第五章圖形的性質(zhì)(一),第19講特殊三角形,等腰(邊)三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定,1計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)度問題，如果所求線段是在直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和 2有關(guān)等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時(shí)，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個(gè)方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同時(shí)，在底角沒有被指定的等腰三角形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論注意運(yùn)用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當(dāng)然 3面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論 4在涉及折疊的相關(guān)問題中，若原圖形中含有直角或折疊后產(chǎn)生直角，常常把所求的量與已知條件利用折疊的性質(zhì)，借助等量代換轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解,1(2016懷化)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4 cm和8 cm，則它的周長(zhǎng)為( ) A16 cm B17 cm C20 cm D16 cm或20 cm 2(2016邵陽(yáng))如圖所示，點(diǎn)D是ABC的邊AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，ADBD，則下列結(jié)論正確的是( ) AACBC BACBC CAABC DAABC,C,A,3(2016泰安)如圖，在PAB中，PAPB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AMBK，BNAK，若MKN44，則P的度數(shù)為( ) A44 B66 C88 D92 4(2016荊門)如圖，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線已知AB5，AD3，則BC的長(zhǎng)為( ) A5 B6 C8 D10,D,C,C,【例1】(1)(2016湘西州)一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為4 cm，另一邊長(zhǎng)為5 cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是( ) A13 cm B14 cm C13 cm或14 cm D以上都不對(duì) (2)(2016隨州)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為9，另一邊長(zhǎng)為方程x28x150的根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為 ,C,19或21或23,點(diǎn)撥：由方程x28x150得：(x3)(x5)0，x30或x50，解得：x3或x5，當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L(zhǎng)為9，9，3時(shí)，其周長(zhǎng)為21；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L(zhǎng)為9，9，5時(shí)，其周長(zhǎng)為23；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L(zhǎng)為9，3，3時(shí)，339，不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L(zhǎng)為9，5，5時(shí)，其周長(zhǎng)為19；綜上，該等腰三角形的周長(zhǎng)為19或21或23 【點(diǎn)評(píng)】在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論,對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1(1)(2016赤峰)等腰三角形有一個(gè)角是90，則另兩個(gè)角分別是( ) A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 (2)(2016淮安)已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是_,B,10,【例2】(2015北京)如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BEAC于點(diǎn)E.求證：CBEBAD. 證明：ABAC，AD是BC邊上的中線，ADBC，AD平分BAC，BEAC，CBECCADC90，又CADBAD，CBEBAD. 【點(diǎn)評(píng)】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合,對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAC，交AB于點(diǎn)E，若AB5，求線段DE的長(zhǎng) 解：AD平分BAC，BADCAD，DEAC，CADADE，BADADE，AEDE，ADDB，ADB90，EADABD90，ADEBDEADB90，ABDBDE，DEBE，AB5，DEBEAE2.5,【例3】如圖在等邊ABC中，ABC與ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且ODAB，OEAC. (1)試判定ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由； (2)線段BD，DE，EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程 解：(1)ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形，ABCACB60，ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60ODE是等邊三角形 (2)BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，DEODOE，BDDEEC. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用,對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3(1)(2016泰州)如圖，已知直線l1l2，將等邊三角形如圖放置，若40，則等于_ (2)(2015銅仁)已知，如圖，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EFFD. 求證：ADCE.,20,【例4】 (1)(2015北京)如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2 km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為( ) A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km (2)(2016南京)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是( ) A3，4，4 B3，4，5 C3，4，6 D3，4，7,D,C,【點(diǎn)評(píng)】(1)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵(2)在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形,B,試題(2015營(yíng)口)【問題探究】(1)如圖，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AEAB，ADAC，BAECAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由 【深入探究】 (2)如圖，四邊形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm，ABCACDADC45，求BD的長(zhǎng),審題視角(1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明EACBAD，則根據(jù)SAS即可證明EACBAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；(2)在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，連接EA，EB，EC，證明EACBAD，證明BDCE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解.,答題思路 第一步：通讀問題，根據(jù)問題選擇合理的幾何分析方法； 第二步：(1)綜合法(由因?qū)Ч?：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過一系列的有關(guān)定理、公理、定義的運(yùn)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需必備的條件，然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的條件為止；(3)兩類結(jié)合法，將分析法與綜合法合并使用比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可綜合使用，靈活處理，以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，直到完全溝通； 第三步：視問題需要，添加合理的輔助線，把已知與未知集中在一起； 第四步：從已知出發(fā)，一步一步作推理，使得問題得以證明； 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟,19.三角形的高可能在三角形外) 試題1在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度數(shù) 剖析 當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形內(nèi)；當(dāng)ABC是為鈍角三角形時(shí)，高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形外在解與高有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮全面 錯(cuò)解 解：如圖，在RtBHD和RtACD中，CCAD90，CHBD90，HBDCAD.又BHAC，BHDACD，BDAD.ADB90，ABC45.,正解 這里的ABC有兩種情況，ABC是銳角(圖)或ABC是鈍角(圖)如圖，在RtBHD和RtACD中，易得DCADHB.又ACBH，DHBDCA，ADDB，DBA45，ABC135.綜上：ABC45或135.,剖析 (1)對(duì)于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時(shí)，一般要分情況逐一考察，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤 (2)當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時(shí)，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)考慮的幾個(gè)方面,