EX Ak12,k 這 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 ，由這 個(gè)特征向量為列構(gòu)成的方陣k 12,kP 記為 ，則 是可逆的，并且 .其中P120nA 例 4.4.1 設(shè)數(shù)列 滿足遞推關(guān)系： ，并且nx nxx1234 ，求通項(xiàng) .,xx123 解： 是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組n nnxx123 用矩陣表示為： ，令 nnxx112230A10 并由上式遞推得 nnnnxxxA12312322341 其中 ,xx123 由 ，即EA032100 21 得 的特征值為：A,123 再由特征方程 解得對(duì)應(yīng)于 的特征值 的特征向量分iEAXi0A123, 別為： ,PP12341 令： 123421 則 ,PAP 1 1603202nnnnn nnnA 3333222311 13136062 代入（2）式得： nnnnxxxx 333211262n1 196 例 4.4.2 計(jì)算 n 階行列式 nD60010061 解：將 按第一行展開(kāi)得：nnM12136 其中 與 分別是元素 和 的余子式，再將它們分別按第一列展開(kāi)得：12M312a3nnnDD1236 則 是三階線性循環(huán)數(shù)列.nD 將方程組 22 nnnDD12366 表示成矩陣形式為： 令 nnDD112230A160 由上式遞推得： 12312322341nnnnD （3） 由 解得 的特征值為 ，再由特征方程0EA,123 ， 解得對(duì)應(yīng)于 的特征值 的特征向量分別為：iX,i123A12,PP12349 令 123491 則 ,PAP 1 156028233n nnnn nAP 3 11313121232300562 由（3）式可得： nnnnnDDD 1213 1256 將 代入上式得：,3219056nn2 23 4.5 特征值法求解二次型的條件最值問(wèn)題 4.5.1 二次型的條件最值問(wèn)題及求解該問(wèn)題的特征值方法 二次型的條件最值問(wèn)題是一類特殊的多元函數(shù)極值問(wèn)題 定義 設(shè)有滿足條件 的 n 個(gè)變量 ，,inFxim1201 12,nx 當(dāng)存在變量 的一組值 ，使,ixn 2''',nx （或 ）時(shí)，稱2'''121, ,nnffx 2'''11,nffx 為 最大（或最?。┲?2''',nx y 特征值法原理 定理 1 二次型 在條件 下的最大值1 nijjijjiijaxa210niixc （最小值）恰是其實(shí)數(shù)特征值中最大值（最小值）的 c 倍. 證明：利用拉格朗日數(shù)乘法，先作拉格朗日函數(shù) ，21211, nnijj iij iLxxaxxc 其中： 為參數(shù)，再令其關(guān)于 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得12,n nj njjjnjnnnnjaxaxaxLxaxaxax 1121122 22 121 0 （1） 由于 ，所以（1）可化為 ijjia nnnnnaax1121221 0 （2） 這是一個(gè)齊次線性方程組由于 ，所以 不全為 0，從而（2）ixc21012,nx 有非零解，即該方程的系數(shù)行列式為 0，于是 24 ， nnnnaa1121221 0 （3） 所以 是 系數(shù)矩陣的特征值 .1 nijjijax 又依次用 分別乘（1）再相加得 ，又12,n innijiaxx2110 ，因此 .21i nxc1ijiaxc 特別地，二次型 在條件 下的最大值（最小值）恰是二次型1 nijiinx21 實(shí)特征值中的最大值（最小值）.1 nijjijax 定理 2 二次型 在條件 下的最大值（最小值）21i nx 1,0nijijjiiaxka 是二次型 正數(shù)特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）的 k 倍；當(dāng)特征值為 0 時(shí)，1 nijia 在條件 下沒(méi)有最大值，最小值為最大正數(shù)特征值21i nx,nijijjiixka1 0 倒數(shù)的 k 倍. 證明：作拉格朗日函數(shù) ，令其關(guān)于,nni ijiLxxaxk21211 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 0，得12,nx ， nj njjjnjnnnjnLxaxaxaxLxaxxax11112122221121 00 25 （4） 接下來(lái)證明參見(jiàn)定理 1，直到 是 系數(shù)矩陣的特征值.再用 分別1 nijiax12,nx 乘（4）再相加得 ，又由于 ，因i nnijiax2110,nijijjiiaxka1 0 此， . nikx210 由于 隨正數(shù)特征值 的減小而增大，且當(dāng) 時(shí)， 的極限不,ni210k 存在，所以 不存在最大值，而其最小值則是最大整數(shù)特征值倒數(shù)的 k 倍，21 nikx 證畢. 特別地，二次型 在條件 下的最大值（最小值）21 nix,nijijjiiaxak1 0 是二次型 正特征值倒數(shù)中的最大值（最小值）.1 nijia 特征值方法的求解步驟： 根據(jù)定理 1 和定理 2，只要知道二次型 的特征值 ，就可以知道1 nijiax 或者 在特定條件下的最大和最小值了，因此應(yīng)用特征值方法求解1 nijiax21inix 二次型條件最值問(wèn)題是方便的，其步驟可歸結(jié)為： （1）判定問(wèn)題確實(shí)屬于定理所描述的二次型條件最值問(wèn)題； （2）求二次型 的特征值；1 nijiax （3）根據(jù)定理寫(xiě)出二次型 或者 在特定條件下的最大和最小值.1 nijix21inx 4.5.2 應(yīng)用舉例 例 4.5.2.1 求 在 時(shí)的最值.xyxzy2548z227 解：二次型 的特征方程為 26 22540 解得特征值為 10,1,1，根據(jù)定理 1 可知， 在 時(shí)xyxzy28z227 的最大和最小值分別為 70 和 7. 例 4.5.2.2 在 時(shí)的最值.xyzyz22 225 解：二次型 的特征方程為xy ， 102 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 1 可知， 在xyzxyz2 時(shí)的最大值和最小值 0 和 15.xyz225 例 4.5.2.3 求 在 時(shí)的最值.22xyz2 5 解： 二次型 的特征方程為xyz102 的特征值為 3,3,0，根據(jù)定理 2 可知， 在xyz 是的最小值為 ，最大值不存在.xyzxyz22553 4.6 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的作用 4.6.1 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中使用的性質(zhì) 性質(zhì) 1.設(shè) 為 n 階方陣， 為 的 n 個(gè)特征值，則 .A12,n A12nA 性質(zhì) 2.方陣 可逆 的 n 個(gè)特征值都不為零. 性質(zhì) 3.設(shè) 為方陣 的特征值， 為 的多項(xiàng)式，則 為 的特征值. 性質(zhì) 4. 不為方陣 的特征值 .0E 性質(zhì) 5.（凱萊哈密頓定理）設(shè) 的特征多項(xiàng)式為A ，則 .11nnfaa 11nnfaAa 性質(zhì) 6.設(shè) n 階方陣 的 n 個(gè)特征值為 ，且 為對(duì)應(yīng)的 n 個(gè)線A12,n 2,P 性無(wú)關(guān)的特征向量，記 ，則12,nP 27 . 121nPA 性質(zhì) 7.設(shè) 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣， 是它的 n 個(gè)特征值，則A12, （1） 當(dāng)且僅當(dāng) 都大于零時(shí)， 正定；12,n （2） 當(dāng)且僅當(dāng) 都小于零時(shí)， 負(fù)定； A （3） 當(dāng)且僅當(dāng) 都非負(fù)，但至少一個(gè)等于零時(shí)， 是半正定；12,n A （4） 當(dāng)且僅當(dāng) 都非正，但至少一個(gè)等于零時(shí)， 是半負(fù)定； （5） 當(dāng)且僅當(dāng) 中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)時(shí)， 是不定的.12,n 4.6.2 特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用 （1）.求方陣 的行列式 以及 的多項(xiàng)式 的行列式 .AAA 例 4.6.2.1.已知三階矩陣 的特征值為 1，-1,2，設(shè) ，求325 ； ; .5E 解：由性質(zhì) 1 可得 ；2 因 ，由性質(zhì) 3 可知 的特征值為 ， ，32AA1416 .故 .28= 的特征多項(xiàng)式為 ，令 ，得12fE5= .55127fE 例 4.6.2.2 設(shè) 是 的特征值， ，求 .A23AEA 解：因 是 的特征值，即有 ，故20232E （2）判斷方陣 及 的可逆性k 例 4.6.2.3.設(shè) ，問(wèn)當(dāng) k 為何值時(shí)， 可逆.A10482AkE 解：因 ，故 ， fE2310141 為 的三個(gè)特征值，由性質(zhì) 4 可知，當(dāng) 時(shí)， 可逆.231A,kAkE 例 4.6.2.4 設(shè)矩陣 滿足 ，證明 可逆.2AEA3 證明 設(shè) ，則 ，因 ，即有 ，即 ，而xx22xx210 28 ，只有 ，于是 ，可知 3 不是 的特征值，所以 ，即x02101AEA30 可逆.EA3 （3）.求方陣 ， 的逆矩陣 及 的 k 次冪A 例 4.6.2.5.設(shè) ，求 ; ; . 201315 解： ,由性質(zhì) 5 有fEA3021 ，故fA320AE3042321 由 ，可知 0 不是 的特征值，由性質(zhì) 2 知 可逆.而f1A ，故AEAEAEE33112122210 ，故AEAAEAE3532522 42 .5 16083 例 4.6.2.6 設(shè) 3 階方陣 的特征值為 ；對(duì)應(yīng)的特征向量依次為A,121 ， ， .求 （k 為大于 1 的正數(shù)）.1,2TP2,1T3,TPA 解：因 線性無(wú)關(guān)，記 ，由性質(zhì) 6 有13,P123,P10 所以 ，1AP1111kk kAPAPAP 故 29 kkkk k kkkA 142141201299 于是當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)， ；k 為奇數(shù)時(shí)， .kA54128kA1023 例 4.6.2.7.設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 的特征值為 6,3,3 與特征值 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ，求 .,TP1 解：設(shè)對(duì)應(yīng)于 3 的特征向量為 ，因?qū)崒?duì)稱的不同特征值下的特征123,Tx 向量正交，即有 ，即 的分量滿足 .又因特征值 3 的重?cái)?shù)為 2，所'xP10x0 以對(duì)應(yīng)于 3 恰有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，顯然 的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于123 3 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 由 得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 .x123 ,TTP121 令 ，由性質(zhì) 6 有 .,P10A603 故 AP14 （4）求方陣 的多項(xiàng)式 .A 例 4.6.2.8 設(shè) ，計(jì)算 . 102854223AAE 解： ，而321fEA854 22 43710Efq 顯然 .由性質(zhì) 5 可知 ，854 23AfAE 0fA 所以 A 23867109514 （5）判斷實(shí)對(duì)稱的正定性. 30 例 4.6.2.9. 設(shè) n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 正定，則存在矩陣 ，使 ，且 也是正定AB2AB 矩陣. 證明：因?yàn)?為實(shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣 ，使AP ， 11nP 其中 為 的 n 個(gè)特征值.因 正定，故有 .于是1,2i AA01,2i n1 11 1 1n nnAPPP 111nnP 總 結(jié) 矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要部分，特征值與特征向量問(wèn)題是矩陣?yán)碚摰闹匾M 成部分，特征值與特征向量有著許多具體的應(yīng)用，本文通過(guò)查閱相關(guān)的資料并在指導(dǎo) 老師的指導(dǎo)和建議下對(duì)特征值與特征向量原理進(jìn)行了歸納總結(jié).首先簡(jiǎn)單的敘述了特 征值與特征向量的概念及其性質(zhì)，探究了特征值與特征向量的幾種解法，在此基礎(chǔ)上 重點(diǎn)介紹了特征值與特征向量的應(yīng)用問(wèn)題.矩陣的高次冪的求解是有技巧的，當(dāng)矩陣 可對(duì)角化時(shí)，利用特征值與特征向量把矩陣對(duì)角化，可以簡(jiǎn)便的解出矩陣高次冪的值.如 果知道矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量求出矩陣的計(jì)算方法以及特征值與特征向量在 線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用，利用矩陣的特征值與特征向量給出了遞推關(guān)系的一種解法. 本文通過(guò)應(yīng)用舉例說(shuō)明了特征值在求解二次型的條件最值問(wèn)題的應(yīng)用，給出了特征值 法原理，運(yùn)用特征值法求二次型的條件最值問(wèn)題.給出了特征值與特征向量在矩陣運(yùn) 算中使用的性質(zhì)，并且舉例說(shuō)明了特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用.運(yùn)用一些 特征值與特征向量的性質(zhì)和方法，可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單，運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù) 雜問(wèn)題的一種有效途徑。特征值與特征向量理論的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 而且在力學(xué)、物理、科技方面都有十分廣泛的應(yīng)用，值得我們深入探究. 31 參考文獻(xiàn) 1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2003. 2 湯正華.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量的探究J.山東行政學(xué)院山東省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)， 2008， （91）:4648. 3 向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究J.重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,25（117）：135138. 4 吳春生.淺議線性變換與矩陣的特征值與特征向量