矩形、菱形與正方形,第五章圖形的性質(zhì)(一),1矩形的概念、性質(zhì)及判定,直角,互相平分且相等,2,三個角,相等,2菱形的概念、性質(zhì)及判定,相等,互相垂直平分,一組對角,中心,2,相等,互相垂直,3.正方形的概念、性質(zhì)及判定,垂直平分,鄰邊,矩形,菱形,對角線,1一個防范 在判定矩形、菱形或正方形時，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解題時要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法 2三種聯(lián)系 (1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系： 在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)可判定為矩形,(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系： 在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需有四邊相等則可判定為菱形 (3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系： 正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形),3選擇、填空中小規(guī)律,1(2015沈陽)順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，所形成的四邊形是() A平行四邊形 B菱形 C矩形 D正方形 2(2014鞍山)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC8，DB6，DEBC于點(diǎn)E，則DE的長為() A2.4 B3.6 C4.8 D6,B,C,3(2013本溪)在菱形ABCD中，BAD2B，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AC，AF，則圖中與ABE全等的三角形(ABE除外)有() A1個 B2個 C3個 D4個,C,A,5(2015朝陽)如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC7，點(diǎn)E為BC上一動點(diǎn)，把ABE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B落在ADC的角平分線上時，則點(diǎn)B到BC的距離為() A1或2 B2或3 C3或4 D4或5,A,解析：如圖，連接BD，過點(diǎn)B作BMAD于M.點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B落在ADC的角平分線上，設(shè)DMBMx，則AM7x，又由折疊的性質(zhì)知ABAB5，在直角AMB中，由勾股定理得到AM2AB2BM2，即(7x)225x2，解得x3或x4，則點(diǎn)B到BC的距離為2或1,C,7(2015丹東)在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別是6和8，則菱形的周長是_ 8(2014丹東)如圖，在菱形ABCD中，AB4 cm，ADC120，點(diǎn)E，F(xiàn)同時由A，C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，CB方向向點(diǎn)B勻速移動(到點(diǎn)B為止)，點(diǎn)E的速度為1 cm/s，點(diǎn)F的速度為2 cm/s，經(jīng)過t秒DEF為等邊三角形，則t的值為_,20,9(2015鞍山)如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，O是AD的中點(diǎn)，連接OB，OC，點(diǎn)E在線段BC上(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，過點(diǎn)E作EMOB于點(diǎn)M，ENOC于點(diǎn)N，則EMEN的值為_,10(2015盤錦)如圖，菱形ABCD的邊長為2，DAB60，E為BC的中點(diǎn)，在對角線AC上存在一點(diǎn)P，使PBE的周長最小，則PBE的周長的最小值為_,11(2015朝陽)如圖，在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長線上，且DEDF，給出下列條件：BEEC；BFCE；ABAC，從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，并給出證明，你選擇的條件是_(只填寫序號),證明：BDCD，DEDF，四邊形BECF是平行四邊形，當(dāng)ABAC時，D是BC的中點(diǎn)，AF是BC的垂直平分線，BECE，平行四邊形BECF是菱形,12(2014葫蘆島)如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D(不與點(diǎn)B重合)在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AFBC交DE延長線于點(diǎn)F，連接AD，BF. (1)求證：AEFBED. (2)若BDCD，求證：四邊形AFBD是矩形,解：(1)AFBC，AFEEDB，E為AB的中點(diǎn)，EAEB，又BEDAEF，AEFBED(ASA)(2)AEFBED，AFBD，AFBD，四邊形AFBD是平行四邊形，ABAC，BDCD，ADBD，四邊形AFBD是矩形,13(2015鐵嶺)如圖，矩形ABCD中，AB8，AD6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上 (1)若DEBF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形； (2)若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長,14(2015朝陽)問題：如圖(1)，在RtACB中，ACB90，ACCB，DCE45，試探究AD，DE，EB滿足的等量關(guān)系 【探究發(fā)現(xiàn)】小聰同學(xué)利用圖形變換，將CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到CBH，連接EH，由已知條件易得EBH90，ECHECBBCHECBACD45. 根據(jù)“邊角邊”，可證CEH_，得EHED. 在RtHBE中，由_定理，可得BH2EB2EH2，由BHAD，可得AD，DE，EB之間的等量關(guān)系是_,CED,勾股,AD2EB2DE2,矩形,【例1】(2015內(nèi)江)如圖，將ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E，使ABBE，連接DE，EC，DE交BC于點(diǎn)O. (1)求證：ABDBEC； (2)若BOD2A，求證：四邊形BECD是矩形,【點(diǎn)評】利用平行線的相關(guān)性質(zhì)找到對應(yīng)角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時會比邊與角更直接簡便,對應(yīng)訓(xùn)練 1(本溪模擬)如圖，四邊形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足為E.求證：AECE.,證明：過點(diǎn)C作CGAB交AB的延長線于G點(diǎn)，可證：CGBCED，CGCE.又GACEA90，四邊形CGAE是矩形，CGAE，CEAE,菱形,【例2】(2015巴中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，MN過點(diǎn)O且與邊AD，BC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N. (1)請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)過點(diǎn)D作DEAC交BC的延長線于點(diǎn)E，當(dāng)AB6，AC8時，求BDE的周長,【點(diǎn)評】菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法,對應(yīng)訓(xùn)練 2(2015甘南州)如圖，在ABC和EDC中，ACCECBCD；ACBDCE90，AB與CE交于點(diǎn)F，ED與AB，BC分別交于點(diǎn)M，H. (1)求證：CFCH； (2)如圖，ABC不動，將EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BCE45時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論,正方形,【例3】(朝陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A，D重合，BP的垂直平分線分別交CD，AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，垂足為Q，過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H. (1)求證：HFAP； (2)若正方形ABCD的邊長為12，AP4，求線段EQ的長,【點(diǎn)評】正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點(diǎn),對應(yīng)訓(xùn)練 3(2014揚(yáng)州)如圖，已知RtABC中，ABC90，先把ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90至DBE后，再把ABC沿射線平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點(diǎn)H. (1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由； (2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形,解：(1)FGED.理由如下：ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90至DBE，DEBACB，把ABC沿射線平移至FEG，GFEA，ABC90，AACB90，GFEDEB90，F(xiàn)HE90，F(xiàn)GED(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得GEF90，CBE90，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180，BCG90，四邊形BCGE是矩形，CBBE，四邊形CBEG是正方形,特殊平行四邊形綜合題,【例4】(沈陽模擬)如圖，在RtABC中，ACB90，過點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE. (1)求證：CEAD； (2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； (3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由,解：(1)證明：DEBC，DFB90，ACB90，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD(2)四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點(diǎn)，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90，D為AB中點(diǎn)，CDBD，四邊形BECD是菱形(3)當(dāng)A45時，四邊形BECD是正方形，理由如下：ACB90，A45，ABCA45，ACBC，D為BA中點(diǎn)，CDAB，CDB90，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當(dāng)A45時，四邊形BECD是正方形,【點(diǎn)評】在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法,對應(yīng)訓(xùn)練 4(2015南京)如圖，ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，AEF，CFE的平分線交于點(diǎn)G，BEF，DFE的平分線交于點(diǎn)H. (1)求證：四邊形EGFH是矩形； (2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MNEF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過H作PQEF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補(bǔ)全他的證明思路,由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件_，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證_，_，故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，_，即可得證,FG平分CFE,GEFH,GMEFQH,GEFEFH,(2)答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證MNQP是菱形，只要證MNNQ，由已知條件：FG平分CFE，MNEF，故只要證GMFQ，即證MGEQFH，易證 GEFH，GMEFQH.故只要證MGEQFH，易證MGEGEF，QFHEFH，GEFEFH，即可得證,22.不認(rèn)真畫圖導(dǎo)致錯誤,試題在ABC的兩邊AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，過點(diǎn)A作BC的垂線分別交BC于點(diǎn)D，交FH于點(diǎn)M，求證：FMMH.,錯解 證明：如圖，四邊形ABEF與四邊形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFHABC，52.3190，3290，12，15.14，45.AMFM.同理，AMMH，故FMMH.,正解 證明：分別過F，H畫FKMD，HLMD，垂足為K，L.四邊形ACGH是正方形，ACAH，CAH90，1290，ADBC，2390，13.又HLAADC90，AHLCAD，HLAD.同理：AFKBAD，F(xiàn)KAD，F(xiàn)KHL.又FMKHML，F(xiàn)KMHLM90，F(xiàn)MKHML，F(xiàn)MMH,剖析上述解法錯在將BAC畫成了直角(題中沒有這個條件)，從而導(dǎo)致FAH，BAC和1，4分別成為對頂角，不認(rèn)真畫圖，匆匆忙忙進(jìn)行推理，就很容易犯錯誤,