《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件5.4數(shù)列的求和.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件5.4數(shù)列的求和.ppt（41頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、掌握數(shù)列求和的幾種常見方法 【命題預(yù)測】 數(shù)列的求和在近幾年高考中，填空題與解答題都有出現(xiàn)，重點以容易題和中檔題為主，基本知識以客觀題出現(xiàn)，綜合知識則多以解答題體現(xiàn)，主要是探索型和綜合型題目復(fù)習(xí)時，要具有針對性地訓(xùn)練，并以“注重數(shù)學(xué)思想方法、強化運算能力、重點知識重點訓(xùn)練”的角度做好充分準(zhǔn)備,第4課時 數(shù)列的求和,【應(yīng)試對策】 1等差(比)數(shù)列的求和公式是解決其他數(shù)列的求和問題的基礎(chǔ)，在數(shù)列求 和時往往轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的求和數(shù)列求和的常用方法： (1)基本公式法：等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列； 1222n2 n(n1)(2n1)；132333n3 n(n1)2. (2)分組

2、求和法：將原來的數(shù)列分拆成兩個或兩個以上的數(shù)列， 然后利用公式法求和,(3)裂項法：將數(shù)列的各項均分拆成兩項的差，然后和式子中的一些項相互抵消，以達到求和的目的如an ， an an 一般地，若an是公差為d的等差數(shù)列，則,(4)倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法，根據(jù)有些數(shù)列的 特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的 (5)錯位相減法：Sna1a2an兩邊同乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，然后把 所得的等式和原等式相減，對應(yīng)項相互抵消，最后得出前n項和Sn，一般適 用于數(shù)列anbn的前n項求和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列,【知識拓展】 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列

3、中，如果每一項與它們后一項的和為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，則a18________.這個數(shù)列前n項和Sn的計算公式為________,解析：由題意知，該數(shù)列為2,3,2,3,2,3，則a183. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn ；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn Sn 答案：3Sn,1當(dāng)已知數(shù)列an，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求 則可用 求數(shù)列的通項an. 2當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足f(an1,an)f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求 則可用 求數(shù)列的通項an. 3等差數(shù)列前n項和Sn

4、 ， 推導(dǎo)方法：倒序相加法；,累差法,累積法,等比數(shù)列前n項和Sn 推導(dǎo)方法：錯位相減 4常見數(shù)列的前n項和：(1)123n ； (2)135(2n1) ； (3)122232n2 ,n2,5(1)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列 (2)拆項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成二項差的形式， 相加過程消去中間項，再求和 (3)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘 構(gòu)成的數(shù)列求和 (4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法,6常見的拆項公式有： (1) (2) (3) 思考：用裂項相消法求數(shù)列前n項和的

5、前提是什么？ 提示：數(shù)列中的每一項均能分裂成一正一負(fù)兩項，這是用裂項相消法的前提,1 數(shù)列0.9,0.99,0.999，， 的前n項和為________ 解析：數(shù)列的通項公式為an10.1n，其前n項和 Sn(10.1)(10.12)(10.1n)n(0.10.120.1n) 答案：,2 數(shù)列an的通項公式為an(1)n1(4n3)，則S100________. 解析：S100(15)(913)(4993)(41003) (4)50200. 答案：200,3 數(shù)列 ，的前n項和Sn的值等 于________ 解析：Sn(1352n1) 答案：,4 數(shù)列9,99,999

6、，的前n項和為________ 解析：數(shù)列通項an10n1， 分組求和得Sn 答案：,5 (2010南京市第九中學(xué)調(diào)研測試)已知數(shù)列an滿足：an 則數(shù)列an的前100項的和是________ 解析：an a1a2a100 答案：,數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項和的數(shù)列來求之,已知數(shù)列an的通項公式an3n2n1，求數(shù)列an的前n項和Sn. 思路點撥：從數(shù)列的通項公式可看出，數(shù)列an是由一個等差數(shù)列 3n1和一個等比數(shù)列2n構(gòu)成的，均可應(yīng)用求和公式 解：Sna1a2an(253n1)(2222n) ,【例1】,求下面數(shù)列的前n項

7、和： ，. 解：前n項和為Sn 147(3n2)， 設(shè)T1 當(dāng)a1時，T1n；當(dāng)a1時，T1 T2147(3n2),變式1：,當(dāng)a1時，SnT1T2 當(dāng)a1時，SnT1T2,1利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項或前后剩的項更多，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等,則 此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和,2一般情況如下，若an是等差數(shù)列，,【例2】 設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn，滿足 (1)求出數(shù)列an的通項公式； (2)設(shè)bn ，記數(shù)列bn的前n

8、項和為Tn，求Tn. 思路點撥：由anSnSn1(n2)可求得an；采用裂項求和,解：(1)當(dāng)n2時，anSnSn1 (an1)2(an11)2 整理得(anan1)(anan12)0，anan10，anan12. 當(dāng)n1時，a1S1 ( a11)2，解得a11. 數(shù)列an是以a11為首項，以d2為公差的等差數(shù)列 an2n1.,(2),,變式2：(2010東北師大附中模擬)已知數(shù)列an： ，求它的前n項和 解： 前n項和Sn,1一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前 n項和時，可采用錯位相減法 2用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：要善于識別題目類型，特別是

9、等比數(shù) 列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng) 特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達 式應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1這一前提條件，如果不能 確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在近幾年高考中經(jīng)?？疾?【例3】 已知數(shù)列an滿足a1，a2a1，a3a2，，anan1，是首項 為1，公比為2的等比數(shù)列 (1)求an；(2)如果bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Sn. 思路點撥：(1)根據(jù)題意得到表達式，再用累加法求通項； (2)利用錯位相減法求和,解：(1)由a11，當(dāng)n2時，anan12n1， ana1(a2a

10、1)(a3a2)(anan1)12222n1 2n1. (2)bn(2n1)an(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)， Snb1b2bn 2322523(2n1)2n135(2n1) 令Tn2322523(2n1)2n 則2Tn22323524(2n3)2n(2n1)2n1,得 Tn222222322n(2n1) 2n1 22(22232n)(2n1)2n1 22 (2n1)2n1 22n28(2n1)2n16(32n) 2n1， Tn(2n3)2n16，Sn(2n3)2n16 (2n3)2n1n26.,變式3：求數(shù)列ann2n的前n項和 解：ann2n，Sna1a2an22

11、22n2n， 2Sn22223(n1)2nn2n1. 得：Sn222232nn2n12(2n1)n2n1， Sn(n1)2n12.,1數(shù)列求和，如果是等差、等比數(shù)列的求和，可直接用求和公式求解，公 式要做到靈活運用 2非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思路： 轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法 往往通過通項分解或錯位相消來完成； 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減 法，倒序相加法等來求和，要將例題中的幾類一般數(shù)列的求和方法記牢,【規(guī)律方法總結(jié)】,3數(shù)列求和的方法技能： 倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列求和 錯位

12、相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和 分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和數(shù)列的求和 折項相消：常用的拆項公式有：,【例4】 已知數(shù)列an是首項為a1 ，公比q 的等比數(shù)列， 設(shè)bn2 an(nN*)，數(shù)列cn滿足cnanbn. (1)求數(shù)列bn的通項公式； (2)求數(shù)列cn的前n項和Sn.,解本題易出現(xiàn)的第一個錯誤就是求錯數(shù)列的通項公式；第二個錯誤是在用“錯位相減”求和時對相減后的項處理不當(dāng)，導(dǎo)致漏掉項或添加項，這是這類求和問題最容易出現(xiàn)錯誤的地方,【錯因分析】,解：(1)由題意，知an (nN*)， 又bn 2，故bn3n2(nN*) (2)由(1)，知an

13、 ，bn3n2(nN*)， cn(3n2) (nN*)， Sn + (3n2) ，,【答題模板】,于是 兩式相減，得,錯位相減求和法 錯位相減求和法的適用環(huán)境：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積所組成的，求其前n項和，基本方法是設(shè)這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n1項和為主的求和問題這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理，如本例中相減后的和式要分三個部分：(1) 這個是原來數(shù)列的第一項；,【狀元筆記】,(2) ，這是一個等比數(shù)列的前(

14、n1)項的和； (3) ，這是原來數(shù)列的第n項乘以公比 后在作差時出現(xiàn)的在用錯位相減法求數(shù)列的和時一定要處理好這三個部分，否則就會出錯.,1 已知等差數(shù)列an的前n項和為Snpn22nq(p，qR)，nN*. (1)求q的值； (2)若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an21og2bn，求數(shù)列的bn前n項和 分析：已知數(shù)列前n項和的表達式，求通項公式時，可以根據(jù)anSnSn1 消去Sn和Sn1，求得an.注意要驗證當(dāng)n1時是否適合，若適合，即可合并成一個式子，如果不適合，要寫成分段的形式,解：(1)解法一：當(dāng)n1時，a1S1p2q. 當(dāng)n2時，anSnSn1pn22nqp(n1)2

15、2(n1)q2pnp2. an是等差數(shù)列，p2q2pp2，q0. 解法二：當(dāng)n1時，a1S1p2q. 當(dāng)n2時，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2. 當(dāng)n3時，anan12pnp22p(n1)p22p. a2p2q2p3p2q. 又a22p2p23p2，所以3p2q3p2，得q0.,(2)a3 ，a318.又a36pp2，6pp218， p4，an8n6.又an2log2bn，得bn24n3. b12， 2416， 即bn是公比為16的等比數(shù)列 所以數(shù)列bn的前n項和Tn,2 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，點 (nN*)均在函數(shù)y3x2的圖象上

16、(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設(shè)bn ，Tn是數(shù)列bn的前n項和， 求使得Tn 對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.,解：(1)依題意得 3n2，即Sn3n22n. 當(dāng)n2時，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5； 當(dāng)n1時，a1S1312211615，所以an6n5(nN*),分析：把點 代入y3x2，可以得到一個Sn的表達式，根據(jù)這個表達式，可以求得通項公式，根據(jù)求得的an代入bn ，通過拆項求和表示出Tn.,(2)由(1)得bn 故Tn 因此，使得 (nN*)成立的m必須滿足 ， 即m10， 故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.,