數(shù)學(xué)分析教案第十九章 含參量積分 教學(xué)目的：1.掌握含參量正常積分的概念、性質(zhì)及其計算方法；2.掌握兩種含參量反常積分的概念、性質(zhì)及其計算方法；3.掌握歐拉積分的形式及有關(guān)計算。 教學(xué)重點難點：本章的重點是含參量積分的性質(zhì)及含參量反常積分的一致收斂性的判定；難點是一致收斂性的判定。 教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時 § 1含參量正常積分 一. 含參積分: 以實例 和 引入. 定義含參積分 和 . 含參積分提供了表達函數(shù)的又一手段 .我們稱由含參積分表達的函數(shù)為含參積分. 1. 含參積分的連續(xù)性: Th19.5 若函數(shù) 在矩形域 上連續(xù) , 則函數(shù)在 上連續(xù) . ( 證 ) P172Th19.8 若函數(shù) 在矩形域 上連續(xù), 函數(shù) 和 在 上連續(xù) , 則函數(shù) 在 上連續(xù). ( 證 ) P173  2. 含參積分的可微性及其應(yīng)用: Th 19.10 若函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù) 都在矩形域 上連續(xù), 則函數(shù) 在 上可導(dǎo) , 且 .( 即積分和求導(dǎo)次序可換 ) . ( 證 ) P174  Th 19.11 設(shè)函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù) 都在矩形域 上連續(xù),函數(shù) 和 定義在 , 值域在 上 , 且可微 , 則含參積分在 上可微 , 且 . ( 證 )P174 例1 計算積分 . P176.例2         設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)連續(xù) . 驗證當(dāng) 充分小時 , 函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù)存在 , 且 . P177. § 2 含參反常積分 一. 含參無窮積分: 1.       含參無窮積分: 函數(shù) 定義在 上 ( 可以是無窮區(qū)間 ) . 以 為例介紹含參無窮積分表示的函數(shù) . 2. 含參無窮積分的一致收斂性: 逐點收斂( 或稱點態(tài)收斂 ) 的定義: , , 使 .引出一致收斂問題 .定義 (一致收斂性 ) 設(shè)函數(shù) 定義在 上 . 若對 , 使 對 成立, 則稱含參無窮積分在 ( 關(guān)于 )一致收斂.Th 19.5 ( Cauchy收斂準(zhǔn)則 ) 積分 在 上一致收斂, 對 成立 . 例1 證明含參量非正常積分 在 上一致收斂 , 其中. 但在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂 . P180  3. 含參無窮積分與函數(shù)項級數(shù)的關(guān)系: Th 19.6 積分 在 上一致收斂, 對任一數(shù)列 , , 函數(shù)項級數(shù) 在 上一致收斂. ( 證略 )  二. 含參無窮積分一致收斂判別法: 1. Weierstrass M 判別法: 設(shè)有函數(shù) , 使在 上有 . 若積分 , 則積分 在 一致收斂. 例2 證明含參無窮積分 在 內(nèi)一致收斂. P182  2. Dirichlet判別法和Abel判別法: P182  三. 含參無窮積分的解析性質(zhì): 含參無窮積分的解析性質(zhì)實指由其所表達的函數(shù)的解析性質(zhì).  1. 連續(xù)性: 積分號下取極限定理.Th 19.7 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù) . 若積分 在 上一致收斂, 則函數(shù) 在 上連續(xù). ( 化為級數(shù)進行證明或直接證明 )推論 在Th.7的條件下 , 對 , 有   2. 可微性: 積分號下求導(dǎo)定理.Th 19.8 設(shè)函數(shù) 和 在 上連續(xù). 若積分 在 上收斂, 積分 在 一致收斂. 則函數(shù) 在 上可微,且 .  3. 可積性: 積分換序定理.Th 19.9 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù). 若積分 在 上一致收斂, 則函數(shù) 在 上可積 , 且有 . 例3 計算積分 P186  四.            含參瑕積分簡介: § 3 Euler積分 本節(jié)介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數(shù) , 即 和 . 它們統(tǒng)稱為Euler積分. 在積分計算等方面, 它們是很有用的兩個特殊函數(shù).  一. Gamma函數(shù) Euler第二型積分： 1. Gamma函數(shù): 考慮無窮限含參積分 , 當(dāng) 時, 點 還是該積分的瑕點 . 因此我們把該積分分為 來討論其斂散性 .: 時為正常積分 . 時, .利用非負(fù)函數(shù)積的Cauchy判別法, 注意到 時積分 收斂 . (易見時, 仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散 ). 因此, 時積分 收斂 . : 對 R成立,.因此積分 對 R收斂.綜上 , 時積分 收斂 . 稱該積分為Euler第二型積分. Euler第二型積分定義了 內(nèi)的一個函數(shù), 稱該函數(shù)為Gamma函數(shù), 記為 , 即 = , .函數(shù)是一個很有用的特殊函數(shù) .  2. 函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性: 在區(qū)間 內(nèi)非一致收斂 . 這是因為 時積分發(fā)散. 這里利用了下面的結(jié)果: 若含參廣義積分在 內(nèi)收斂, 但在點 發(fā)散, 則積分在 內(nèi)非一致收斂 .  但 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 .即在任何 上 , 一致收斂 . 因為 時, 對積分 , 有 , 而積分 收斂.對積分 , , 而積分 收斂. 由M判法, 它們都一致收斂, 積分 在區(qū)間 上一致收斂 .作類似地討論, 可得積分 也在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂. 于是可得如下結(jié)論:的連續(xù)性: 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù) . 的可導(dǎo)性: 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 且 . 同理可得: 在區(qū)間 內(nèi)任意階可導(dǎo), 且 .   3. 凸性與極值: , 在區(qū)間 內(nèi)嚴(yán)格下凸. ( 參下段 ), 在區(qū)間 內(nèi)唯一的極限小值點( 亦為最小值點 ) 介于1與2 之間 . 4. 的遞推公式 函數(shù)表: 的遞推公式 : . 證 .于是, 利用遞推公式得: , , , , , 一般地有 .可見 , 在 上, 正是正整數(shù)階乘的表達式 . 倘定義 , 易見對 ,該定義是有意義的. 因此, 可視 為 內(nèi)實數(shù)的階乘. 這樣一來, 我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了 內(nèi)的所有實數(shù)上, 于是, 自然就有, 可見在初等數(shù)學(xué)中規(guī)定 是很合理的.函數(shù)表: 很多繁雜的積分計算問題可化為 函數(shù)來處理. 人們仿三角函數(shù)表、對數(shù)表等函數(shù)表, 制訂了 函數(shù)表供查. 由 函數(shù)的遞推公式可見, 有了 函數(shù)在內(nèi)的值, 即可對 , 求得 的值. 通常把 內(nèi) 函數(shù)的某些近似值制成表, 稱這樣的表為 函數(shù)表 也有在 內(nèi)編制的 函數(shù)表.)  5. 函數(shù)的延拓: 時, 該式右端在 時也有意義 . 用其作為 時 的定義, 即把 延拓到了 內(nèi).時, 依式 , 利用延拓后的 , 又可把 延拓到內(nèi) .依此 , 可把 延拓到 內(nèi)除去 的所有點. 經(jīng)過如此延拓后的 的圖象如 P192圖表192. 例1 求 , , . ( 查表得 .) 解 . ), . 6. 函數(shù)的其他形式和一個特殊值: 某些積分可通過換元或分部積分若干次后化為 函數(shù) . 倘能如此, 可查 函數(shù)表求得該積分的值. 常見變形有: > 令 , 有 = ,因此, , .> 令 .注意到 P7的結(jié)果 , 得 的一個特殊值 . > 令 , 得 . 取 , 得 . 例2 計算積分 , 其中 .解 I .  二. Beta函數(shù) Euler第一型積分： 1 Beta函數(shù)及其連續(xù)性： 稱( 含有兩個參數(shù)的 )含參積分 為Euler第一型積分. 當(dāng) 和 中至少有一個小于1 時, 該積分為瑕積分. 下證對 , 該積分收斂. 由于 時點 和 均為瑕點. 故把積分 分成 和 考慮.: 時為正常積分; 時, 點 為瑕點. 由被積函數(shù)非負(fù), 和 , ( 由Cauchy判法) 積分 收斂 . ( 易見 時積分 發(fā)散 ). : 時為正常積分; 時, 點 為瑕點. 由被積函數(shù)非負(fù), 和 , ( 由Cauchy判法) 積分 收斂 . ( 易見 時積分 發(fā)散 ).綜上, 時積分 收斂. 設(shè)D ,于是, 積分 定義了D內(nèi)的一個二元函數(shù). 稱該函數(shù)為Beta函數(shù), 記為 , 即 = 不難驗證, 函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂. 又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù), 因此 , 函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù). 2. 函數(shù)的對稱性: .證 = .由于 函數(shù)的兩個變元是對稱的, 因此, 其中一個變元具有的性質(zhì)另一個變元自然也具有. 3. 遞推公式: .證 , 而 ,代入 式, 有 ,解得 .由對稱性, 又有 . 4. 函數(shù)的其他形式: > 令 , 有 , 因此得 , . > 令 , 可得 , . 特別地 , , . > 令 , 有 = = ,即 , > 令 , 可得 . > , . 三. 函數(shù)和 函數(shù)的關(guān)系: 函數(shù)和 函數(shù)之間有關(guān)系式 , 以下只就 和 取正整數(shù)值的情況給予證明. 和 取正實數(shù)值時, 證明用到 函數(shù)的變形和二重?zé)o窮積分的換序.   證 反復(fù)應(yīng)用 函數(shù)的遞推公式, 有 ,而 .特別地, 且 或 時, 由于 , 就有.余元公式 函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系： 對 ，有 .該公式的證明可參閱: , 微積分學(xué)教程 Vol 2 第3分冊, 利用余元公式, 只要編制出 時 的函數(shù)表, 再利用三角函數(shù)表, 即可對, 查表求得 的近似值.  四.            利用Euler積分計算積分: 例3 利用余元公式計算 .解 , . 例4 求積分 . 解 令 , 有 I . 例5 計算積分 .解 , 該積分收斂 . ( 亦可不進行判斂 ,把該積分化為 函數(shù)在其定義域內(nèi)的值 , 即判得其收斂 . )  I . 例6 , 求積分 ,其中 V : .解 .而 .因此 , .  - 16 -