第 3 章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀上研究函數(shù)),一元函數(shù)的微分學(xué),導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家 Fermat 在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton,3. 1. 1 問(wèn) 題 的 引 入,3. 1. 2 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義, 3 . 1,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,導(dǎo) 數(shù) 概 念,第 3 章,3. 1. 3 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義,3.1.4 可 導(dǎo) 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系,3. 1. 1 問(wèn) 題 的 引 入,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)一作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，,自由落體運(yùn)動(dòng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則從,到,的平均速度為：,而在,時(shí)刻的瞬時(shí)速度為：,其運(yùn)動(dòng)方程 ( 位置函數(shù) ) 為：,2. 非均勻細(xì)棒的線密度（單位長(zhǎng)度所含的質(zhì)量）,設(shè)一非均勻細(xì)棒的質(zhì)量函數(shù)為：,當(dāng)長(zhǎng)度,無(wú)限趨向于零時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在長(zhǎng)度為,平均密度為：,上的質(zhì)量是：,在細(xì)棒上任取一點(diǎn) l ，和任一長(zhǎng)度,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度：,線密度：,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 。,類(lèi)似問(wèn)題還有:,加速度：,角速度：,磁場(chǎng)強(qiáng)度：,電流強(qiáng)度：,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限；,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限；,是磁通量的增量與時(shí)間增量之比的極限；,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限；,變化率問(wèn)題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 1. 2 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義,定 義:,收斂,記作：,則稱函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在點(diǎn),稱為函數(shù),在點(diǎn),處的導(dǎo)數(shù) ，,處關(guān)于 (對(duì)) x 可導(dǎo)，,若,簡(jiǎn)稱,在點(diǎn),處可導(dǎo)；,（函數(shù)的增量）,稱函數(shù),若,發(fā)散，,處不可導(dǎo)；,在點(diǎn),Lagrange（拉格朗日）,Leibniz (萊布尼茲),設(shè)函數(shù),稱為,記作：,稱函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在區(qū)間I 里可導(dǎo)，,顯然有：,稱為函數(shù),在點(diǎn),處的左導(dǎo)數(shù)；,稱為函數(shù),在點(diǎn),處的右導(dǎo)數(shù)；,收斂,均收斂，且,若函數(shù),在開(kāi)區(qū)間,均收斂，,在閉區(qū)間,則稱函數(shù),在區(qū)間 I 里每一點(diǎn)(關(guān)于x )都可導(dǎo)，,若函數(shù),的導(dǎo)函數(shù).，,簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),內(nèi)可導(dǎo)，,且,上可導(dǎo)。,質(zhì)量函數(shù),在點(diǎn) l 處的線密度：,說(shuō)明: 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,消費(fèi)指數(shù)增長(zhǎng)率；邊際成本率；邊際勞動(dòng),生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看都是相應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在,時(shí)刻的瞬時(shí)速度：,例 1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù) ；,解:,即,例 2. 求冪函數(shù),解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的導(dǎo)數(shù)；,即,說(shuō) 明 ：,當(dāng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特別地：,時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,例 3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù)（其中：k 為常數(shù)）.,解:,取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,得：,取,得：,例4. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù) 。,解:,特別地，當(dāng)取 a = e 時(shí)得：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,即：,例 5. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù) 。,解:,即：,特別地，當(dāng)取 a = e 時(shí)得：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例 6. 證明函數(shù),在點(diǎn) x = 0 處不可導(dǎo).,證:,發(fā)散 ,例 7. 設(shè),收斂，,解:原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,即,在點(diǎn) x = 0 處不可導(dǎo)。,求極限,3. 1. 3 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義,曲線,在點(diǎn) M 處的切線,割線 M N 的極限位置 M T。,割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,（當(dāng),時(shí)）,因曲線,若,則函數(shù),附近必上升;,若,則函數(shù),附近必下降;,若,切線與 x 軸平行,稱為函數(shù)的駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若,收斂，,在點(diǎn),的切線斜率：,則曲線過(guò)點(diǎn),處有,在點(diǎn),在點(diǎn),例8. 問(wèn)曲線,在哪一點(diǎn)處有垂直切線 ？,處的切線與直線,平行 ？,解:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為：,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在 哪一點(diǎn),并寫(xiě)出相應(yīng)的切線方程。,3. 1. 4 函 數(shù) 的 可 導(dǎo) 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系,定 理：,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),收斂 ,因此必有,其中:,故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) 。,注意：函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)。,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo)。,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，,則,在點(diǎn) x 處必連續(xù)。,函數(shù),內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 ：,6. 判斷可導(dǎo)性,函數(shù)不連續(xù), 一定不可導(dǎo)；,直接用導(dǎo)數(shù)定義；,看左、右導(dǎo)數(shù)是否收斂且相等。,2.,增量比的極限,曲線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,收斂,且均收斂；,處可導(dǎo)）,在給定點(diǎn)處切線的斜率;,在點(diǎn),（,思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 設(shè),存在 , 則,3. 已知,則,4. 若,時(shí), 恒有,問(wèn),是否在,可導(dǎo)?,解:,由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo), 且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5. 設(shè), 問(wèn) a 取何值時(shí),在,都存在 , 并求出,解:,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,牛頓(1642 1727),偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū) (1736年出版).,他,還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,萊布尼茲(1646 1716),德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,他在學(xué)藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) ,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì),數(shù)法 ,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題,解: 因?yàn)?1. 設(shè),存在, 且,求,所以,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在,處連續(xù), 且,存在，,證明:,在,處可導(dǎo).,證：因?yàn)?存在，,則有,所以,即,在,處可導(dǎo).,2. 設(shè),故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,