第十單元 無窮級數(shù).doc
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第十單元 無窮級數(shù) 一、無窮級數(shù)的概念與性質(zhì) 1、無窮級數(shù)：，簡稱級數(shù)。其中un稱為通項，也叫一般項。 為級數(shù)的前n項的部分和。 收斂：存在，且稱為級數(shù)的和。 發(fā)散：不存在。 數(shù)項級數(shù)：中的每項un均為常數(shù)。 函數(shù)項級數(shù)：中的項un不全為常數(shù)。 2、基本性質(zhì) 性質(zhì)1、若收斂于S，則收斂于kS； 若發(fā)散，k≠0，則也發(fā)散。 性質(zhì)2、若與皆收斂，則也收斂。 性質(zhì)3、在前面部分去掉或添上有限項，不改變級數(shù)的收斂性。 性質(zhì)4、收斂級數(shù)加括號后所得的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和。 性質(zhì)5、（收斂的必要條件）若收斂，則必有。 說明：并不能保證一定收斂。 推論：，則必定發(fā)散。 三個標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)： （1） 等比級數(shù)： （2） p—級數(shù)： （3） 調(diào)和級數(shù)： 例1 若級數(shù)收斂，記，則（ B ） 例2 若級數(shù)收斂，則下列級數(shù)不收斂的是（ B ） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以，收斂，且收斂于。 二、正項級數(shù) 1、定義：若中的每一項un≥0，（n=1，2，…）則稱為正項級數(shù)。 2、比較判別法（審斂法） 若與皆為正項級數(shù)，且0≤un≤vn(n=1,2,…),則 （1） 當(dāng)收斂時，必收斂； （大斂小必斂） （2） 當(dāng)發(fā)散時，必發(fā)散； （小散大必散） 3、比值判別法 設(shè)為正項級數(shù)，且，則 （1） 當(dāng)ρ<1時，收斂； （2） 當(dāng)ρ>1時，發(fā)散； （3） 當(dāng)ρ=1時，此法失效。 說明：（1）un中含n!時，用比值法較為方便； （2）利用比較法時，要先有個初步估計，然后選擇一個標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)與之比較。 4、極限形式的比較判別法 設(shè)與皆為正項級數(shù)，且，則與的收斂性相同。 例1 設(shè)與都是非功過正項級數(shù)，且un≤vn(n=1,2,…),則下列命題正確的是 （ D ） 例2 判定級數(shù)的收斂性。 解：因 所以級數(shù)發(fā)散。 （推論） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以收斂。 例4判定級數(shù)（a>0,a≠e）的收斂性。 解： 故當(dāng)a>e時，收斂； 0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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